波函数和薛定谔方程

• ​波函数及其统计解释

  • ​状态描述

    • ​经典：质点由 $\vec{r} ,\vec{p}(\vec{v})$ 描写，状态可以唯一确定

    • ​量子：波函数描写，决定微观粒子的一切力学量和行为，
      遵从薛定谔方程

  • ​波粒二象性分析

    • ​ $C_{60}$ 分子的干涉：与经典波的双缝干涉图没有差别

    • ​经典粒子的双缝实验

    • ​经典波的双缝和单缝干涉：干涉项

  • ​波函数的统计解释

    • ​概率波：量子力学假定之一：一个微观粒子的状态
      可以用一个波函数来完全描述，其为时间和坐标的
      复函数，模方为粒子分布的概率密度
      

      • ​归一：全空间概率为1

        • ​有些理想情况不能归一：平面波 $Ae^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{r}-Et)}$ 

    • ​对波函数的要求

      • ​平方可积

      • ​满足归一化条件，但不排除不能归一化的理想波函数

      • ​模方单值

      • ​模方处处单值、连续、有限

• ​一维运动问题的一般分析

  • ​一维定态薛定谔方程解的一般性质

    • ​定理1：共轭定理 

      • ​若Ψ(x) 是定态薛定谔方程的解，则 $\Psi^*(x)$ 也是该方程的解且能量相同

        • ​假设对应于能量的某个本征值 ，方程 ，方程 (3) 的解无 简并 (即只有一个独立解 ), 则可取为实解 (除了一个无关紧 要的常数因子外 ).

          E

    • ​对应于能量的某个本征值，总可以找到定态方程的一组实解，凡属于的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加.

    • ​设势能函数 $V(x)$ 具有空间反射不变性, $V(x)=V(-x)$  , 那

      么若 $\Psi(x)$ 是该方程的解，则 $\Psi(-x)$ 也是该方程的解(且能量相

      同).

      • ​空间反射算符（宇称算符）： $P\Psi(x)=\Psi(-x)$ 
        本征方程： $P\Psi(x)=\pi\Psi(x)$ 
        本征值： $\pm1$ 

        • ​如果波函数 $\Psi$  (x)满足

          Ψ (−x) = Ψ (x)

          则称有Ψ(x)正的(对于+号)或负的(对于-号)宇称.

      • ​推论：如果对应于某能量E, 方程(3)的解无简并, 则解必有确

        定的宇称(parity).

    • ​设 $V(-x)=V(x)$ , 则对应于任何一个能量本征值E

      总可以找到方程(3)的一组解(每个解都有确定的宇称), 而

      属于能量本征值E 的任何解,都可用它们来展开.

    • ​对于阶梯方位势

       $V(x) = \begin{cases} V_1, x<a;\\ V_2, x>a; \end{cases}$ 
       $V_2 - V_1$ 有限, 则能量本征函数及其导数必定是连续

      的(但如 $V_2 - V_1 \rightarrow \infty$ , 则定理不成立).

      
      

    • ​Wronskian定理

      若 $\Psi_1(x)$ 和  $\Psi_2(x)$ 都是方程的解(能量相同), 则

       $\Psi_1'\Psi_2 - \Psi_2'\Psi_1$ = c (与 x 无关的常数) 

       $\Psi_1'\Psi_2 - \Psi_2'\Psi_1$ 称为 $\Psi_1(x)$ 和 $\Psi_2(x)$ 的Wronskian行列式.

  • ​定态分类

    • ​束缚态

      • ​粒子局限在有限空间，在无穷远处出现概率为0

        • ​定理：设粒子在规则势场 $V(x)$ (无奇点)中运动, 如存在束

          缚态, 则必定是非简并的.

    • ​非束缚态

      • ​粒子可以在无穷远处出现的状态

• ​量子态叠加原理

  • ​量子态及其表象

    • ​态函数：完全描述一个体系的量子态

    • ​表象：态和力学量的具体表示方式
      常用：坐标表象， 动量表象，能量表象

  • ​量子态叠加原理

    • ​如果 $\Psi_1,\Psi_2,...,\Psi_n$ 是体系的可能状态，那么 $\sum_{n} c_n\Psi_n$ 也是体系的可能状态。但体系的概率会出现干涉项

      • ​对于一个指定的量子体系，如果找到了它的完备的基本状态，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到

        • ​叠加系数： $\sum_{n} c_n(\vec{p},t)\Psi_n$ 表示处于态 $\Psi_1,\Psi_2,...\Psi_n$ 的概率与 $\left| c_n(\vec{p},t) \right| ^2$ 成正比（处于某一状态的概率：归一化）

    • ​与经典叠加原理的区别：

      • ​波函数不具有直接的物理意义，概率波函数的叠加

      • ​所有叠加系数同乘常数之后叠加态不变

      • ​波函数不能处处为0

• ​一维无限深势阱和方势阱

  • ​一维无限深势阱

    • 

      ​

      • ​

        • ​

    • ​讨论

      • ​能量本征值

        • ​能量量子化（能级分立）

        • ​能级分布不均匀，能级越高密度越大

        • ​最低能级（零点能）： $E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}>0$ 

          • ​粒子局限在无限深势阱中, 位置不确定度 $\Delta x\approx a$ , 则动

            量不确定度 $\Delta p\approx\hbar/ a$ , 能量不能为零.

