线性代数

• ​行列式

  • ​定义

    • ​不同行不同列元素乘积的代数和

      • ​全排列，逆序数

  • ​性质

    • ​转置不改变行列式的值

    • ​某行（列）存在公因数 $k$ ，可把 $k$ 提到行列式外

    • ​某行（列）所有元素都是两数之和，则行列式可写成两个行列式之和

    • ​两行（列）互换，行列式改变符号

      • ​行列式两行（列）相等，则行列式等于 $0$ 

    • ​某行（列）的 $k$ 倍加至另一行（列），行列式值不变

      • 行列式两行（列）成比例，则行列式等于 $0$ 

  • 按行（列）展开

    •  $a_{ij}$ ​的代数余子式 $A_{ij}$ 

      •  $a_{ij}$ 的代数余子式只与 $a_{ij}$ 的位置有关，而与 $a_{ij}$ 的值无关

    • ​ $|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$ 

    •  $|\bm{A}|=a_{1j}\bm{A}_{1j}+a_{2j}\bm{A}_{2j}+\cdots+a_{nj}\bm{A}_{nj}$ 

    • ​ $|\bm{A}|=a_{i1}\bm{A}_{j1}+a_{i2}\bm{A}_{j2}+\cdots+a_{in}\bm{A}_{jn},\quad i\neq j$ 

  • ​计算

    • 具体形式

      • ​定义

      • ​上（下）三角行列式

      • ​递推

    • ​抽象形式

      • ​行列式的性质

      • ​特征值  $|\bm{A}|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ 

  • ​应用

    • ​齐次线性方程 $Ax=0$ 解的情况$Ax=0$解的情况 

    • 通过伴随矩阵求逆矩阵

    • ​线性无关（相关）的判定

    • ​矩阵可逆的证明

    • ​矩阵特征值的计算

    • ​二次型正（负）定性的判定

• ​向量组的线性相关性

  • ​线性表示

    • ​ $\bm b=k_1\bm a_1+k_2\bm a_2+\cdots +k_s\bm a_s$ 

      • 方程组 $x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\cdots +x_s\bm a_s=\bm b$ 有解

      • ​ $R(\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s)=R(\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s,\bm b)$ 

      • ​ $\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s$ 线性无关， $\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s,\bm b$ 线性相关

    • ​ $\bm b_1,\bm b_2,\ldots ,\bm b_t$ 能由 $\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s$ 线性表示

      • ​ $R(\bm A)=R(\bm A,\bm B)$ 

      • ​必要条件： $R(\bm B)\leq R(\bm A)$ 

    • ​ $\bm a_1,\bm a_2,\ldots ,\bm a_s$ 与 $\bm b_1,\bm a_2,\ldots ,\bm b_t$ 能相互线性表示

      • ​ $R(\bm A)=R(\bm B)=R(\bm A,\bm B)$ 

  • ​线性相关

    • ​定义

      • ​若存在不全为 $0$ 的 $k_1,k_2,\ldots,k_s$ 使得 $k_1\bm a_1+k_2\bm a_2+\cdots+k_s\bm a_s=\bm 0$ 

    • ​判定

      • ​充要条件

        • ​ $x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\cdots+x_s\bm a_s=\bm 0$ 有非零解

        • ​ $R(\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_s)<s$ 

        • 某 $\bm a_i$ 能由其余向量线性表示​
          

      • ​充分条件

        • ​ $m$ 个 $n$ 维向量， $m>n$ 

        • ​部分组线性相关

  • ​线性无关

    • ​定义

      • ​若 $k_1\bm a_1+k_2\bm a_2+\cdots+k_s\bm a_s=\bm 0$ ，则 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ 

    • 判定

      • ​ $x_1\bm a_1+x_2\bm a_2+\cdots+x_s\bm a_s=\bm 0$ 只有零解

      • ​ $R(\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_s)=s$ 

      • ​任意 $\bm a_i$ 均不能由其余向量线性表示

  • ​向量组的秩

    • ​最大无关组 $A_0:\bm a_1,\bm a_2,\cdots\bm a_r$ 

      • ​ $\bm a_1,\bm a_2,\cdots\bm a_r$ 线性无关

      • • ​任意 $r+1$ 个向量线性相关

        • ​任意向量能由 $A_0$ 线性表示

    • ​矩阵的秩

      • ​矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩

  • ​线性方程组解的结构

    • ​齐次线性方程组 $\bm {Ax=0}$ 

      • ​基础解系

        • 解集 $S$ 的任一最大无关组

        • ​ $R_S+R(\bm A)$ $R_S+R(\bm A)=$  $\bm A$ 的列数 

      • 通解

        •  $\bm x=k_1\bm\xi_1+k_2\bm\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r},\,k_1,k_2,\ldots,k_{n-r}\in\mathbb{R}$ $\bm x=k_1\bm \xi_1+\cdots+k_{n-r}\bm\xi_{n-r},\,\,k_1,\ldots,k_{n-r}\in\mathbb{R}$  

