一元微分学的应用

• ​partI 中值定理

  • ​极值与极值点

    • ​极值点的定义

      • ​极大点： $\exists\delta >0 , when ~0< |x - x_0| < \delta时，有f(x) < f(x_0)，称(x_0, f(x_0))为极大点。$ 

      • ​极小点： $\exists\delta >0 , when ~0< |x - x_0| < \delta时，有f(x) > f(x_0)，称(x_0, f(x_0))为极小点。$ 

    • ​极值点存在的可能位置

      • ​ $f'(x) = 0$ 

      • ​ $f'(x) 不存在$ 

    • ​Note

      • ​ $f(a)是f(x)的极值\Rightarrow f'(a) = 0 ~\vee f'(a)不存在$ 

      • ​ $f(x)可导~\wedge f(a)为极值点\Rightarrow f'(a) = 0$ 

  • ​rolle定理

    • ​条件

      • ​1. $f(x) \in C[a, b]$ 

      • ​2. $f(x) 在(a, b)内可导$ 

      • ​3. $f(a) = f(b)$ 

    • ​结论

      •  $\exists \xi \in (a, b)，使f'(\xi ) = 0$ 

    • ​Note

      • ​1. $\exists \xi \in (a, b)开区间$ 

      • ​2. $\xi 至少有一个$ 

  • ​拉格朗日中值定理

    • ​条件

      • ​ 1.$f(x) \in C[a, b]$ 

      • ​2. $f(x)在(a, b)可导$ 

    • ​结论

      • ​ $\exists \xi \in (a, b)，使f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ 

    • ​Note

      • ​1. $\exists \xi \in (a, b)开区间$ 

      • ​2. $\xi 至少有一个$ 

      • ​3.$if ~f(a) = f(b)，L \Leftrightarrow rolle$

      • ​4.等价形式： $f'(\xi )(b - a ) = f(b) - f(a)\\ f'[a + \theta (b-a)] = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}~(0<\theta<1)$ 

    • ​证明原理

      • 构造函数，使得其满足rolle定理。

      • 通过函数图像可以知道： $\\ L_1：f(x)\\ \\ L_2：y - f(a) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b -a }(x - a)~~(两点一直线)\\ \\ 都经过(a, f(a)), (b, f(b))。\\ 构造函数：\varphi(x) = f(x ) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}(x- a)$ 

    • ​拉格朗日中值定理的应用

      • ​ $f(b) - f(a) 或者\dfrac{f(b) - f(a)}{ b -a} \to L$ 

      • ​ $f(a)、f(b)、f(c) \to L \times 2$ 

      • ​ $f\Rightarrow f' \to L$ 

  • ​柯西中值定理

    • ​条件

      • ​1.$f(x)、g(x)\in C[a,b]$ 

      • ​2. $f(x)、g(x)在(a, b)可导$ 

      • ​3. $g'(x) \neq 0$  $(a < x< b)$ 

    • ​结论

      • ​ $\exists \xi \in (a, b)，使\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ 

    • ​Note

      • ​ 1.$g^{\prime}(x) \neq 0(a<x<b) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} g(b) \neq g(a) \\ g^{\prime}(\xi) \neq 0 \end{array}\right.$ 

      • ​2. $if ~g(x) = x，则C\Leftrightarrow L$ 

    • 证明原理

      •  $\begin{array}{l} L: L(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\ \\ C: C(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)] \end{array}$ 

  • ​泰勒中值与余项

    • ​条件

      • ​ $f(x)在x = x_0邻域内n阶可导$ 

    • 结论

      • ​ $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$ 

        • ​ $\displaystyle P_{n}(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 

    • ​余项（ $R_n(x)$ ）

      • ​佩亚诺余项： $o((x- x_0)^n)$ 

      • ​拉格朗日余项： $\dfrac{f^{(n +1)}(\xi)}{(n+1)!}(x- x_0)^{(n+1)}$ 

    • ​麦克劳林余项

      • 
        $\begin{array}{l} f(x)=f\left({0}\right)+f^{\prime}\left({0}\right)\left(x\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left({0}\right)}{2 !}\left(x\right)^{2}+\cdots+ \frac{f^{(n)}\left({0}\right)}{n !}\left(x\right)^{n} + R_n(x) \end{array}$
        

