高等量子力学讲座（孙昌璞）

• ​第一章：量子力学的思想和数学结构

  • ​从波尔模型到矩阵力学

    • ​谐振子动量和坐标双指标表示：
       $\begin{cases} P= \sum P_{mn} e^{i \omega_{mn}t}\\ X=\sum X_{mn}e^{i \omega_{mn}t} \end{cases}$ 
      

      • ​原子轨道和动量不是直接的可观测量。

      • ​能观察到的辐射吸收量与两个指标(轨道)有关，
        对应这确定的跃迁频率。

      • ​ $\omega_{mn}=\frac{E_m-E_n}{\hbar}$ 

    • ​谐振子系统的能量：
       $H=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$ 
      

      • ​涉及到不可对易性问题

        • ​假设：坐标、动量是矩阵，但仍然满足运动方程。
           $\begin{cases} \dot{P}=-\frac{\partial V(x)}{\partial X}\\ \dot{X}=\frac{P}{m} \end{cases}$ 
          

          • ​ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[X,P]=0$ 

            • ​ $[X,P]=i \hbar$ 

      • ​ $X_{mn}=X_{m,m+1}\delta_{n,m+1}+X_{m,m-1}\delta_{n,m-1}$ 

        • ​ $X_{n+1,n}^2=\dfrac{(n+1)\hbar}{2m\omega}$ 

      • ​谐振子能量：
         $E_{n}=H_{nn}=(n+\dfrac{1}{2})\hbar \omega$ 
        

    • ​思考：
      考虑一个耗散的谐振子，满足运动方程：
       $\ddot{x}=-\gamma \dot{x}-\omega ^2x \text{ , }\gamma>0$ 
      

      • ​ $[x,\dot x]=?$ 

      • ​ $p$ 与 $\dot x$ 的关系是什么？

      • ​系统的有效哈密顿量是什么？

      • ​彭恒武关于量子开系统的研究

        • ​“彭氏规范” 
          $\begin{cases} x(t)=q(t) \mathrm{e}^{\gamma t/2M}\\ p(t)=[M\dot{q}(t)+\dfrac{1}{2}\gamma q(t)]\mathrm{e}^{\gamma t/2M} \end{cases}$ 

        • ​彭氏有效哈密顿量
           $H_e=\dfrac{p^2}{2M}+\mathrm{e}^{\gamma t/M} V(x \mathrm{e}^{\gamma t/2M})-\dfrac{\gamma ^2}{8M}x^2-f(t)x\mathrm{e}^{\gamma t/2M}$ 

          • ​外场不能是布朗随机力

  • ​波动力学与波恩几率诠释

    • ​德布罗意物质波

      • ​ $\varphi_k(x) \propto \mathrm{e}^{ikx-i\omega t}$ 

      • ​德布罗意关系：
         $k=\dfrac{p}{\hbar} \text{ },\text{ }\omega=\dfrac{E}{\hbar}$ 
        

      • ​

    • ​薛定谔方程

      • ​ $i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi(x,t)=[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)]\psi(x,t)$ 

      • ​给定能量，定义定态波函数：
         $\psi(x,t)=\psi(x)\mathrm{e}^{-i\frac{E}{\hbar}t}$ 
        

        • ​定态薛定谔方程：
           $[-\dfrac{\hbar ^2}{2m}\nabla^2+V(x)]\psi(x)=E\psi(x)$ 
          

      • ​波函数几率诠释

        • ​ $|\psi(x,t)|^2$ 代表 $t$ 时刻在 $x$ 附近发现粒子的几率密度

        • ​ $\int_{-\infty}^{+\infty}{|\psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x}=1$ 

    • ​互补性原理

      • ​波尔把波粒二象性和不确定性关系进一步提升为
        互补性原理，又称并协性原理。

      • ​对微观现象的描述不能像刻画经典世界那样进行完备的理想描述。
        构成完备经典描述的某些互相补充的元素，在微观世界里通常是互相排斥的，但这些互补元素刻画微观现象的不同侧面，是微观描述中必不可少的。