    • ​非齐次线性方程组 $\bm {Ax=b}$ 

      • ​非齐次方程的通解 $=$ 对应的齐次方程组的通解 $+$ 非齐次方程组的一个特解

  • ​向量空间

    • ​定义

      • ​ $V\neq \emptyset$ 

      • ​对向量的加法及数乘封闭

    • 向量组​生成的向量空间

    • 基

      • ​最大无关组 $\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_r$ 

      • ​维数

        • ​向量组的秩

      • ​坐标

        • ​ $x=\lambda_1\bm a_1+\lambda_2\bm a_2+\cdots+\lambda_r\bm a_r$ 

      • ​过渡矩阵

        • ​ $\bm {P=A^{-1}B}$ 

      • ​坐标变换公式

        • ​ $(z_1,z_2,\ldots,z_r)^{\rm T}=\bm P^{-1}(y_1,y_2,\ldots,y_r)^{\rm T}$ 

• ​相似矩阵及二次型

  • ​内积

    • ​内积的定义、性质

      • ​定义

        • ​ $[\bm x,\bm y]=\bm x^{\rm T}\bm y=x_1y_1+\cdots+x_ny_n$ 

      • ​性质

        • ​对称性

          • ​ $[\bm x,\bm y]=[\bm y,\bm x]$ 

        • ​线性性质

          • ​ $[\lambda\bm x,\bm y]=\lambda[\bm x,\bm y]$ 

          •  $[\bm x+\bm y,\bm z]=[\bm x,\bm z]+[\bm y,\bm z]$ 

        • ​非负性

          • ​ $[\bm x,\bm x]\geq0$ 

        • ​施瓦茨不等式

          • ​ $[\bm x,\bm y]^2\leq[\bm x,\bm x][\bm y ,\bm y]$ 

    • ​向量的长度

      • ​定义

        • ​ $\lVert\bm x\rVert=\sqrt{[\bm x,\bm x]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ 

      • ​性质

        • ​非负性

          • ​ $\lVert\bm x\rVert\geq 0$ 

        • ​齐次性

          • ​ $\lVert\lambda\bm x\rVert=\lvert\lambda\rvert\cdot \lVert\bm x\rVert$ 

        • ​三角不等式

          • $|\bm x+\bm y||\leq ||\bm x||+||\bm y|$ 

            $\lVert\bm x+\bm y\rVert\leq \lVert\bm x\rVert+\lVert\bm y\rVert$ 

    • ​正交性

      • ​向量的夹角

        • ​ $\theta=\arccos\frac{[\bm x,\bm y]}{\lVert \bm x\rVert\cdot\lVert \bm y\rVert},\,\,\bm x,{\bm y} \neq \bm 0$ 

      • ​正交向量

        • ​当 $[\bm x,\bm y]=0$ 时，称向量 $\bm x$ 与向量 $\bm y$ 正交

      • ​规范正交基

        • ​两两正交的单位向量

      • ​施密特正交化

        • ​ $\bm b_i=\bm a_i-\dfrac{[\bm b_1,\bm a_i]}{[\bm b_1,\bm b_1]}\bm b_1--\dfrac{[\bm b_2,\bm a_i]}{[\bm b_2,\bm b_2]}\bm b_2-\cdots-\dfrac{[\bm b_{i-1},\bm a_i]}{[\bm b_{i-1},\bm b_{i-1}]}\bm b_{i-1}$ 

