曲线积分
对弧长的曲线积分(第一类)
背景:曲线段的质量
定义
∫Lf(x,y)ds \int_{L}^{} f(x,y){ds}∫Lf(x,y)ds
计算方法
替代法
定积分法
对坐标的曲线积分(第二类)
背景:做功(二维三维)
定义
二维: ∫LPdx+Qdy \int_{L}^{} P{dx}+Q{dy}∫LPdx+Qdy
三维: ∫LPdx+Qdy+Rdz \int_{L}^{} P{dx}+Q{dy}+R{dz}∫LPdx+Qdy+Rdz
二重积分法(Green公式)
与路径无关 ⇔ \Leftrightarrow
⇔ \Leftrightarrow ⇔
任取闭合曲线 C⊂D{C} \subset {D}C⊂D ,有 ∮cPdx+Qdy=0 \oint_{c}^{} P{dx}+Q{dy}={0}∮cPdx+Qdy=0
∂Q∂x≡∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}∂x∂Q≡∂y∂P
∃ u(x,y),Pdx+Qdy=du\exists\space{u(x,y)},P{dx}+Q{dy}={du}∃ u(x,y),Pdx+Qdy=du