理论力学

• ​运动学

  • ​点的运动学

    • ​加速度的自然坐标表示法

      • ​ $a_{t}= \frac{dv}{dt}$   $a_{n}= \frac{ v^{2} }{ ρ }$    $θ =arctan \frac{ \left| a_{t} \right| }{a_n}$ 

  • ​点的合成运动

    • ​点的速度合成定理

      • ​ $v_{a}=v_{e}+v_{r}$ 

    • ​牵连运动为平移时点的加速度合成定理

      • ​ $a_{a} = a_{e}+ a_{r}$ 

    • ​牵连运动为转动时点的加速度合成定理

      • ​ $a_{a}= a_{e}+a_{r}+a_{c}$  : $a_{c}=2ωv_{r}$   $ω$ 为牵连运动的

  • ​刚体的基本运动

    • ​刚体的平行移动

      • ​当刚体平移时，刚体内各点的轨迹形状都相同，且在同一瞬时各点都具有相同的速度和加速度。

    • ​刚体的定轴转动

      • ​当刚体运动时，刚体内某一直线上的所有各点始终保持不动

    • ​转动刚体内各点的速度与加速度

      • ​ $v= \frac{ds}{dt} =r \frac{ dφ }{dt} =r α$$ω$   

      • ​ $a_{t} = \frac{dv}{dt} =r \frac{ d ω }{dt} =r α$ 

      • ​ $a_{n}=r ω ^{2}$$a_{n}= \frac{ v^{2} }{ ρ }= \frac{ (r ω )^{2} }{r} = r ω ^{2}$ 

      • ​ $θ =arctan \frac{ \left[ a_{t} \right] }{ a_{n} } =arctan \frac{ \left| α \right| }{ ω ^{2} }$ 

  • ​刚体的平面运动

    • ​刚体平面运动概述

      • ​当刚体运动时，刚体内任意一点至某一固定平面的距离始终保持不变。

    • ​平面图形内各点的速度 $\bullet$ 速度投影定理 $\bullet$ 速度瞬心

      • ​1、速度合成定理

        • ​ $v_{m} =v_{ o}+v_{om}$  ：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量化

      • ​2、速度投影法

        • ​在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两个点连线上的投影相等

      • ​3、速度瞬心法

        • ​定义：如图C点的绝对速度将等于零，即 $v_{c} =v_{ o}-OC \cdot ω$ =0,这样的C点称为速度瞬心

        • ​确定速度瞬心的几种方法

          • ​（1）在某瞬时已知图形上A、B两点的速度方向

            • ​特殊情况：若A、B两点的速度 $v_{A}$ 与 $v_{B}$ 互相平行但AB连线不与 $v_{A}$ 或 $v_{B}$ 的方向垂直，则速度瞬心C将位于无穷远处，这就说明在此瞬时平面图形内各点的速度都相同，刚体作瞬时平移。

          • ​（2）在某瞬时，已知图形上A、B两点的速度 $v_{A}$ 、 $v_{B}$ 的大小，其方向均与AB连线垂直。

            • ​特殊情况，刚体作瞬时平移

          • ​（3）当平面图形在另一固定平面上滚动而不滑动时，这两个面的接触点的速度为零，此点即为平面图形在此瞬时的速度瞬心。（如P197列9-1)

    • ​平面图形各点的加速度:基点法

      • ​ $a_{M}=a_{o}+ a_{OM}^{t} +a_{OM}^{n}$ 

• ​动力学

  • ​动量定理

    • ​质点系的动量定理

      • ​ $p= {\displaystyle \sum_{}^{}{ m_{i} v_{i}} }$ 

      • ​ $\frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt} {\displaystyle \sum_{}^{}{ m_{i}v_{i}} } = {\displaystyle \sum_{}^{}{ F_{i}^{(e)} } }$ :即质点系的动量对于时间的导数等于作用在该质点系上所有外力的矢量和，这就是微分形式的质点系动量定理