      • ​正交矩阵

        • ​定义

          • ​ $\bm A^{\rm T}\bm A=\bm E$ 

          • ​若 $\bm P$ 为正交矩阵，则 $\bm y=\bm P\bm x$ 称为正交变换

        • ​性质

          •  $\bm A$ 正交 $\Leftrightarrow$  $\bm A$ 的列（行）向量为两两正交的单位向量

          • ​ $\bm A^{-1}=\bm A^{\rm T},\,\lvert\bm A\rvert= \pm 1$ 

          • ​正交变换保持向量的长度不变

  • ​特征值与特征向量

    • ​定义

      • ​ $\bm {Ax}=\lambda {\bm x},\,\bm x\neq \bm 0$ 

      • ​特征值为特征多项式 $\lvert \bm A-\lambda \bm E\rvert$ 的根

      • ​对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量是齐次线性方程 $(\bm A-\lambda_i\bm E)\bm x=\bm 0$ 的非零解

    • ​性质

      • ​ $\lambda_1+\lambda_2\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots a_{nn}$ 

      • ​ $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=\lvert\bm A\rvert$ 

      • ​若 $\lambda_i(1\leq i\leq m)$ 是 $\bm A$ 的 $m$ 个不同的特征值， $\bm \xi_{i1},\ldots \bm\xi_{i k_i}$ 是对应于 $\lambda_i$ 的 $k_i$个线性无关的特征向量，则 $\bm\xi_{11},\ldots,\bm\xi_{1 k_1},\bm\xi_{21},\ldots,\bm\xi_{2 k_2},\ldots ,\bm\xi_{m1},\ldots ,\bm\xi_{m k_m}$ 线性无关

    • ​应用

      • ​若 $\bm A\bm x=\lambda \bm x$ 且 $\bm x\neq 0$ ，则 $\varphi(\bm A) \bm x=\varphi(\lambda)\bm x$ 

  • ​相似矩阵

    • ​定义

      •  $\bm {P^{-1}AP=B,\,\lvert P\rvert}\neq0$ 

        • ​ $\bm A$ 与 $\bm B$ 相似，则 $\bm A$ 与 $\bm B$ 的特征值完全相同

        • ​ $\bm A$ 与 $\bm \Lambda={\rm diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)$ 相似，则 $\lambda_1,\ldots ,\lambda_n$ 是 $\bm A$ 的特征值

    • ​（相似）对角化

      • ​ $n$ 阶矩阵 $\bm A$ 能（相似）对角化 $\Leftrightarrow$  $\bm A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

      •  nn$n$$n$n$n$ 阶矩阵 AA$\bm A$$\bm A$A$\bm A$ 有 nn$n$$n$n$n$ 个不同的特征值 ⇒⇒$\Rightarrow$$\Rightarrow$⇒$\Rightarrow$ AA$\mathit{A}$$\mathit{A}$A$\mathit{A}$\bm A AA$\bm A$$\bm A$A$\bm A$ 能（相似）对角化 AA$\bm A$$\bm A$A$\bm A$ 
        

      • ​方阵的幂的计算

    • ​实对称矩阵的对角化

      • ​性质

        • ​实对称矩阵的特征值都是实数

        • ​实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的

        • ​实对称矩阵必能（相似）对角化

          • ​存在可逆阵 $\bm P$ 

          • ​存在正交阵 $\bm P$ 

      • ​步骤

        • ​可逆阵 $\bm {P}$ 

          • 求出 $\bm A$ 的所有互不相等的特征值 $\lambda_1,\ldots ,\lambda_s$ ，重数依次为 $k_1,\ldots ,k_s$ 

          • ​对于 $k_i$ 重特征值 $\lambda_i$ ，解齐次方程 $(\bm A-\lambda_i \bm E)=\bm 0$ 得到 $k_i$ 个线性无关的特征向量

          • ​将 $n$ 个线性无关的特征向量作为列向量构成可逆矩阵 $\bm P$ ，则 $\bm {P^{-1}AP=\Lambda}$ ,$\bm {\Lambda}$ 中对角线元素排列次序与 $\bm {P}$ 中列向量排列次序一致

        • ​正交阵 $\bm {P}$ 

          • ​求出 $\bm A$ 的所有互不相等的特征值 $\lambda_1,\ldots ,\lambda_s$ ，重数依次为 $k_1,\ldots ,k_s$ 

          • ​对于 $k_i$ 重特征值 $\lambda_i$ ，解齐次方程 $(\bm A-\lambda_i \bm E)=\bm 0$ 得到 $k_i$ 个线性无关的特征向量，将其施密特正交化，再单位化，得到 $k_i$ 个两两正交的单位特征向量

          • ​将 $n$ 个两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵 $\bm P$ ，则 $\bm {P^{-1}AP=\Lambda}$ ,$\bm {\Lambda}$ 中对角线元素排列次序与 $\bm {P}$ 中列向量排列次序一致