      • 

  • ​量子力学基本原理的数学表述

    • ​量子力学第一公设

      • ​物理体系的状态可以由其位形上的Hilbert空间上的一个非零向量——态矢量描述，它的每一个力学量可以用一个厄米算子来表示。

      • ​ $[\hat{x},\hat p]=i\hbar$ 

        • ​ $\text{Weyl 序：}$序：
           $F(\hat p,\hat x)=\displaystyle \sum_{n,m}{C_{nm}\hat p^n \hat x^m}$ 
          

      • ​狄拉克符号

        • ​左矢、右矢

        • ​厄米算符：
           $\hat A ^\dagger=\hat A$ 或 $\langle{\hat A \varphi}|\psi \rangle=\langle\varphi|\hat A|\psi\rangle$ 
          

          • ​厄米算符的本征函数是正交的

        • 正交性、​完备性

      • ​量子力学坐标表象

        • ​由基本对易关系证明得到，动量算符表示为：
           $\hat p=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$ 
          

          • ​

        • ​ $\langle x|x' \rangle =\delta(x-x')\\ \int{ |x\rangle \langle x| \mathrm{d}x}=1$ 

        • ​思考
          

          • ​动量表象下坐标的表示

            • ​ $\hat x=i\hbar \dfrac{\partial}{\partial p}$ 

            • ​ $\langle x|p\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}px}$ 

          • ​坐标表象下，计算
             $\int |x \rangle \langle \mu x| \mathrm{d}x$ 
            

            • ​提示：
              将其作为一个算符，作用在任意态函数上，考察
               $\hat A|\psi\rangle$ 以及
               $\langle x|\hat A|\psi \rangle=\psi(\mu x)=\psi(x+(\mu -1)x)=...$ （泰勒展开）
              

      • ​变换理论

        • ​态的变换

          • ​ $|\psi \rangle=\displaystyle \sum_n a_n |n \rangle=\displaystyle \sum_m b_m |m \rangle$ 

            • ​ $a_n=\langle n|\psi \rangle=\displaystyle \sum_m \langle n|m\rangle \langle m|\psi \rangle=\displaystyle \sum_m \langle n|m\rangle b_m$ 

              • ​ $\hat A=\hat S \hat B$ 

                • ​

        • ​算符的变换

          • ​A表象下：
             $\hat W =\displaystyle \sum_{m,n}|m\rangle\langle m|\hat W | n\rangle \langle n| =\displaystyle \sum_{m,n}W_{mn}|m\rangle \langle n|$ 
            

          • ​B表象下：
             $\hat W =\displaystyle \sum_{m',n'}|m'\rangle\langle m'|\hat W | n'\rangle \langle n'| =\displaystyle \sum_{m',n'}{W'}_{m'n'}|m'\rangle \langle n'|$ 
            

          • ​ ${W'}_{m'n'}\\ =\langle m'|\hat W |n' \rangle \\ = \displaystyle \sum_{m,n} \langle m'|m \rangle \langle m| \hat W |n \rangle \langle n|n' \rangle\\ ={(\hat S^{\dagger} \hat W \hat S)}_{m'n'}$ 

            • ​ $\hat W'=\hat S^{\dagger} \hat W \hat S$ 

              • ​计算物理可观测量时，算符和态的表象一定要统一

    • ​量子力学第二公设

      • ​波恩几率诠释与坐标平均值

        • ​坐标表象中

          • ​ $| \psi \rangle=\int \psi(x) |x \rangle \mathrm{d}x$ 

            • ​ $\psi(x)=\langle x|\psi \rangle$ 表示 $x$ 点附近发现粒子的几率福

            • ​ $P(x)=|\psi(x)|^2$ 表示 $x$ 点附近发现粒子的几率密度

              • ​

          • ​

        • ​任意表象中

          • ​ $|\psi \rangle=\sum C_n|n\rangle$ 

            •  $\overline{A}\\ =\langle \psi | \hat A | \psi \rangle\\ =\displaystyle \sum_n \langle \psi|\hat A|n\rangle \langle n| \psi \rangle \\ =\displaystyle \sum_n |\langle n| \psi \rangle|^2 a_n\\ =\displaystyle \sum_n a_n P_n$ 

