一 现金流量和资金的时间价值

• 一 现金流量和资金的时间价值

  • (一) 现金流量

    • 1 现金流量的含义

      • . (1) 现金流入 ( $CI_t$ ) : 在某一时点 t 流入系统的资金称为现金流人，记为  $CI_t$ (cash inflow的简写)

      • . (2) 现金流出 ( $CO_{t}$ ) : 在某一时点 $t$ 流出系统的资金称为现金流出, 记为  $CO_{t}$  (cash outflow的简写)

      • . (3) 净现金流量 ( $NCF$ 或  $(CI-CO)_{t}$  ): 在同一个时间点上的现金流入与现金流出之差称为净现金流量, 记为 NCF (Net Cash Flow) 或  $(CI-CO)_{t}$ 

      • . (4) 现金流量 : 现金流入量、现金流出量、净现金流量统称为现金流量

      • 注意: 现金流入和现金流出是从研究对象的角度划分的 , 公司从银行接入一笔钱, 从企业角度来说, 是现金流入, 但从银行角度来说就是现金流出了.

    • 2 现金流量图

      • 现金流量图是一种反映经济系统资金运动状态的图式，运用现金流量图可以形象、 直观地表示现金流量的兰要素: 大小(资金数额) 、方向(资金流入或流出)和作用点(资金流入或流出的时间点) ，如图 4. 1. 1 所示.

      • 绘图规则:

      • . (1) 横轴的含义: 横轴为时间轴，0 表示时间序列的起点, n 表示时间序列的终点. 轴上每一间隔表示一个时间单位，一般可取年、半年、季或月等. 整个横轴表示系统的寿命周期.

      • . (2) 箭线的含义: 与横轴相连的垂直箭线代表不同时点的现金流入或现金流出. 在横轴上方的箭线表示现金流入;在横轴下方的箭线表示现金流出.

      • . (3) 箭线长度表示流量大小: 垂直箭线的长度要能适当体现各时点现金流量的大小，并在各箭线上方(或下 方)注明其现金流量的数值.

      • . (4) 交点为发生点: 垂直箭线与时间轴的交点为现金流量发生的时点(作用点)

  • (二) 资金的时间价值

    • 1 资金时间价值的含义

      • 资金在运动中, 其数量会随着时间的推移而变动, 变动的这部分资金就是原有资金的时间价值.

      • 举个例子, 你把100块钱存到余额宝中, 一年后, 因为利息, 100变成了101, 这1块钱就是原来100块钱的在一年时间的时间价值

    • 2 利息和利率

      • 利息是资金时间价值的一种重要表现形式. 通常，用利息作为衡量资金时间价值的绝对尺度，用利率作为衡量资金时间价值的相对尺度.

      • (1) 利息

        • 在资金借贷过程中，债务人支付给债权人的超过原借款本金的部分就是利息. 即:  $I=F-P$  ​ 其中 I 表示利息, F 表示还本付息总额, P 表示本金. 比如上面的余额宝的例子, 公式表示: 1 = 101 - 100

        • 在工程经济分析中, 利息还被理解为资金的一种机会成本, 是指占用资金所付的代价或者是放弃现期消费 所得的补偿.

      • (2) 利率

        • 利率是一个时间单位内(如年、半年、 季、 月、周、日等)所得(或所付) 利息与借款本金之比 , 通常用百分数表示, 即:  $i=\frac{I_{t}}{P} 100\%$  其中, i 表示利率,  $I_{t}$  表示一个时间单位内的利息, P 表示借款本金.

      • (3) 影响利率的主要因素

        • 主要有四个方面:

        • 1. 社会平均利润 一般情况下, 平均利润率是利率的最高界限

        • 1. 借贷资本供求情况

        • 1. 借贷风险

        • 1. 通货膨胀

        • 1. 接待期限

• 二 利息计算方法

  • 主要分为单利和复利

  • (一) 单利计算

    • 基本公式:
      单利是指在计算每个周期的利息时，仅考虑最初的本金，而不计入在先前计息周期中所累积增加的利息，即通常所说的"利不生利"的计息方法. 其一个计息期的计算公式如下:  $I_{t}=P \cdot i_{\mathrm{d}}$  其中,  $I_{t}$  表示第 t 个计息期的利息额, P 表示本金,  $i_{\mathrm{d}}$  表示计息周期单利的利率.

