数理统计

• 参数估计

  • ​点估计

    • ​概念

      • ​ $设X_1,X_2\dotsb,X_n是取自总体X的一个样本,x_1,x_2,\dotsb,x_n是相应的一个样本值。\theta是\\总体分布中的未知参数，为估计未知参数\theta 需构造一个适当的统计量 \mathop{\theta}\limits^\wedge(X_1,X_2,\dotsb,X_n)然\\后用其观察值 \mathop{\theta}\limits^\wedge(x_1,x_2,\dotsb,x_n)来估计\theta的值。\\ \mathop{\theta}\limits^\wedge(X_1,X_2,\dotsb,X_n)称为\theta的估计量，\mathop{\theta}\limits^\wedge(x_1,x_2,\dotsb,x_n)称为\theta的估计值。 估计量与估计值统称为点估计，\\并简记为\mathop{\theta}\limits^{\wedge}\\ 注：估计量\mathop{\theta}\limits^\wedge(X_1,X_2,\dotsb,X_n)是一个随机变量，是样本的函数，\\即一个统计量，对不同的样本值，\theta的估计值\mathop{\theta}^{\wedge}一般是不同的。$ 

    • 评价估计量的标准

      • ​无偏性

        • ​定义

          •  $设\hat{\theta}(X_1,X_2,\dotsb,X_n)是未知参数\theta的估计量，若E(\hat{\theta})=\theta,则称\\ \hat{\theta}为\theta的无偏估计量$ 

        • ​定理

          • ​ $(设X_1,X_2,\dotsb,X_n为取自总体X的样本，总体X的均值为\mu，方差为\sigma^2,则\\ (1)样本均值\bar{X}是\mu的无偏估计量；\\ (2)样本方差S^2是\sigma^2的无偏估计量;\\ (3)样本二阶中心矩\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2是\sigma^2的有偏估计量$ 

      • ​有效性

        • ​定义

          • ​ $设\hat{\theta}_1=\hat{\theta}_1(X_1,X_2,\dots,X_n)和\hat{\theta}_2=\hat{\theta}_2(X_1,X_2,\dots,X_n)都是\\ 参数\theta的无偏估计量，若D(\hat{\theta_1})\lt D(\hat{\theta_2}),则称\hat{\theta_1}较\hat{\theta_2}有效.$ 

        • ​最小方差无偏估计

          • ​ $在数理统计中常用到最小方差无偏估计，其定义如下:\\ 设X_1,X_2,\dotsb,X_n是取自总体X的一个样本，\hat{\theta}(X_,1X_2,\dotsb,X_n)是\\ 未知参数\theta的一个估计量，若\hat{\theta}满足：\\ (1)E(\hat\theta)=\theta，即\hat\theta是\theta的无偏估计\\ (2)D(\hat\theta)\leqslant D(\hat\theta^*)，\hat\theta^*是\theta的任一无偏估计\\ 则称\hat\theta为\theta的最小方差无偏估计$ （最佳无偏估计）

      • 一致性

        • ​定义

          • ​ $设\hat\theta=\hat\theta(X_1,X_2,\dotsb,X_n)为未知参数\theta的估计量，若\hat\theta依概率收敛于\theta,\\ 即对任意\varepsilon\gt 0，有\\ \lim\limits_{n\to \infty}P\{|\hat\theta-\theta|\lt \varepsilon\}=1,或\lim\limits_{n\to \infty}P\{|\hat\theta-\theta|\geqslant\varepsilon\}=0.\\ 则称\hat\theta为\theta的(弱)相合估计量(样本均值\bar{X}是总体均值E(X)的相合估计量)$ 

    • ​点估计的常用方法

      • ​矩估计法

        • ​背景

          • ​用样本矩去估计总体矩。由大数定律知，当总体的 $用相应的样本矩去k$ 阶矩存在时，样本的 $k$ 阶矩依概率收敛于总体的 $k$ 阶矩。

        • ​定义

          • ​ $用相应的样本矩去$

        • ​方法(流程)

