同济版(第六版)线性代数 知识点数理 |
线性代数
行列式
定义
不同行不同列元素乘积的代数和
全排列,逆序数
性质
转置不改变行列式的值
某行(列)存在公因数 ,可把 提到行列式外
某行(列)所有元素都是两数之和,则行列式可写成两个行列式之和
两行(列)互换,行列式改变符号
行列式两行(列)相等,则行列式等于
某行(列)的 倍加至另一行(列),行列式值不变
行列式两行(列)成比例,则行列式等于
按行(列)展开
的代数余子式
的代数余子式只与 的位置有关,而与 的值无关
计算
具体形式
定义
上(下)三角行列式
递推
抽象形式
行列式的性质
特征值
应用
齐次线性方程 解的情况
通过伴随矩阵求逆矩阵
线性无关(相关)的判定
矩阵可逆的证明
矩阵特征值的计算
二次型正(负)定性的判定
向量组的线性相关性
线性表示
方程组 有解
线性无关, 线性相关
能由 线性表示
必要条件:
与 能相互线性表示
线性相关
定义
若存在不全为 的 使得
判定
充要条件
有非零解
某 能由其余向量线性表示
充分条件
个 维向量,
部分组线性相关
线性无关
定义
若 ,则
判定
只有零解
任意 均不能由其余向量线性表示
向量组的秩
最大无关组
线性无关
任意 个向量线性相关
任意向量能由 线性表示
矩阵的秩
矩阵的秩等于其列向量组的秩,也等于其行向量组的秩
线性方程组解的结构
齐次线性方程组
基础解系
解集 的任一最大无关组
的列数
通解
非齐次线性方程组
非齐次方程的通解 对应的齐次方程组的通解 非齐次方程组的一个特解
向量空间
定义
对向量的加法及数乘封闭
向量组生成的向量空间
基
最大无关组
维数
向量组的秩
坐标
过渡矩阵
坐标变换公式
相似矩阵及二次型
内积
内积的定义、性质
定义
性质
对称性
线性性质
非负性
施瓦茨不等式
向量的长度
定义
性质
非负性
齐次性
三角不等式
正交性
向量的夹角
正交向量
当 时,称向量 与向量 正交
规范正交基
两两正交的单位向量
施密特正交化
正交矩阵
定义
若 为正交矩阵,则 称为正交变换
性质
正交变换保持向量的长度不变
特征值与特征向量
定义
特征值为特征多项式 的根
对应于特征值 的特征向量是齐次线性方程 的非零解
性质
若 是 的 个不同的特征值, 是对应于 的 个线性无关的特征向量,则 线性无关
应用
若 且 ,则
相似矩阵
定义
与 相似,则 与 的特征值完全相同
与 相似,则 是 的特征值
(相似)对角化
阶矩阵 能(相似)对角化 有 个线性无关的特征向量
方阵的幂的计算
实对称矩阵的对角化
性质
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的
实对称矩阵必能(相似)对角化
存在可逆阵
存在正交阵
步骤
可逆阵
求出 的所有互不相等的特征值 ,重数依次为
对于 重特征值 ,解齐次方程 得到 个线性无关的特征向量
将 个线性无关的特征向量作为列向量构成可逆矩阵 ,则 , 中对角线元素排列次序与 中列向量排列次序一致
正交阵
求出 的所有互不相等的特征值 ,重数依次为
对于 重特征值 ,解齐次方程 得到 个线性无关的特征向量,将其施密特正交化,再单位化,得到 个两两正交的单位特征向量
将 个两两正交的单位特征向量作为列向量构成正交矩阵 ,则 , 中对角线元素排列次序与 中列向量排列次序一致
二次型
定义
标准形
规范形
秩
对称矩阵 的秩为二次型 的秩
合同矩阵
合同对角化
对于对称矩阵 ,寻找可逆矩阵 ,使 为对角阵
对任意二次型 ,总存在正交变化 ,总有正交变换 ,使
配方法化标准形
含 的平方项和交叉项
正定二次型
惯性定理
二次型的任意两个标准形中正(负)系数的个数相等
二次型的标准形中正(负)系数的个数称为正(负)惯性指数
定义
正定二次型
任给 ,都有
负定二次型
任给 ,都有
判定
元二次型 正定 的正惯性指数为
正定 的特征值全为正
赫尔维茨定理
正定 的各阶主子式全为正
负定 的奇数阶主子式全为负,偶数阶主子式全为正
矩阵及其运算
定义
个数组成的 行 列数表
矩阵与线性变换一一对应
特殊矩阵
列(行)向量
对角阵
单位阵
对称矩阵
正交矩阵
运算
矩阵的加法
数乘矩阵
矩阵的乘法
: 左乘
方阵的幂
矩阵的转置
分块矩阵的运算
方阵的行列式
逆矩阵
求解
定义
伴随矩阵
初等行变换
证明
特征值均不为
反证法
应用
矩阵多项式
若 , 则
克拉默法则
矩阵的初等变换与线性方程组
矩阵的初等变换
初等行(列)变换
初等矩阵
对 施行一次初等行变换 在 的左边乘相应的初等矩阵
对 施行一次初等列变换 在 的右边乘相应的初等矩阵
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
矩阵的等价
方阵 可逆
矩阵的秩
定义
非零子式的最高阶数
性质
若 ,则
若 列满秩 ,则
行满秩 有解
线性方程组的解
齐次线性方程组
只有零解 列满秩
有非零解 非列满秩
非齐次线性方程组
无解
唯一解 且 列满秩
无限多解 且 非列满秩