蔻享学术上孙昌璞老师的《高等量子力学》,看一点记一点笔记~ |
高等量子力学讲座(孙昌璞)
第一章:量子力学的思想和数学结构
从波尔模型到矩阵力学
谐振子动量和坐标双指标表示:
原子轨道和动量不是直接的可观测量。
能观察到的辐射吸收量与两个指标(轨道)有关,
对应这确定的跃迁频率。
谐振子系统的能量:
涉及到不可对易性问题
假设:坐标、动量是矩阵,但仍然满足运动方程。
谐振子能量:
思考:
考虑一个耗散的谐振子,满足运动方程:
与 的关系是什么?
系统的有效哈密顿量是什么?
彭恒武关于量子开系统的研究
“彭氏规范”
彭氏有效哈密顿量
外场不能是布朗随机力
波动力学与波恩几率诠释
德布罗意物质波
德布罗意关系:
薛定谔方程
给定能量,定义定态波函数:
定态薛定谔方程:
波函数几率诠释
代表 时刻在 附近发现粒子的几率密度
互补性原理
波尔把波粒二象性和不确定性关系进一步提升为
互补性原理,又称并协性原理。
对微观现象的描述不能像刻画经典世界那样进行完备的理想描述。
构成完备经典描述的某些互相补充的元素,在微观世界里通常是互相排斥的,但这些互补元素刻画微观现象的不同侧面,是微观描述中必不可少的。
量子力学基本原理的数学表述
量子力学第一公设
物理体系的状态可以由其位形上的Hilbert空间上的一个非零向量——态矢量描述,它的每一个力学量可以用一个厄米算子来表示。
序:
狄拉克符号
左矢、右矢
厄米算符:
或
厄米算符的本征函数是正交的
正交性、完备性
量子力学坐标表象
由基本对易关系证明得到,动量算符表示为:
思考
动量表象下坐标的表示
坐标表象下,计算
提示:
将其作为一个算符,作用在任意态函数上,考察
以及
(泰勒展开)
变换理论
态的变换
算符的变换
A表象下:
B表象下:
计算物理可观测量时,算符和态的表象一定要统一
量子力学第二公设
波恩几率诠释与坐标平均值
坐标表象中
表示 点附近发现粒子的几率福
表示 点附近发现粒子的几率密度
任意表象中
一般波恩诠释:
为力学量本征值 在态函数上的分布几率
力学量期望值公设 = 波恩几率诠释:测量公设
力学量的平均值:
为 的分布几率
量子测量定理
充分条件
量子测量假设
波包塌缩
存在超光速的关联
波包塌缩与狭义相对论有表现矛盾
Bell不等式违背意味着非定域性存在,但没有超光速
注:后面学的系综退相干解释不与相对论矛盾
量子态的密度矩阵
纯态
密度矩阵在坐标表象下代表着空间密度分布(几率)
性质
归一性
投影性
厄米性
正定性
混合态
两步平均
量子平均
力学量在各本征态的本征值平均
经典平均(统计平均)
系综中各本征态上的粒子数的平均
性质
对于混合态,任何力学量的期望值与其非对角元无关。
一般表示
自旋 粒子的密度矩阵
(量子比特)
布洛赫矢量
布洛赫球
思考: 参量的选取
(微分流形)
热平衡态密度矩阵
量子退相干
粒子的双缝实验:如果在双缝后面有一个探测器,可以准确探知粒子是通过哪一条缝,则相干条纹就会消失。
这种现象称为量子退相干
第三种解释:
测量相当于对系统的一种扰动,
会使得波函数出现一个随机相位。
谐振子量子化的代数方法
定义产生、湮灭算符
定义粒子数算符:
谐振子本征态
谐振子本征方程:
能量量子化:
基态波函数:
相干态
定义湮灭算子的本征态:
定义相干态的生成算符:
证明:贝克-豪斯多夫公式
相干态的坐标表示
物理意义
相干态满足最小的不确定性关系
思考:是否不确定关系最小态都是相干态?
这个问题的思考导致了压缩态概念的诞生
H. P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226(1976)
不会扩散的波包
第二章:量子系统的时间演化
从运动方程到态叠加原理
时间演化算符
时间演化算符具有“半群”的关系
找不到逆
幺正算符
海森堡运动方程
定义海森堡表象力学量
海森堡哈密顿量的经典对应
泊松括号
狄拉克正则量子化
Weyl序
态叠加原理
薛定谔解的线性叠加也满足相同的薛定谔方程
从海森堡运动方程到牛顿方程
海森堡表象与量子力学的统一描述
二能级系统与受迫谐振子
量子体系演化:Dyson展开与微扰论
量子绝热近似方法和几何相位
量子力学的费曼路径积分表述