          • ​ $设总体X的分布函数F(x;\theta_1,\dotsb,\theta_k)中含有k个未知参数\theta_1,\dotsb,\theta_k,则\\(1)求总体X的前k阶矩\mu_1,\dotsb,\mu_k,他们一般都是k个未知参数的函数，记为\\ \mu_i=g_i(\theta_1,\dotsb,\theta_k),i=1,2,\dotsb,k\\ (2)从(1)中解的\theta_j=h_j(\mu_1,\dotsb,\mu_k),j=1,2,\dotsb,k\\ (3)再用\mu_i(i=1,2,\dotsb,k)的估计量A_i分别代替上式中的\mu_i，即得\theta_j(j=1,2,\dotsb,k)的矩估计量:\\ \hat\theta_j=h_j(A_1,\dotsb,A_k),j=1,2,\dotsb,k.$ 

      • ​最大似然估计法

        • ​背景

          • ​寻找使这个结果出现的可能性最大的 $\theta$ 值作为 $\theta$ 的估计值 $\hat\theta$ 

        • ​定义

          • ​离散型似然函数

            • 
              

               $设总体X的概率分布为：\\ P\{x=x\}=p(x;\theta)(\theta为未知参数)\\ 如果X_1,X_2,\dotsb,X_n时取自总体X的样本，样本的观察值为x_1,x_2,\dotsb,x_n,\\ 则样本的联合分布律为：\\ P(X_1=x_1,X_2=x_2,\dotsb,X_n=x_n)=\mathop\varPi\limits_{i=1}^np(x_1;\theta),\\ 对确定的样本观察值x_1,x_2,\dotsb,x_n,它是未知参数\theta的函数，记为\\ L(\theta)=L(x_1,x_2,\dotsb,x_n;\theta)=\mathop\varPi\limits_{i=1}^nf(x_i;\theta),称其为似然函数$ 

          • ​连续型似然函数

            • ​ $设总体X的概率密度为f(x_i;\theta)，其中\theta为未知参数，此时定义似然函数\\ L(\theta)=L(x_1,x_2,\dotsb,x_n;\theta)=\mathop\varPi\limits_{i=1}^nf(x_i;\theta)$ 

          • ​最大似然估计法

            • ​ $似然函数L(\theta)的值的大小意味着该样本出现的可能性的大小，在已得到样本值\\x_1,x_2,\dotsb,x_n的情况下，则应该选择使L(\theta)达到最大值的那个\theta最为\theta的估计\hat\theta\\ 这种求点估计的方法称为最大似然估计法。$ 

        • ​一般方法

          • ​ $求未知参数\theta的最大似然估计问题，可归结为求似然函数L(\theta)的最大值点的问题。\\ 当似然函数关于未知参数可微时，可利用微分学中求最大值的方法求之。主要步骤为：\\ (1)写出似然函数L(\theta)=L(x_1,x_2,\dotsb,x_n;\theta).\\ (2)令\cfrac{dL(\theta)}{d\theta}或\cfrac{dlnL(\theta)}{d\theta}=0,求出驻点\\ (3)判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，将样本值带入就得到参数的最大似然\\估计值$ 

  • 置信区间（服从正态分布）

    • ​概念

      • ​ $设\theta为总体分布的未知参数，X_1,X_2,\dotsb,X_n是取自总体X的一个样本，对给定的数\\ 1-\alpha(0\lt \alpha\lt 1),若存在统计量\\ \underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1,X_2,\dotsb,X_n),\bar{\theta}=\bar{\theta}(X_1,X_2,\dotsb,X_n),使得P\{\underline{\theta}\lt\theta\lt\bar{\theta}\},\\ 则称随机区间(\underline{\theta},\bar\theta)为\theta的1-\alpha双置信区间，称1-\alpha为置信度(置信水平)又分别称\\ \underline\theta与\bar\theta为\theta的双侧置信下限与双侧置信上限$ 

    • ​寻求置信区间的一般方法

      • ​ $选取未知参数\theta的某个较优估计量\hat\theta;$ 

      • ​ $围绕\hat\theta构造一个依赖于样本与参数\theta的函数U=U(X_1,X_2,\dotsb,X_n,\theta)$ ;并且该函数的分布是已知的(与 $\theta$ 无关)，称具有这种性质的随机变量为枢纽变量

      • ​ $对给定的置信水平1-\alpha，确定\lambda_1,与\lambda_2,使P\{\lambda_1\leqslant U\leqslant\lambda_2\},通常可选取满足\\ P\{U\leqslant\lambda_1\}=P\{U\geqslant\lambda_2\}=\cfrac{\alpha}{2}的\lambda_1和\lambda_2,在常用分布下，可由分位数表查的$ 