              • ​一般波恩诠释：
                 $P_n$ 为力学量本征值 $a_n$ 在态函数上的分布几率
                

      • ​力学量期望值公设 = 波恩几率诠释：测量公设

        • ​ $\begin{cases} \overline{A}=\langle A \rangle=\dfrac{\langle \psi| \hat A |\psi \rangle}{\langle \psi|\psi \rangle}\\ \langle \psi|\psi \rangle=1\\ \sum P_n=1 \end{cases}$ 

          • ​ $\overline{A}=\langle A \rangle=\langle \psi| \hat A |\psi \rangle$ 

        • ​ $\hat A |n \rangle=a_n |n \rangle$ 

          • ​力学量的平均值：
             $\langle A \rangle\\ =\langle \psi | \hat A |\psi \rangle\\ =\displaystyle \sum_{m,n}\langle \psi|m \rangle \langle m| \hat A|n\rangle \langle n|\psi \rangle\\ =\displaystyle \sum_{n} a_n |\langle n|\psi \rangle|^2\\ =\displaystyle \sum_{n} a_np_n$ 
            

            • ​ $p_n$ 为 $a_n$ 的分布几率

        • ​量子测量定理

          • ​

            • ​充分条件

              • ​

      • ​量子测量假设

        • ​

          • ​波包塌缩

            • ​存在超光速的关联

            • ​波包塌缩与狭义相对论有表现矛盾

            • ​Bell不等式违背意味着非定域性存在，但没有超光速

            • ​

            • ​注：后面学的系综退相干解释不与相对论矛盾

    • ​量子态的密度矩阵

      • ​纯态

        • ​

        • ​密度矩阵在坐标表象下代表着空间密度分布（几率）

          • ​

        • ​性质

          • ​归一性

          • ​投影性

          • ​厄米性

          • ​正定性

          • ​

      • ​混合态

        • ​

          • ​两步平均

            • ​量子平均

              • ​力学量在各本征态的本征值平均

            • ​经典平均（统计平均）

              • ​系综中各本征态上的粒子数的平均

        • ​性质

          • ​对于混合态，任何力学量的期望值与其非对角元无关。

            • ​

          • ​

      • ​一般表示

        • ​

        • ​

      • ​自旋 $1/2$ 粒子的密度矩阵
        （量子比特）

        • ​布洛赫矢量

          • ​

            • ​

        • ​布洛赫球

          • ​

            • ​

            • ​思考： $\delta$ 参量的选取
              （微分流形）

      • ​热平衡态密度矩阵

        • ​

      • ​量子退相干

        • ​粒子的双缝实验：如果在双缝后面有一个探测器，可以准确探知粒子是通过哪一条缝，则相干条纹就会消失。
          这种现象称为量子退相干

          • ​

            • ​第三种解释：
              测量相当于对系统的一种扰动，
              会使得波函数出现一个随机相位。

              • ​

              • ​

        • ​

  • ​谐振子量子化的代数方法

    • ​ $H=\cfrac{p^2}{2m}+\cfrac{1}{2}m\omega^2 x^2$  
      
      $[\hat x,\hat p]=i \hbar$ 
      

    • ​定义产生、湮灭算符

      • ​

    • ​ $\hat H=\cfrac1 2 \hbar \omega (\hat a ^{\dagger}\hat a+\hat a \hat a ^{\dagger})$ 

      • ​定义粒子数算符： $\hat N=\hat a ^{\dagger} \hat a$ 

      • ​ $\hat H=(\hat N+\cfrac 1 2 )\hbar \omega$ 

    • ​谐振子本征态

      • ​

      • ​谐振子本征方程： $\hat H | n \rangle=E_n | n \rangle$ 

        • ​能量量子化： $E_n=(n+\cfrac 1 2 ) \hbar \omega$ 

    • ​基态波函数： $\psi_0 (x)=(\cfrac{m\omega}{\pi \hbar})^\frac 1 4 e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}$ 

