第二章对称图形——圆-ZhiMap思维导图

第二章对称图形——圆
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- 2.4 圆周角
  - 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角
  - 圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
    e.g. 在 $⊙$ O中 ∠BAC=∠BDC= $\frac{1}{2}$ ∠BOC
    或
    在 $\odot$ O中 ∵弧AB=弧CD ∴∠AMB=∠CND $\odot$
  - 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
    e.g. ①∵BC为直径 ②∵∠BAC=90°
    ∴∠BAC=90° ∴BC为直径
  - 圆内接四边形：一个4个顶点都在同一个圆上的四边形
  - 圆内接四边形的对角互补
    e.g. ∵四边形ABCD是 $\odot$ O的内接四边形
    ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°
- 2.1 圆
  - 园中的各种定义
    - 弦：连接圆上任意两点的线段
    - 直径：经过圆心的弦
    - 弧：圆上任意两点间的部分
      - 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆
      - 优弧：大于半圆的弧
      - 劣弧：小于半圆的弧
    - 圆心角：定点在圆心的角
    - 同心圆：圆心相等，半径不相等的两个圆
    - 等圆：能够互相重合的两个圆
    - 等弧：能够互相重合的弧
  - 同圆或等圆的半径相等
    e.g. 在 $\odot$ O中，OA=OB
- 2.2 圆的对称性
  - 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
  - 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等。
    e.g. ①∵弧AB=弧CD ②∵AB=CD
    ∴∠AOB=∠COD AB=CD ∴弧AB=弧CD ∠AOB=∠COD
    ③∵∠AOB=∠COD
    ∴弧AB=弧CD AB=CD（弧的符号打不出来，理解万岁，理解万岁）
  - 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
    (n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角）
  - 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴
  - 垂直于弦的直接平分弦以及弦所对的两条弧（垂径定理）
    e.g.如图，过点O作直线交圆于C，D，交AB于P
    ∵OP⊥AB
    ∴AP=BP 弧AD=弧BD 弧AC=弧BC
- 2.5 直线与圆的位置关系
  - 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    e.g.（繁琐版） ∵OA为 $\odot$ O半径 l⊥OA于点A
    ∴l切 $\odot$ O(于点A)
    （精简版） ∵OA为 $\odot$ O半径 AB⊥OA
    ∴AB切 $\odot$ O(于点A)
  - 圆的切线的垂直于经过切点的半径
    e.g. ∵AB切 $\odot$ O(于点A) OA为 $\odot$ O半径
    ∴AB⊥OA（于点A）
  - 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆
  - 三角形的内心：三角形内切圆的圆心
  - 内心的性质
    ∵O是△ABC的内心
    作OD OE OF 分别垂直AB，BC，CD于D，E，F
    ∴OD=OE=OF OA平分∠BAC OB平分∠ABC OC平分∠ACB
  - 圆的外切三角形：三边都与圆相切的三角形
  - 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长
  - 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等（切线长定理）
    e.g. ∵ PA PB分别切 $\odot$ O于A，B
    ∴ PA=PB
- 2.3 确定圆的条件
  - 不在同一条直线上的三点确定一个圆
  - 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 $\odot$
- 2.6 正多边形与圆
  - 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形
  - 正n边形的内角和：(n-2)*180°
    正n边形的一个内角的度数：180°- $\frac{360°}{n}$
    正n边形的外角和：360°
    正n边形一个外角的度数： $\frac{360°}{n}$
    正n边形的一个中心角的度数： $\frac{360°}{n}$
- 2.8 圆锥的侧面积
  - S=lπr
  - 引申： $\frac{n}{360°}$ ·2πl=2πr $\Rightarrow$ $\frac{r}{l}$ = $\frac{n}{360°}$ $\Rightarrow$ $\frac{l}{r}$ = $\frac{360°}{n}$
- 2.7 弧长及扇形的面积
  - 弧长= $\frac{nπr}{180°}$
  - S扇形= $\frac{nπr²}{360°}$
  - S扇形= $\frac{1}{2}$ 弧长*r

第二章 对称图形——圆

​2.4 圆周角

​圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角

​圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。e.g. 在⊙O中 ∠BAC=∠BDC= 12 \frac{1}{2} 21​ ∠BOC 或 在 ⊙ \odot ⊙O中 ∵弧AB=弧CD ∴∠AMB=∠CND⊙ \odot

​直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径e.g. ①∵BC为直径 ②∵∠BAC=90° ∴∠BAC=90° ∴BC为直径

​圆内接四边形：一个4个顶点都在同一个圆上的四边形

​圆内接四边形的对角互补e.g. ∵四边形ABCD是 ⊙ \odot ⊙ O的内接四边形 ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°

​2.1 圆

​园中的各种定义

​弦：连接圆上任意两点的线段

​直径：经过圆心的弦

弧：​圆上任意两点间的部分

​半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆

​优弧：大于半圆的弧

​劣弧：小于半圆的弧

​圆心角：定点在圆心的角

​同心圆：圆心相等，半径不相等的两个圆

​等圆：能够互相重合的两个圆

​等弧：能够互相重合的弧

​同圆或等圆的半径相等e.g. 在 ⊙ \odot ⊙ O中，OA=OB

​2.2 圆的对称性

​圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

​圆心角的度数与它所对的弧的度数相等(n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角）

​圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴

​垂直于弦的直接平分弦以及弦所对的两条弧（垂径定理）e.g.如图，过点O作直线交圆于C，D，交AB于P ∵OP⊥AB ∴AP=BP 弧AD=弧BD 弧AC=弧BC