      • ​ $对不等式\lambda_1\leqslant U\leqslant\lambda_2作恒等变换后化为P\{\underline\theta\leqslant\theta\leqslant\bar\theta\}=1-\alpha,则(\underline\theta,\bar\theta)\\就是\theta的置信度为1-\alpha的双侧置信区间$ 

    • ​0-1分布参数的置信区间

      • ​ $考虑0-1分布情形，设其总体X的分布律为 P\{X=1\}=p,P\{X=0\}=1-p(0\lt p\lt1)\\求p得置信度为1-\alpha得置信区间$ 

      • ​ $已知0-1分布得均值和方差分别为E(X)=p,D(X)=(1-p)\\ 设X_1,X_2,\dotsb,X_n是总体得一个样本，由中心极限定理知，当n充分大时，\\ U=\cfrac{\bar{X}-E(X)}{\sqrt{D(X/n)}}=\cfrac{\bar X-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}近似N(0,1)分布，对给定得置信度1-\alpha\\ 有P\left\{|\cfrac{\bar{X}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}|\lt u_{\alpha/2}\right\}\approx1-\alpha\\ 经不等式变形得P\{ap^2+bp+c\lt 0\}\approx1-\alpha,其中a=n+(u_{\alpha/2})^2,b=-2n\bar{X}-(u_{\alpha/2})^2,c=n(\bar{X})^2,解得P\{p_1\lt p \lt p_2\}\approx 1-\alpha\\ 其中p_1=\cfrac{1}{2a}\Big(-b-\sqrt{b^2-4ac}\Big),p_2=\cfrac{1}{2a}\Big(-b+\sqrt{b^2-4ac}\Big)\\ 于是，(p_1,p_2)可作为p得置信度1-\alpha的置信区间$ 

    • ​单侧置信区间

      • ​ $设\theta为总体分布的未知参数，X_1,X_2,\dotsb,X_n是取自总体X的一个样本，对给定的\\ 数1-\alpha(0\lt \alpha \lt1),若存在统计量\underline \theta=\underline \theta(X_1,X_2,\dotsb,X_n)满足P\{\underline \theta\lt \theta\}=1-\alpha\\ 则称(\underline\theta,+\infty)为1-\alpha的单侧置信区间，称\underline\theta为\theta的单侧置信下限；\\ 若存在统计量\bar\theta=\bar\theta(X_1,X_2,\dotsb,X_n),满足P\{\theta\lt \bar\theta\}=1-\alpha,则称(-\infty,\bar\theta)为\theta的\\ 1-\alpha的单侧置信区间，称\bar\theta为\theta的单侧置信上限。$ 

  • ​正态总体的置信区间

    • ​单正态总体均值的置信区间

      • ​方差已知

      • ​方差未知

    • ​单正态总体方差的置信区间

    • ​双正态总体均值差的置信区间

      • ​方差已知

      • ​方差未知但相等

    • ​双正态总体方差比的置信区间

• 数理统计的基础知识

  • 概念

    • ​总体、个体、总体的容量

    • ​总体分布

      • ​随机变量X为总体，随机变量的分布为总体分布

    • ​样本与样本分布

      • ​样本、样本值、样本容量

      • ​简单随机样本、样本分布

      • ​离散总体概率分布和离散样本概率分布

        • ​ $$  $F(x_1,x_2\dotsb,x_n)=\mathop{\varPi}\limits_{i=1}^{n}F(x_i),并称其为样本分布$ 

        • ​ $f(x_1,x_2,\dotsb,x_n)=\mathop{\varPi}\limits_{i=1}^{n}f(x_i),分别称f(x)与f(x_1,x_2,\dotsb,x_n)为连续总体概率密度与连续样本概率密度$ 

    • ​统计量

      • ​样本均值

        • ​ $\bar{X}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$ 

      • ​样本方差

        • ​ $S^2=\cfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2或S^2=\cfrac{1}{n-1}(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-n{\bar{X}}^2)$ 

      • ​样本标准差

        • ​ $S=\sqrt{\cfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$ 

      • ​样本 $k$ 阶原点矩

        • ​ $A_k=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k,k=1,2,\dotsb$ 

      • 样本k 阶中心距
        

        • ​ $B_k=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k,k=2,3,\dotsb$ 

  • ​三个重要的统计分布

    • 分位数

      • ​上侧分位数

        • ​ $设随机变量X的分布函数为F(x),对给定的实数\alpha(0\lt \alpha\lt1)若实数满足\\ P\{X\gt F_\alpha\}=\alpha,则称F_\alpha为随机变量X分布水平\alpha的上侧分位数。$ 

