行列式

• ​行列式的定义与性质

  • ​本质定义

    • ​行列式可被看做是由若干个向量拼成，并且要把这些向量做运算.
                                    （柯西几何背景）

  • ​逆序数法定义

    • ​ $n阶行列式的值为 {\displaystyle \sum_{ j_{1} j_{2}···j_{n} }^ { }{ （-1）^{ τ （j_{1} j_{2}··· j_{n}）} } a_{1j_{1}} } a_{2j_{2}} ···a_{nj_{n}}$ 

  • ​展开定理

    • ​行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和。

  • ​性质

    • ​行列互换，其值不变，即 $\left| A \right| = \left| A^{T} \right|$ （行列地位等价）

    • ​行列式为零的情况：出现全零行（列），或出现两行（列）一样

    • ​某行（列）有公因式可以直接提出来

    • ​行列式某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和
      (注，此处各元素可以不同，例如配零）

    • ​行列式中两行（列）互换，行列式的值反号

    • ​行列式某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变

  • ​几个重要行列式

    • ​主、副对角线行列式

    • ​拉普拉斯展开式: $\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A &C \\ O & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix}=|A||B|$ 
                        $\begin{vmatrix} O & A \\ B &O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C &A\\ B & O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O & A\\ B & C \end{vmatrix}= (-1)^{mn} |A||B|$ 
      

    • 范德蒙德行列式：第一行（列）全为1，盯着第二行（列）
       $\begin{vmatrix} 1 & 1 & ···& 1 \\ x_{1} & x_{2} & ···& x_{n}\\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & ···& x_{n}^{2} \\ \ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & ···& x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}= { \displaystyle \prod_{1 \leq i<j \leq n }^{b} } (x_{j}-x_{i})$ 
      

• ​行列式的计算

  • ​具体型

    • ​化为基本型

      • ​直接展开

      • ​爪型

      • ​异爪型

      • ​行(列)和相等

      • ​消零化基本型

      • ​拉普拉斯展开

      • ​范德蒙德行列式

    • 行列式表示的函数和方程

    • ​递推法

  • ​抽象型

    • ​用性质

    • ​用公式 |AB|=|A||B|

• ​余子式与代数余子式的计算

  • ​ $k_{1} A_{i1} +k_{2} A_{i2} +....+k_{n} A_{in} =\begin{vmatrix} * \\ k_{1}k_{2} ...k_{n} \\ *\end{vmatrix}，$ 
    * 表示原元素不变.
    

  • ​ $若要求 k_{1} M_{i1} +k_{2} M_{i2} +···+k_{n} M_{in}，只需用$ 
     $M_{ij}= (-1)^{i+j} A_{ij}化为关于 A_{ij}的线性组合即可.$