    • ​相干态

      • ​定义湮灭算子的本征态： $|\alpha \rangle$ 

        • ​ $\hat a |\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ 

        • ​ $|\alpha \rangle = {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{C_n |n\rangle} }$ 

          • ​

        • ​ $|\alpha \rangle = e^{-|\alpha |^2/2} {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\cfrac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} |n\rangle} }$ 

      • ​定义相干态的生成算符： $\hat D(\alpha )$ 

        • ​ $\hat D(\alpha )=e^{\alpha \hat a^\dagger-\alpha^*\hat a}$ 

          • 证明：贝克-豪斯多夫公式

            • ​

        • ​ $|\alpha \rangle=\hat D(\alpha )|0\rangle$ 

      • ​相干态的坐标表示

        • ​ $\hat a=\sqrt{\cfrac{m\omega}{2\hbar}} (\hat x +\cfrac{i\hat p}{m\omega})$ 
          
           $\hat a^\dagger=\sqrt{\cfrac{m\omega}{2\hbar}} (\hat x -\cfrac{i\hat p}{m\omega})$ 
          

          • ​ $\alpha \hat a^\dagger-\alpha^* \hat a =-i\sqrt{\cfrac{2}{m\hbar\omega}} \alpha \hat p$ 

            • ​ $\hat D(\alpha )=e^{-\frac i \hbar \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\alpha \hat p}$ 

        • ​ $\hat D(\alpha ) \psi(x)=\psi(x-q)$ 

          • ​ $q=\alpha \sqrt{\cfrac{2\hbar}{m\omega}}$ 

          • ​

      • ​物理意义

        • ​

        • ​相干态满足最小的不确定性关系

          • ​思考：是否不确定关系最小态都是相干态？

            • ​这个问题的思考导致了压缩态概念的诞生

            • ​H. P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226(1976)

        • ​不会扩散的波包

          • ​

          • ​

• ​第二章：量子系统的时间演化

  • ​从运动方程到态叠加原理

    • ​时间演化算符

      • ​ $|\psi,t\rangle=\hat U(t,t_0)|\psi,t_0\rangle$ 

      • ​ $|\psi,t\rangle=\hat U(t,t')|\psi,t'\rangle=\hat U(t,t') \hat U(t',t_0)|\psi, t_0\rangle$ 

        • ​时间演化算符具有“半群”的关系

          • ​找不到逆

        • ​ $\hat U(t,t_0)=\hat U(t,t') \hat U(t',t_0)$ 

      • ​幺正算符

        • ​ $\hat U^\dagger \hat U=\hat U \hat U^\dagger=\hat I$ 

        • ​ $\hat U(-t)=\hat U^\dagger(t)$ 

      • ​ $i\hbar \cfrac{ \partial }{\partial t} \hat U(t)=\hat H \hat U(t)$ 

        • ​

    • 海森堡运动方程

      • ​定义海森堡表象力学量

        • ​ $\hat A(t)=\hat U^\dagger(t) \hat A \hat U(t)$ 

      • ​ $i \hbar \cfrac{\partial}{\partial t}\hat A(t)=[\hat A (t),\hat H(t)]$ 

        • ​

        • ​海森堡哈密顿量的经典对应

          • ​

            • ​泊松括号

            • ​狄拉克正则量子化

              • ​

                • ​Weyl序

    • ​态叠加原理

      • ​薛定谔解的线性叠加也满足相同的薛定谔方程

  • ​从海森堡运动方程到牛顿方程

  • ​海森堡表象与量子力学的统一描述

  • ​二能级系统与受迫谐振子

  • ​量子体系演化：Dyson展开与微扰论

  • ​量子绝热近似方法和几何相位

  • ​量子力学的费曼路径积分表述