      • ​双侧分位数

        • ​ $若实数T_{\alpha/2}满足P\{|X|\gt T_\alpha/2\}=\alpha则称T_{\alpha/2}为随机变量X分布水平\alpha的双侧分位数$ 

    • ​ $\chi^2分布$ 

      • ​定义

        • ​ $设X_1,X_2\dotsb,X_n是取自总体N(0,1)的样本，称统计量\\ \chi^2=X_1+X_2+\dotsb+X_n\\ 服从自由度为n的\chi^2分布m，记为\chi^2\sim\chi^2(n)$ 

      • ​密度函数

        • ​ $f(x)=\begin{cases}\cfrac{1}{2^{n/2}\varGamma(n/2)}2^{n/2-1}e^{-0.5x},&x\gt 0\\ 0,&x\leqslant 0 ,\end{cases}\\ 其中：\varGamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\\ 且\varGamma(\alpha)具有如下性质：\\ (1)\varGamma(\alpha+1)=\alpha\varGamma(\alpha)\\ (2)\varGamma(n)=(n-1)!\\ (3)\varGamma(\cfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$ 

      • ​性质

        •  $(1)\chi^2分布的期望与方差：\\ 若\chi^2\sim \chi^2(n),则E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n.$ 

        • ​ $(2)\chi^2分布的可加性：\\ 若\chi^2_1\sim\chi^2(m),\chi_2^2\sim\chi^2(n),且\chi_1^2,\chi_2^2相互独立，则\\ \chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(m+n)$ 

        • ​ $(2)\chi^2分布的分位数: 设\chi^2\sim\chi^2(n),对给定的实数\alpha(0\lt \alpha \lt 1)称满足条件\\ P\{\chi^2\gt\chi_{\alpha}^2(n)\}=\int_{{\chi_\alpha^2}(n)}f(x)dx=\alpha\\ 的数\chi_\alpha^2(n)为\chi^2(n)分布的水平\alpha的上侧分位数(上侧\alpha分位数)$ 

        • ​ $当n充分大时，近似有\\ \chi_\alpha^2(n)\approx\cfrac{1}{2}(u_\alpha+\sqrt{2n-1})^2\\ 其中u_\alpha是标准正态分布的水平\alpha的上侧分位数$ 

    • ​ $t分布$ 

      • ​定义

        • ​ $设X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n),且X与Y相互独立，则称T=\cfrac{X}{\sqrt{Y/n}}服从\\ 自由度为n的t分布，记为T\sim t(n).\\t(n)分布的概率为f(x)=\cfrac{\varGamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\varGamma(n/2)}(1+\cfrac{x^2}{n})^{-\cfrac{n+1}{2}},-\infty\lt x \lt+\infty$ 

      • ​性质

        • ​ $(1)f(x)的图像关于y轴对称，且\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0.$ 

        • ​ $(1)当n充分大是，t分布近似于标准正态分布。事实上，\\ \lim\limits_{n\to +\infty}f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\cfrac{x^2}{2}},但当n足够小时，t分布与标准正态分布相差较大$ 

        • ​ $(3)t分布的分位数：\\ 设T\sim t(n),对给定的实数\alpha(0\lt \alpha \lt 1)，称满足条件\\ P\{T\gt t_\alpha(n)\}=\int_{t_\alpha(n)}^{+\infty}f(x)dx=\alpha的数t_\alpha(n)为t(n)分\\ 布的水平\alpha的上侧分位数。由密度函数f(x)的对称性，可得\\ t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$ 

    • ​ $F分布$ 

      • ​定义

        •  $设X\sim \chi^2(m),Y\sim \chi^2(n),且X与Y相互独立，则称\\ F=\cfrac{X/m}{Y/n}=\cfrac{nX}{mY}服从自由度为(m,n)的F分布\\ ，记为F\sim F(m,n).F(m,n)分布的概率密度为\\ f(x)=\begin{cases} \cfrac{\varGamma[(m+n)/2]}{\varGamma(m/2)\varGamma(n/2)}(\cfrac{m}{n})(\cfrac{m}{n}x)^{m/2-1}(1+\cfrac{m}{n}x)^{-1/2(m+n)} & x\gt 0\\ 0,&x\leqslant 0 \end{cases}$ 