  • ​二次型

    • ​定义

      • ​ $f=\bm x^{\rm T}\bm A\bm x=\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}x_ix_j,\,\,\bm A^{\rm T}=\bm A$ 

      • ​标准形

        • ​ $f=\bm y^{\rm T}\bm \Lambda\bm y=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$ 

      • ​规范形

        • ​ $f=\bm y^{\rm T}\bm \Lambda\bm y=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2\cdots-y_r^2$ 

      • ​秩

        • ​对称矩阵 $\bm A$ 的秩为二次型 $f$ 的秩

    • ​合同矩阵

      •  $\bm C^{\rm T}\bm A\bm C=\bm B,\,\,\lvert \bm C\rvert\neq 0$ 

    • ​合同对角化

      • ​对于对称矩阵 $\bm A$ ，寻找可逆矩阵 $\bm C$ ，使 $\bm C^{\rm T}\bm A\bm C$ 为对角阵

      • ​对任意二次型 $f=\bm x^{\rm T}\bm A\bm x$ ,总存在正交变化 $f$，总有正交变换 $\bm {x=Py}$ ，使 $f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$ 

    • ​配方法化标准形

      • ​含 $x_i$ 的平方项和交叉项

      •  只含交叉项只含交叉性$只含交叉性$只含交叉性zhi 

    • ​正定二次型

      • ​惯性定理

        • ​二次型的任意两个标准形中正（负）系数的个数相等

        • ​二次型的标准形中正（负）系数的个数称为正（负）惯性指数

      • ​定义

        • ​正定二次型

          • ​任给 $\bm{x\neq 0}$ ，都有 $f=\bm x^{\rm T}\bm A\bm x>0$ 

        • ​负定二次型

          • ​任给 $\bm{x\neq 0}$ ，都有 $f=\bm x^{\rm T}\bm A\bm x<0$  

      • ​判定

        •  $n$ 元二次型​ $f$ 正定 $\Leftrightarrow$  $f$ 的正惯性指数为 $n$ 

        •  $n$ $\bm A$ 正定 $\Leftrightarrow$ $\bm A$ 的特征值全为正 

        • ​赫尔维茨定理

          •  $n$ $\bm A$ 正定 $\Leftrightarrow$ $\bm A$ 的各阶主子式全为正 

          •  $n$ $\bm A$ 负定 $\Leftrightarrow$ $\bm A$ 的奇数阶主子式全为负，偶数阶主子式全为正 

• ​矩阵及其运算

  • ​定义

    • ​ $m\times n$ 个数组成的 $m$ 行 $n$ 列数表

      • ​矩阵与线性变换一一对应

  • ​特殊矩阵

    • ​列（行）向量

    • ​对角阵 ${\bm \Lambda}={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$ 

    • ​单位阵 ${\bm E}={\rm diag}(1,1,\cdots,1)$  

    • ​对称矩阵 ${\bm A}^{\rm T}=\bm A$ 

    • ​正交矩阵 ${\bm A}^{\rm T}\bm A=\bm E$ 

  • 运算

    • ​矩阵的加法 $A+B$ 

    • ​数乘矩阵 $\lambda\bm{A}$ 

    • ​矩阵的乘法

      • ​ $AB$ : $A$ 左乘 $B$ 

      •  $BA$ $BA$ :  $A$ 右乘 $$BB 

      • ​方阵的幂 $\bm{A}^k$ 

    • ​矩阵的转置 $\bm{A}^T$ 

    • ​分块矩阵的运算

    • ​方阵的行列式 $|\bm{A}|$ 

  • ​逆矩阵

    • 求解

      • ​定义

      • ​伴随矩阵 $\bm A^{-1}=\dfrac{1}{\lvert\bm A\rvert}\bm A^\ast=\dfrac{1}{\lvert\bm A\rvert} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$ 

      • ​初等行变换 $(\bm A,\bm E)\xrightarrow{r}\cdots \xrightarrow{r}(\bm E,\bm A^{-1})$ 

      • ​ $\begin{pmatrix} \bm A & \bm O \\ \bm O & \bm B \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} \bm A^{-1} & \bm O \\ \bm O & \bm B^{-1} \end{pmatrix},\,\, \begin{pmatrix} \bm O & \bm A \\ \bm B & \bm O \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} \bm O & \bm B^{-1} \\ \bm A^{-1} & \bm O \end{pmatrix}$ 

