复数与复变函数

• ​复数

  • ​复数的基本概念

    •  $z=x+yi,\bar{z}=x-yi$ 

  • ​复数的四则运算

    • ​ $z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$ 

    • ​ $z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$ 

    • ​ ${}_{}$ $z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1)$ 

    • ​ $\cfrac{z_1}{z_2}=\cfrac{z_1\bar{z}_2}{z_2\bar{z}_2}=\cfrac{x_1x_2+y_1y_2+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}$ 

  • ​复平面

    • ​表示复数的平面，称为复平面

• ​复数的三角表示

  • ​复数的模与辐角

    •  $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ 

    • ​ $\arg z=\begin{cases}\arctan \cfrac{y}{x},\quad x>0,\\\cfrac{\pi}2,\quad x=0,y>0,\\\arctan\cfrac{y}{x}+\pi,\quad x<0,y\geqslant 0,\\\arctan\cfrac{y}{x}-\pi,\quad x<0,y<0,\\-\cfrac{\pi}2,\quad x=0,y<0.\end{cases}$ 

  • ​复数模的三角不等式

    • ​ $\vert|z_1|-|z_2|\vert\leqslant |z_1-z_2|\leqslant |z_1|+|z_2|$ 

    • ​ $\vert|z_1|-|z_2|\vert\leqslant |z_1+z_2|\leqslant |z_1|+|z_2|$ 

  • ​复数的三角表示

    • ​ $z=r(\cos θ+i\sinθ)$ 

    • ​ $z=re^{iθ}$ 

  • ​用复数的三角表示做乘除法

    •  $​ \begin{cases}z_1 \cdot z_2=r_1r_2[\cos(θ_1+θ_2)+i\sin(θ_1+θ_2)]\\[2ex] |z_1\cdot z_2|=r_1r_2=|z_1||z_2|\\[2ex] {\rm Arg}(z_1\cdot z_2)=θ_1+θ_2+2k\pi={\rm Arg }z_1+{\rm Arg}z_2\end{cases}$ ​ 

    • ​ $\frac{{}_{}}{}$ $\begin{cases}​ \cfrac{z_1}{z_2}=\cfrac{r_1}{r_2}[\cos(θ_1-θ_2)+i\sin(θ_1-θ_2)]\\[2ex]\left|\cfrac{z_1}{z_2}\right|=\cfrac{|z_1|}{|z_2|}\\[2ex]{\rm Arg}\cfrac{z_1}{z_2}={\rm Arg}z_1-{\rm Arg}z_2 \end{cases}$ 

  • ​复数的乘方与开方

    • ​ $z^n=r^n(\cos nθ+i\sin nθ)$ 

    •  $​ w=|z|^{\frac1n}\left\{\cos\left[\cfrac1n(\arg z+2k\pi)\right]+i\sin\left[\cfrac1n(\arg z+2k\pi)\right]\right\},\\k=0,1,\cdots,n-1$ 

• ​平面点集的一般概念

  • ​开集与闭集

    • ​如果 $G$ 内的每一个点都是它的内点，则称 $G$ 为开集

    • ​如果 $G$ 为开集，它的余集 $\complement G$ 称为闭集

  • ​区域

    • ​ $D$ 如果是一个区域，其满足 $\begin{cases}D是一个开集\\[2ex]D是连通的\end{cases}$ 

  • ​平面曲线

    • ​ $z=a(\cos t+i\sin t)\quad (0\leqslant t\leqslant 2\pi)$ 

    • ​连接点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 的直线段，其参数方程可写为 $\\ z=z_1+(z_2-z_1)t\quad (0\leqslant t\leqslant 1)$ 

    • ​如果 $x'(t)$ ， $y'(t)$ 均连续，且 $\forall t,[x'(t)]^2+[y'(t)]^2\neq 0$ ，称该曲线是光滑的

    • ​没有重点或除终点和起点重合外，自身不相交的曲线称为简单曲线

• ​复变函数

  • ​复变函数的概念

    • ​ $w=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)$ 

  • ​复变函数的极限与连续性

    • 设复变函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 的某个去心邻域内 $U^o(z_0, ρ )$ 有定义， $A$ 是复常数。若对任意给定的 $ε >0$ ，存在 $δ >0$ ，使得当 $0<|z-z_0|< δ$ 时恒有 $|f(z)-A|< ε$ 成立，则称当 $z$ 趋于 $z_0$ 时， $f(z)$ 以 $A$ 为极限，并记作 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)=A} }$ 或 $f(z)\to A(z\to z_0)$ 

    • ​复变函数极限的性质 $\begin{cases}(1)唯一性\\(2)有界性\\(3)有理运算法则\end{cases}$ 

    • 设 $f(z)$ 在 $z_0$ 的领域内有定义， ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)=f(z_0)} }$ ，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续，若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点都连续，则称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内连续

    • 设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ，则 $f(x)$ 在 $z_0=x_0+iy_0$ 处连续的充要条件是 $u(x,y),v(x,y)$ 都在 $(x_0,y_0)$ 点连续​

    • ​连续函数的性质 $\begin{cases}(1)连续函数的和、差、积、商\\（分母不为0）是连续函数\\(2)连续函数的复合函数是连续函数\end{cases}$  $\begin{cases}(1)连续函数的和、差、积、商\\（分母不为0）是连续函数\\(2)连续函数的复合函数是连续函数\end{cases}$