    • ​常见麦克劳林展开式

      • ​ $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}+o\left(x^{n}\right)$ 

      • ​ $\sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+\frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}+o\left( x^{2n+1}\right)$ 

      • ​ $\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !} {-} \cdots+\frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2n)!}+o\left(x^{2 n}\right)$ 

      •  $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o( x^{n})$ 

      •  $\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\cdots+(-1)^nx^{n}+o( x^{n})$ 

      • ​ $\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}+o\left(x^{n}\right)$ 

      • ​ $(1+ x)^{a}=1+a x+\frac{a(a-1)}{2 !} x^{2}+\frac{a(a-1)(a-2)}{3 !} x^{3}+\cdots$ 

• ​partII 单调性与极值

  • ​单调性

    • ​条件

      • ​ $f(x)\in C[a, b]，且f(x)在(a,b)可导$ 

    • 结论

      • ​ $\left\{\begin{array}{l} if~ f^{\prime}(x)>0(a<x<b) \Rightarrow f(x) \uparrow \\ if~f'(x)<0(a<x<b) \Rightarrow f(x) \downarrow \end{array}\right.$ 

    • ​求解函数的单调区间

      • ​1.找出定义域 $x\in D$ 

      • ​2.找出 $f'(x)=0的点~\vee ~f'(x)不可导点$ 

      • ​3.用2中的点将区间D划分为若干个区间，判断小区间内 $f'(x)的符号$ 

  • ​极值的判别法

    • 第一充分条件

      •  $if\left\{\begin{array}{l} x<x_{0},~ f^{\prime}(x_0) <0 \\ x>x_{0}, ~f^{\prime}(x_0)>0 \end{array} \Rightarrow x=x_{0} 为f(x)的极大点\right.$ 

      • ​ $if\left\{\begin{array}{l} x<x_{0},~ f^{\prime}(x_0) >0 \\ x>x_{0}, ~f^{\prime}(x_0)<0 \end{array} \Rightarrow x=x_{0} 为f(x)的极大点\right.$ 

    • ​第二充分条件

      • ​ $f'(x_0) = 0~\wedge f''(x_0) > 0 ,则x = x_0为f(x)的极小点$ 

      • ​ $f'(x_0) = 0~\wedge f''(x_0) < 0 ,则x = x_0为f(x)的极大点$ 

• ​partIII 凹凸性、拐点、渐进性

  • ​凹凸性

    • ​凹： $\forall x_1, x_2\in D，且x_1<x_2，若 f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})<\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$
      

    • 凸： $\forall x_1, x_2\in D，且x_1<x_2，若 f(\dfrac{x_1 + x_2}{2})>\dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$
      

    • ​判别法

      • ​条件

        • ​ $f(x)\in C[a, b],且f(x)在(a, b)二阶可导$ 

      • 结论

        • ​ $if ~~f''(x_0) > 0~(a<x<b)\Rightarrow [a,b]为f(x)凹区间$ 

        • ​ $if ~~f''(x_0) < 0~(a<x<b)\Rightarrow [a,b]为f(x)凸区间$ 

      • ​求解步骤

        • ​1.找出 $f(x)的定义域$ 

        • ​2. $找出f''(x) = 0~或~ f''(x) 不存在的点$ 

        • ​3.用2中找出的点将区间D划分为若干个小区间，判断每个小区间内 $f''(x)$ 的符号

  • ​拐点

    • ​ $f(x_0)左右凹凸性不同，则(x_0, f(x_0))为拐点$ 

  • ​渐进性

    • ​水平渐近线

      • ​ $\displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) = A~( A \ne 0\vee A\ne \infty)$ 

      • ​例如： $\arctan x 的渐近线为y = \dfrac{\pi }{2 } 、y = -\dfrac{\pi}{2}$ 

    • ​铅直渐近线

      • ​ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty~(或\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty ~或~\lim_{x\to a^-}f(x) = \infty)$ 

      • ​例如： $\tan x的一条铅直渐近线为x = \dfrac{\pi}{2}$ 

    • ​斜渐近线

      • ​ $\displaystyle if ~ \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x} = a(a\ne 0~\wedge ~a \ne \infty)\\ \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax ]= b\\ 则y = ax + b为f(x)的斜渐近线$