ode第九章 边值问题

•  $y''+p(x)y'+q(x)y=0\ \ (9.1)$ 

• ​9.1 施图姆比较定理

  • ​引理9.1零点孤立

  • ​定理9.1 解的线性相关性与零点的关系

  • ​定理9.2 施图姆比较定理

    • ​判别法1 非零解非振动

    • ​判别法2 零点间距

• ​9.2 S-L边值问题的特征值

  •  $[p(x)y']'+[q(x)+λr(x)]y=0\ \ (9.16) \\ Ky(a)+Ly'(a)=0,\ \ My(b)+Ny'(b)=0\ \ (9.17) \\ K^2+L^2>0,\ M^2+N^2>0$ 

  • ​【例2】 特例的求解

  • ​变换为： $y''+( λ +q(x))y=0\ \ (9.17)\\ y(0)cos α -y'(0)sin α =0,\ \ y(1)cos β -y'(1)sin β =0,\ \ (9.21)\\ 0< α < π ,\ \ 0< β < π$ 

    • ​引理9.2 导出函数 $ω (x)= θ (1, λ )的性质$ 

    • ​引理 9.2

    • ​引理 9.3

    • ​定理9.3 S-L边值问题的特征值

• ​9.3 特征函数系的正交性

  • ​引理9.5 S-L边值问题的每个特征值只有一个线性无关的特征函数

  • ​引理9.6 特征函数系构成一个正交系

  • ​引理9.7 特征函数系的逼近性

  • ​定理9.4 满足狄氏条件，广义傅氏级数收敛到自己

  • ​【例1】特例的求解

• ​9.4 一个非线性边值问题的例子

  • ​【例4】 $\frac{d^2y}{ds^2}+ \frac{py}{B} \sqrt{1-( \frac{dy}{ds})^2 } \ \ (9.45)\\ y(0)=0,\ \ y(l)=0.\ \ (9.46)$ 

    • ​小弯曲，线性化

    • ​直接分析非线性

• ​9.5 周期边值问题

  • 二阶微分方程 $x''+ ω _0^2x=p(t)+ λ f(t,x,x')\ \ (9.56)$ 

  • ​ $2 π 周期解满足周期边界条件$ 

  • $$\begin{gathered} x(t,x_0,v_0,\lambda )是周期边值问题的解，当且仅当初值x_0,v_0满足 \\ \{\begin{array}{l}F(x_0,v_0,\lambda )=x(2\pi ,x_0,v_0,\lambda )-x_0=0\\ G(x_0,v_0,\lambda )=x^{\prime }(2\pi ,x_0,v_0,\lambda )-v_0=0\end{array}(9.59{)}_{\lambda } \end{gathered}$$ 

  • ​定理9.5  $ω _0非正整数， λ 小参数时(9.56)有唯一的2 π 周期解$ 

• ​左边放习题总结，右边放框架及感想