    • 证明

      •  $\lvert \bm A\rvert\neq0$ 

      • ​特征值均不为 $0$ 

      • ​反证法

    • ​应用

      • ​矩阵多项式 $\varphi(\bm A)$ 

        • ​若 $\bm P^{-1}\bm A\bm P=\bm\Lambda$  , 则 $\varphi(\bm A)=\bm P\varphi(\bm\Lambda)\bm P^{-1}$ 

  • ​克拉默法则

    • ​ $x_1=\dfrac{|\bm A_1|}{|\bm A|},\,x_2=\dfrac{|\bm A_2|}{|\bm A|},\cdots,x_n=\dfrac{|\bm A_n|}{|\bm A|}$ 

• ​矩阵的初等变换与线性方程组

  • ​矩阵的初等变换

    • ​初等行（列）变换

      •  $r_i\leftrightarrow r_j$  $(c_i\leftrightarrow c_j)$  

      • ​ $r_i\times k\,\, (k\neq 0)$ $(c_i\times k)$  $k\neq 0$  

      • ​ $r_i+k r_j$  $(c_i+kc_j)$ 

    • 初等矩阵

      • ​ ${\bm E}(i,j),\,{\bm E}(i(k)),\,{\bm E}(ij(k))$ 

      • 对 ${\bm A}$ 施行一次初等行变换 $\Leftrightarrow$ 在 ${\bm A}$ 的左边乘相应的初等矩阵

      • ​对 ${\bm A}$ 施行一次初等列变换 $\Leftrightarrow$ 在 ${\bm A}$ 的右边乘相应的初等矩阵

    • ​行阶梯形矩阵

      • ​行最简形矩阵

  • ​矩阵的等价

    •  $\bm A \overset{r}{\sim} \bm B$ 

      • ​ $\bm {PA=B},\,|\bm P|\neq0$ 

    • ​ $\bm A \overset{c}{\sim} \bm B$ 

      • ​ $\bm {AQ=B},\,|\bm Q|\neq0$ 

    • ​ $\bm A \sim\bm B$ 

      • ​ $\bm {PAQ=B},\,|\bm P|,|\bm Q|\neq0$ 

    • ​方阵 $\bm {A}$ 可逆 $\Leftrightarrow$  $\bm {A \overset{r}{\sim} E}$ 

  • ​矩阵的秩

    • ​定义

      • ​非零子式的最高阶数

    • ​性质

      • ​ $0\leq R(\bm A_{m\times n})\leq \min\{m,n\}$ 

      • ​ $R(\bm A)=R(\bm A^{\rm T})$ 

      • ​ ${\bm A} \sim {\bm B}$  $\Leftrightarrow$  $R(\bm A)=R(\bm B)$ 

      • ​ $\max\{R(\bm A), R(\bm B)\}\leq R(\bm A,\bm B)\leq R(\bm A)+R(\bm B)$ 

      • ​ $R(\bm A+\bm B)\leq R(\bm A)+R(\bm B)$ 

      • ​ $R(\bm A\bm B)\leq \min\{R(\bm A),R(\bm B)\}$ 

      • ​若 ${\bm A}_{m\times n}{\bm B}_{n\times l}=\bm O$ ，则 $R(\bm A)+R(\bm B)\leq n$ 

      • ​若 ${\bm A}$ 列满秩 $\bm {AB=C}$ ，则 $R(\bm B)=R(\bm C)$ 

      • $\bm A$ 行满秩 $\Leftrightarrow$  $\bm{AX=E}$ 有解

  • ​线性方程组的解

    • 齐次线性方程组 $\bm {Ax=0}$ 

      • ​只有零解 $\Leftrightarrow$  $\bm$A 列满秩

      • ​有非零解 $\Leftrightarrow$  $\bm A$ 非列满秩

    • ​非齐次线性方程组 $\bm {Ax=b}$ 

      • ​无解 $\Leftrightarrow$  $R(\bm A)<R(\bm {A,b})$ $R(\bm A)<R(\bm A,\bm b)$  

      • ​唯一解 $\Leftrightarrow$  $R(\bm A)=R(\bm A,\bm b)$且 $\bm A$ 列满秩

      • ​无限多解 $\Leftrightarrow$  $R(\bm A)=R(\bm A,\bm b)$ 且 $\bm A$ 非列满秩