          
          

      • ​性质

        • ​ $(1)若X\sim t(n),则X^2\sim F(1,n).$ 

        • ​ $(2)若F\sim F(m.n),则\cfrac{1}{F}\sim F(n,m)$ 

        • ​ $(3)F分布的分位数：\\ 设F\sim F(n,m),对给定实数\alpha (0\lt x \lt 1),称满足条件\\ P\{F\gt F_\alpha(n,m)\}=\int_{F_\alpha(n,m)}^{+\infty}f(x)dx=\alpha的数F_\alpha(n,m)\\ 为F(n,m)分布的水平\alpha的上侧分位数$ 

  • ​抽样分布

    正态总体下的6个结论

    • ​抽样分布

      • ​小样本统计推断

      • ​大样本总计推断

    • ​单正态总体的抽样分布(小样本)

      • ​样本的期望与方差和方差的期望

        • 样本的期望和方差

          • ​ $设总体X的均值为\mu,方差为\sigma^2,X_1,X_2,\dotsb,X_n是取自X的一个样本，\\ \mathop{X}\limits^-与S^2分别为该样本的样本均值与样本方差。则有\\ E(\mathop{X}\limits^-)=\mu,D(\mathop{X}\limits^-)=\cfrac{\sigma^2}{n}$ 

        • ​样本方差的期望

          • ​ $E(S^2)=E\Big[\cfrac{1}{n-1}\Big(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-n{\bar{X}}^2\Big)\Big]=\cfrac{1}{n-1}\Big[\sum\limits_{i=1}^nE(X_i^2)-nE({\bar{X}}^2)\Big]\\ =\cfrac{1}{n-1}\Big[\sum\limits_{i=1}^{n}(\sigma^2-\mu^2)-n(\sigma^2/n+\mu^2)\Big]=\sigma^2$ 

      • ​定理1

        • ​ $设总体X\sim N(\mu,\sigma^2),X_1,X_2,\dotsb ,X_n是取自X的一个样本，\mathop{X}\limits^-\\ 为该样本的样本均值，则有\\ (1)\mathop{X}\limits^-\sim(\mu,\sigma^2/n); (2)U=\cfrac{\mathop{X}\limits^{-}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ 

      • ​定理2

        • ​ $设总体X\sim N(\mu,\sigma^2),X_1,X_2,\dotsb ,X_n是取自X的一个样本，\mathop{X}\limits^-\\ 与S^2分别为该样本的样本均值与样本方差，则有\\ (1)\chi^2=\cfrac{n-1}{\sigma^2}S^2=\cfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mathop{X}\limits^-)^2\sim \chi^2(n-1);(2)\mathop{X}\limits^-与S^2相互独立$ 

      • ​定理3

        • ​ $设总体X\sim N(\mu,\sigma^2),X_1,X_2\dotsb ,X_n是取自X的一个样本,\\\mathop{X}\limits^-与S^2分别为该样本的样本均值与样本方差,则有\\ (1)\chi^2=\cfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n);(2)T-\cfrac{\mathop{X}\limits^--\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ 

    • ​双正态总体的抽样分布(小样本)

      • ​概念

        •  $设X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)与Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)是两个相互独立的正态总体，\\又设X_1,X_2,\dotsb,X_{n_1}是取自总体X的样本，\bar{X}与S_1^2分别为该样\\本的样本均值和方差.Y_1,Y_2,\dotsb,Y_{n_2}是取自总体Y的样本，\bar{Y}与\\ S_2^2分别为该样本的样本均值和样本方差，在记S_w^2为S_1^2与S_2^2的加\\ 权平均，即：\\ S_w^2=\cfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+b_2-2}$ 

          
          

      • ​性质

        • ​ $(1)U=\cfrac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}\sim N(0,1)$ 

        • ​ $F=\Big(\cfrac{\sigma_2}{\sigma_1}\Big)^2\cfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$ 

        • (3)$当\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2时，T=\cfrac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$ 

    • ​一般总体抽样分布的极限分布

      • ​定义

        • ​ $根据一般总体推导出统计量U_n=\cfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}和T_n\cfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}的极限分布.\\ 其中\mu为总体的均值，\sigma^2为总体的方差，\bar{X}样本的均值，S^2为样本的方差$