    • 总利息:
      设  $I_{n}$  代表 n 个计息周期所付或所收的单利总利息, 则有:  $I_{n}=\sum_{i=1}^{n} I_{i}=\sum_{i=1}^{n} P \cdot i_{\mathrm{d}}=P \cdot i_{\mathrm{d}} \cdot n$ 

    • 单利本利和(F):也就是本金加利息的和. 从上式可以看出, 在以单利计息的情况下，总利息与本金、利率以及计息周期数成正比

    • 那么, n 期末单利本利和 F 等于本金加利息, 即:  $F=P+I_{n}=P\left(1+n \cdot i_{d}\right)$  我们把  $(1+n \cdot i_{d})$  叫做 单利终值系数

  • (二) 复利计算

    • 基本公式:
      复利是指将其上期利息结转为本金一并计算本期利息，即通常所说的"利生利" "利滚利"的计息方法. 其计算式如下 :  $I_{t}=i \cdot F_{t-1}$  其中,  $I_{t}$  表示第 t 个计息期的利息额, i 表示计息周期复利利率,  $F_{t-1}$  表示第 (t-1) 个计息期末复利本利和(其实就是前面 t-1 个计息期的本利和).

    • 复利本利和 ( $F_t$ ) :
      第 t 年末复利本利和的表达式如下:  $F_{t}=F_{t-1} \cdot(1+i)=F_{t-2} \cdot(1+i)^{2}=\cdots=P \cdot(1+i)^{n}$  其中, n 表示需要计算的终点的计息期数,

    • 1. 在工程经济分析中，一般采用复利计算
      2. 复利计算有间断复利和连续复利之分, 常用的按期(年,半年,季, 月等)计算复利的方法称为间断复利, 也就是普通的复利, 所以, 实际应用中, 一般采用间断复利.

• 三 等值计算

  • (一) 影响资金等值的因素

    • 1 什么是等效值

      • 由于资金的时间价值，使得金额相同的资金发生在不同时间，会产生不同价值. 而不同时点绝对值不等的资金在时间价值的作用下却可能具有相等价值 , 这些不同时期、不同数额但其"价值等效"的资金称为等值，又叫等效值.

    • 2 影响等效值的因素有哪些

      • 影响资金等值的因素有三个:

      • . 资金的多少

      • . 资金发生的时间

      • . 利率 (或折现率)大小

      • 利率是一个关键因素，在等值计算中，一般以同一利率为依据.

  • (二) 等值计算方法

    • 主要分为两类, 即一次支付和等额支付

    • 1 一次支付情形

      • 一次支付又称整付，是指所分析系统的现金流量，无论是流人还是流出，只在某一时点上发生一次。

      • (1) 终值的计算(已知 P 求 F )

        • 现有一笔资金 P. 计息周期利率为 i，按复利计算，求解 n 期末的本利和 F . 即 已知 P, i, n ， 求 F其实就是公式 (4.1.7), 一次支付 n 期末复利本利和 F 的计算公式为:  $\color{red} F=P(1+i)^{n}$ 

        • 符号说明

          • . i : 计息周期复利率

          • . n : 计息周期数

          • . P : 现值, 指资金发生在某一特定时间序列起点时的价值

          • . F : 终值, 指资金发生在某一特定时间序列终点时的价值.