    • ​质心运动定理

      • ​质心位置坐标

        • ​ $x_{c}= \frac{ {\displaystyle \sum_{}^{}{m_{i}x_{i}} } }{m}$ 

        • ​ $y_{c}= \frac{ {\displaystyle \sum_{}^{}{m_{i}y_{i}} } }{m}$ 

        • ​ $z_{c}= \frac{ {\displaystyle \sum_{}^{}{m_{i}z_{i}} } }{m}$ 

      • ​若质点系的全部质量都集中于质心C，则质心的动量即等于质点系的动量

        • ​ $m v_{c} = {\displaystyle \sum_{}^{}{ m_{i} v_{i}} } =p$

      • ​质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和，这就是质心运动定理

        •  $m a_{c} = {\displaystyle \sum_{}^{}{m_{i}a_{i}} } = {\displaystyle \sum_{}^{}{F_{i}^{(e)} } }$ 

      • ​如果所有作用于质点系的外力在x轴上的投影的代数和恒等于零，即 ${\displaystyle \sum_{}^{}{ F_{x}^{(e)} } } =0$ ，则 $v_{Cx}=$ 常量，这就表明质心的横坐标 $x_{C}$ 不变或质心沿x轴的运动是匀速的，这两种情况称为质心运动守恒。

  • ​动量矩定理

    • ​质点系的动量矩定理

      • ​质点系内各质点的动量对于O点之矩的矢量和（主矩），称为质点系对于O点的动量矩

        • ​ $L_{O}={\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{M_{o}(m_{i}v_{i}) } }$ 

      • ​质点系对于某一固定点的动量矩对于时间的导数，等于作用于质点系上的所有外力对于同一点的矩的矢量和

        • ​ $\frac{d L_{o} }{dt}= \frac{d}{dt} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ M_{o} (m_{i}v_{i})} } = {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{M_{o}( F_{i}^{(e)} )} }$ 

      • ​若作用于质点系的所有外力对于某一固定点之矩恒等于零时，该质点系对于同一点的动量矩保持不变，这就是质点系的动量矩守恒定律

        • ​ $L_{O}={\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{M_{o}(m_{i}v_{i}) } } =$ 常矢量

    • ​刚体的定轴转动微分方程

      • ​绕定轴转动的刚体对于转轴的动量矩等于刚体对于转轴的转动惯量与其角速度的乘积

        • 动量矩：​ $L_{z}= ω J_{z}$ 

      • ​刚体的定轴转动微分方程：刚体对于转轴的转动惯量与其角加速度的乘积，等于作用在刚体上的所有外力对于转轴之矩的代数和。

        • 力矩：​ $M_{z}^{(e)} =J _{z} α$ 

        • ​ $J_{z}=m p_{z}^{2}$   :m为刚体的质量， $p_{z}$ 是相当于长度的一个量，称为回转半径。

    • ​转动惯量

      • ​细长杆

        • ​ $J_{z}= \frac{1}{12} m l^{2}$ 

        • ​ $J_{ z^{ \ast } }= \frac{1}{12} m l^{2}$ 

      • ​薄圆板

        • ​ $J_{ z }= \frac{1}{2} m R^{2}$ 

      • ​平行轴定理

        • ​ $J_{ z^{ \ast } }= J_{z}+md^{2}$ 

    • ​刚体的平面运动微分方程

      • ​ $ma=F$ 

      • ​ $J_{c} α =M_{c}$ 

  • ​动能定理

    • ​力的功

      • ​重力的功

        • ​W=mgh

      • ​弹性力的功

        • ​ $W= \frac{k}{2} ( δ _{1}^{2}- δ _{2}^{2} )$ 

      • ​摩擦力的功

        • ​ $W=-f F_{N} s$ 

        • ​纯滚动有摩擦力，但摩擦力不做功

      • ​力对转轴之矩做功

        • ​ $W= M_{z} φ =M \frac{S}{R}$ 

    • ​质点系和刚体的动能

      • ​平移刚体的动能

        • ​ $T= \frac{1}{2} m x_{c}^{2}$ 

      • ​定轴转动刚体的动能

        • ​ $T= \frac{1}{2} J_{z} ω ^{2}$ 

      • ​平面运动刚体的动能

        • ​ $T= \frac{1}{2} J_{ c^{ \ast } } ω ^{2}$ 

        • ​ $T= \frac{1}{2} J_{ c } ω ^{2} + \frac{1}{2} m v_{c}^{2}$