        •  $设F_n(x)为随机变量X_n的分布函数，F(x)为随即便变量X的分布函数，\\ 并记CF(X)为F(x)的全体连续点组成的集合，若\\ \lim\limits_{n \to \infty}F_n(x)=F(x),\forall x\in CF(x),\\ 则称随机变量X_n依分布收敛于X，简记为:\\ X_n\xrightarrow{d}X或F_n(x)\xrightarrow{d}F(x)$ 

      • 定理

        • ​ $设X_1,X_2,\dotsb,X_n为总体X的样本，并设总体X的数学期望与方差均存在，\\ 记为E(X)=\mu,D(X)=\sigma^2.记统计量\\ U_n\cfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},T_n=\cfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}.\\ 其中\bar{X}与S^2分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则有\\ (1)F_{U_n}(x)\xrightarrow{d}\Phi(x),(2)F_{T_n}\xrightarrow{d}\Phi(x)\\ 以上F_{U_n}(x),F_{T_{n}}与\Phi(x)分别表示U_n,T_n与标准正态分布的分布函数。$ 

• ​假设检验

  • ​基本概念

    • ​检验的显著性水平

    • ​假设检验的两类错误

    • 原假设与备择假设

  • ​两类错误

    • ​单正态总体均值的假设检验

      • ​均值的检验

      • ​方差的检验

    • 双正态总体的假设检验

      • ​双正态总体均值差的假设检验

      • 双正态总体方差相等的假设检验

• 大数定律

  • ​切比雪夫不等式

    • ​ $设随机变量X的期望E(X)=\mu,方差D(X)=\sigma^2,则对任意给定的整数\varepsilon,有\\ P\{|X-\mu|\geqslant \varepsilon\}\leqslant\cfrac{\sigma^2}{\varepsilon}，该式称为切比雪夫不等式$  $也可写成：P\{|X-\mu|\lt \varepsilon\}\geqslant1-\cfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ 
      

    •  $切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件\\\{|X-\mu|\lt \varepsilon\}发生的概率越大,即X的取值基本上集中\\在他的期望\mu附近。即方差刻画了随机变量取值的离散程度$ 

      
      

  • 大数定律

    •  $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb相互独立，且具有相同的期望和方差: \\ E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2,i=1,2,\dotsb\\ 记Y_n=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,则对任意\varepsilon \gt 0,有\\ \lim_{n\to\infty}P\{|Y_n-\mu|\lt \varepsilon\}=1$ 

      • ​ $对任意\varepsilon\gt0,事件\{|Y_n-\mu|\lt \varepsilon\}发生的概率很大，从概率意义上\\ 指出了当n很大时，Y_n逼近\mu的确切含义。在概率论中，我们把\\大数定律表示的收敛性成为随机变量序列Y_1,Y_2,\dotsb,Y_n,\dotsb 依概\\率收敛于\mu,记为Y_n\xrightarrow{P}\mu$ 

      • ​ $大数定律表明随机变量X_1,X_2,\dotsb ,X_n的算数平均值序列\{Y_n\}依概率收敛于数学期望\mu$ 

    • ​推论

      • ​ $设n_A是n重伯努利试验中试验A发生的次数，p是事件A在每次试验中A发生\\ 的概率,则对任意的\varepsilon \gt0,有\\ \lim\limits_{n\to\infty}P\{|\cfrac{n_A}{n}-p|\lt \varepsilon\}=1$ 

• ​中心极限定理

  • 定义

    •  $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb,相互独立，服从同一分布，e且E(X_i)=\mu,\\ D(X_i)=\sigma^2(i=1,2,\dotsb),则\\ \lim\limits_{x\to\infty}P\{\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leqslant x\}=\int_{-\infty}^{x}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\cfrac{-t^2}{2}}dt$ 

    • ​推论

      • ​ $\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}\sim N(0,1),即\cfrac{\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu}{\sigma\sqrt n}\sim N(0,1)\\ \bar{X}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ 

  • 棣利佛-拉普拉斯定理

    • ​ $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb相互独立，并且服从参数为p的两点分布，\\则对任意实数x，有\\ \lim\limits_{x\to \infty}P\{\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant x\}=\int_{-\infty}^x\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\cfrac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)$