      • ​本征函数系

        • ​

          • ​

  • ​有限深对称方势阱

    • ​

      • 

        ​

        • ​

    • ​讨论

      • ​不论势阱多窄或多浅，至少存在一个束缚态，宇称为偶，

      • ​能级的宇称是奇偶相间，最低能级是偶宇称

      • ​有限深势阱每个能级比无限深势阱的相应能级低一些，

• ​薛定谔方程

  • ​1，波函数对时间微商的函数
    2，线性
    3，系数不应包含状态的参量

  • 哈密顿算符 ​
    $H=\frac{{\vec{p}}^2}{2\mu }+U(\vec{r})$ 

  • ​ $i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\Psi+U(\vec{r})\Psi$ 

  • ​动量算符： $\vec{p}=i\hbar\nabla$ 

  • ​薛定谔方程的讨论：

    • ​概率守恒定律

      • ​空间概率密度： $w(\vec{r},t) =\left| \Psi(\vec{r},t) \right|^2$ 

      • ​概率流密度矢量： $\frac{\partial w}{\partial t} =\frac{i\hbar}{2\mu}\nabla\cdot(\Psi^*\nabla\Psi-\Psi\nabla\Psi^*) = -\nabla\cdot \vec{J}$ 

      • ​连续性方程： $\frac{\partial w}{\partial t} +\nabla\cdot \vec{J} = 0$ 

        • ​单位时间内体积V中增加的概率为体积V外穿过V的边界S而流进V内的概率

        • ​质量密度： $w_\mu = \mu w = \mu \left| \Psi(x,y,z,t) \right| ^2$ 

        • ​质量流密度： $\vec{J}_\mu = \mu \vec{J} = \frac{i\hbar}{2}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi)$ 

        • ​电荷密度： $w e ​ =ew=e∣Ψ(x,y,z,t)∣ 2$ 

        • ​电荷流密度： $\vec{J}_e=e \vec{J} = \frac{ie\hbar}{2\mu}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi)$ 

      • ​ $\oint_{\infty} \vec{J} \cdot d\vec{S}= 0$ 

        • ​粒子在全空间概率守恒

  • ​定态薛定谔方程

    • ​定态：体系能量有确定值的状态，在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变
      非定态：由若干个能量不同的本征态叠加所形成的态

      • ​粒子在空间的概率密度以及概率流密度

        不随时间改变

      • ​任何(不显含t的)力学量的平均值不随时间改变

      • ​任何(不显含的)力学量的测值概率分布也不随时间改变

    • ​定态波函数： $\Psi(\vec{r},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\Psi(\vec{r})$ 
      E：粒子的能量

  • ​哈密顿算符

    • ​单粒子： $\hat H = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + U({\vec{r}})$ 

    • ​多粒子： $\hat H = \sum_{i = 1}^{N}(-\frac{\hbar^2}{2\mu_i}\nabla_i^2 + U_i(\vec{r_i}))+V(\vec{r_1},\vec{r_2,}...,\vec{r_N})$ 

• ​量子隧穿效应

  • ​方势垒透射

    • 

      ​

      • 

        ​

  • ​共振隧穿

    • 

      ​

  • ​成就与应用

    • ​隧穿效应和约瑟夫森效应

    • ​扫描隧道显微镜

• ​一维谐振子

  • ​势能函数

    • ​ $V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$ 

  • ​定态薛定谔方程

    • ​ $[\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2]\psi(x) = E\psi(x)$ 

  • ​能级和波函数

    • ​能级

      • ​ $E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar\omega$ 

    • ​波函数

      •  $\psi(x) = A_nH_n(\xi)e^{-\frac{1}{2}\xi^2} = A_nH_n(\alpha\xi)e^{-\frac{1}{2}\alpha^2\xi^2} (a = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}})$ 

        • ​ $H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2}$ 

    • ​归一化

      • ​ $A_n=\sqrt{\frac{\alpha}{\sqrt{\pi}2^nn!}} \quad( \int_{\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{x} )$ 

    • ​性质

      • ​ $\Psi_n(x)=(-1)^n\Psi_n(x)\\ \int_\infty^{\infty} \psi_m(x)\psi_n(x)dx = \delta_{mn}$ 

  • ​讨论

    • ​能量量子化

      • ​ $E_{n+1} - E_n = \hbar\omega$ 

        • ​源于粒子德布罗意波的自身干涉

    • ​零点能

      • ​ $E_{0} = \frac{1}{2}\hbar\omega$ 

        • ​波粒二象性的表现，可用不确定性关系说明

    • ​能量本征态的宇称偶奇相间，基态是偶宇称

    • ​在x=0处粒子概率最大