​2.5 直线与圆的位置关系

​经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线e.g.（繁琐版） ∵OA为 ⊙ \odot ⊙ O半径 l⊥OA于点A ∴l切 ⊙ \odot ⊙ O(于点A) （精简版） ∵OA为 ⊙ \odot ⊙ O半径 AB⊥OA ∴AB切 ⊙ \odot ⊙ O(于点A)

​圆的切线的垂直于经过切点的半径e.g. ∵AB切 ⊙ \odot ⊙ O(于点A) OA为 ⊙ \odot ⊙ O半径 ∴AB⊥OA（于点A）

三角形的内切圆：​与三角形各边都相切的圆

​三角形的内心：三角形内切圆的圆心

​内心的性质∵O是△ABC的内心作OD OE OF 分别垂直AB，BC，CD于D，E，F ∴OD=OE=OF OA平分∠BAC OB平分∠ABC OC平分∠ACB

​圆的外切三角形：三边都与圆相切的三角形

​切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长

​过圆外一点所画的圆的两条切线长相等（切线长定理）e.g. ∵ PA PB分别切 ⊙ \odot ⊙ O于A，B ∴ PA=PB

​2.3 确定圆的条件

​不在同一条直线上的三点确定一个圆

​三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。⊙ \odot

​2.6 正多边形与圆

​正多边形：各边相等、各角也相等的多边形

​正n边形的内角和：(n-2)*180°正n边形的一个内角的度数：180°- 360°n \frac{360°}{n} n360°​ 正n边形的外角和：360°正n边形一个外角的度数： 360°n \frac{360°}{n} n360°​ 正n边形的一个中心角的度数： 360°n \frac{360°}{n} n360°​

​2.8 圆锥的侧面积

​S=lπr

​引申： n360° \frac{n}{360°} 360°n​ ·2πl=2πr ⇒ \Rightarrow ⇒ rl \frac{r}{l} lr​ = n360° \frac{n}{360°} 360°n​ ⇒ \Rightarrow ⇒ lr \frac{l}{r} rl​ = 360°n \frac{360°}{n} n360°​

​2.7 弧长及扇形的面积

​弧长= nπr180° \frac{nπr}{180°} 180°nπr​

​S扇形= nπr²360° \frac{nπr²}{360°} 360°nπr²​

​S扇形= 12 \frac{1}{2} 21​ 弧长*r

第二章对称图形——圆

2.4 圆周角

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角

圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
e.g. 在 $⊙$ O中 ∠BAC=∠BDC= $\frac{1}{2}$ ∠BOC
或
在 $\odot$ O中 ∵弧AB=弧CD ∴∠AMB=∠CND $\odot$

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
e.g. ①∵BC为直径 ②∵∠BAC=90°
∴∠BAC=90° ∴BC为直径

圆内接四边形：一个4个顶点都在同一个圆上的四边形

圆内接四边形的对角互补
e.g. ∵四边形ABCD是 $\odot$ O的内接四边形
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°

2.1 圆

园中的各种定义

弦：连接圆上任意两点的线段

直径：经过圆心的弦

弧：圆上任意两点间的部分

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆

优弧：大于半圆的弧

劣弧：小于半圆的弧

圆心角：定点在圆心的角

同心圆：圆心相等，半径不相等的两个圆

等圆：能够互相重合的两个圆

等弧：能够互相重合的弧

同圆或等圆的半径相等
e.g. 在 $\odot$ O中，OA=OB

2.2 圆的对称性

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
(n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角）

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴

垂直于弦的直接平分弦以及弦所对的两条弧（垂径定理）
e.g.如图，过点O作直线交圆于C，D，交AB于P
∵OP⊥AB
∴AP=BP 弧AD=弧BD 弧AC=弧BC

2.5 直线与圆的位置关系

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
e.g.（繁琐版） ∵OA为 $\odot$ O半径 l⊥OA于点A
∴l切 $\odot$ O(于点A)
（精简版） ∵OA为 $\odot$ O半径 AB⊥OA
∴AB切 $\odot$ O(于点A)

圆的切线的垂直于经过切点的半径
e.g. ∵AB切 $\odot$ O(于点A) OA为 $\odot$ O半径
∴AB⊥OA（于点A）

三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆

三角形的内心：三角形内切圆的圆心

内心的性质
∵O是△ABC的内心
作OD OE OF 分别垂直AB，BC，CD于D，E，F
∴OD=OE=OF OA平分∠BAC OB平分∠ABC OC平分∠ACB

圆的外切三角形：三边都与圆相切的三角形

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等（切线长定理）
e.g. ∵ PA PB分别切 $\odot$ O于A，B
∴ PA=PB

2.3 确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 $\odot$

2.6 正多边形与圆

正多边形：各边相等、各角也相等的多边形

正n边形的内角和：(n-2)*180°
正n边形的一个内角的度数：180°- $\frac{360°}{n}$
正n边形的外角和：360°
正n边形一个外角的度数： $\frac{360°}{n}$
正n边形的一个中心角的度数： $\frac{360°}{n}$

2.8 圆锥的侧面积

S=lπr

引申： $\frac{n}{360°}$ ·2πl=2πr $\Rightarrow$ $\frac{r}{l}$ = $\frac{n}{360°}$ $\Rightarrow$ $\frac{l}{r}$ = $\frac{360°}{n}$

2.7 弧长及扇形的面积

弧长= $\frac{nπr}{180°}$

S扇形= $\frac{nπr²}{360°}$

**S扇形= $\frac{1}{2}$ 弧长*r**