        • 公式的另一种写法:

          • 同时, (4.1.8) 中的  $(1+i)^n$  称为一次支付终值系数, 用 (F / P, i, n) 表示, 那么 (4.1.8) 又可以改写成:  $\color{red}F=P(F / P, i, n)$  

          • 便于理解和记忆公式含义:
            在 (F / P, i, n) 这类符号中，括号内斜线左侧的符号表示所求的未知数，斜线右侧的符号表示已知数. (F / P, i, n) 则表示在已 P, i, n 的情况下求解 $F$ 值

      • (2) 现值的计算(已知 F 求 P )

        • 即已知 F 求 P . 把公式 (4.1.8) 调换下位置即可得到:  $\color{red} P=F(1+i)^{-n}$
          

        •  $(1+i)^{-n}$ 称为一次支付现值系数, 用符号 (P/F, i, n) 表示. 公式 (4.1.10) 也常写作:  $\color{red} P=F(P / F, i, n)$ 

        • 上面的过程也可以称为"折现"或者"贴现". 其所使用的利率常称为折现率或贴现率. 所以,  $(1+i)^{-n}$ 或 (P/F, i, n) 也称为折现系数或贴现系数

    • 2 等额支付系列情形

      • 在工程实践中，多次支付是最常见的支付形式。多次支付是指现金流量在多个时点发生，而不是集中在某一时点上. 即每个时点都发生了现金流量.

      • (1) 通用公式理解

        • 若用  $A_{t}$  表示第 t 期末发生的现金流量( 可正可负), 用一次支付现值计算方法将多次支付现金流量换算成现值并求期代数和, 即:  $P=A_{1}(1+i)^{-1}+A_{2}(1+i)^{-2}+\cdots+A_{n}(1+i)^{-n}=\sum_{t=1}^{n} A_{i}(1+i)^{-t}$  也可以写成:  $P=\sum_{t=1}^{n} A_{t}(P / F, i, t)$ 同样的, 也可将多次现金流量换算成终值:  $F=\sum_{t=1}^{n} A_{t}(1+i)^{n-t}$ 

        • 或者也可以写成: $F=\sum_{t=1}^{n} A_{t}(F / P, i, n-t)$ 到这里, 通用公式就出来了. 由于每一期现金流量不同,计算麻烦, 因此引入等额支付.

      • (2) 等额支付的现值和终值计算

        • 对于等额支付系列现金流量, 其复利计算方法如下:

        • 1) 终值计算 (即已知 A 求 F )

          • ​另一种写法: $\color{red}F=A(F / A, i, n)$ 
            

          • 由(4.1.14)展开可得:
             $F=\sum_{i=1}^{n} A_{i}(1+i)^{n-t}=A\left[(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)+1\right]$ 
            进一步有:
             $\color{red}F=A \frac{(1+i)^{n}-1}{i}$ 
            式子中,  $\frac{(1+i)^{n}-1}{i}$ 称为等额系列终值系数或年金终值系数, 用符号 (F / A, i, n)表示,

        • 2) 现值计算(已知 A 求 P )

          • 由公式 (4. 1. 10) 和公式 (4.1.16) 就可以得到:
            
             $\color{red}P=F(1+i)-n=A \frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}$ 
            式子中,  $\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}$ 称为等额系列现值系数或年金现值系数, 用符号 (P / A, i, n)表示.

          • 和上面一样, (4.1.18) 还可以写成:  $\color{red} P=A(P / A, i, n)$  

        • 3) 资金回收计算 (已知 P 求 A)

          • 直接由公式 (4. 1. 18) 可得: 
             $\color{red} A=P \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}$ 
             式子中,  $\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}$  称为等额支付系列资金回收系数, 用符号 (A / P, i, n) 表示, 

          • ​那么同样的, 公式 (4.1.20) 可以改写为:  $\color{red} A=P(A / P, i, n)$ 

        • 4) 偿债基金计算 (已知 F 求 A )

          • 直接由公式 (4.1.16) 逆运算可得: 
             $\color{red} A=F \frac{i}{(1+i)^{n}-1}$ 
             式子中,  $\frac{i}{(1+i)^{n}-1}$ 称为等额支付系列偿债基金系数, 用符号 (A / F, i, n) 表示, 

          • ​同样的, 公式 (4.1.22) 可以改写成:  $\color{red} A=F(A / F, i, n)$