三角函数+解三角形

• $y=sinx\\y=cosx\\y=tanx$ $y=sinx$图像和性质[ $y=cosx$ 类比学习]
  

  • ​图像

    • ​五点法

  • ​性质

    • ​定义域

    • ​值域

    • ​单调性

    • ​奇偶性

    • ​周期性

    • ​对称性

    • ​零点

    • ​最值、最值点

  • ​常用性质

    • ​在锐角 $\Delta ABC$  中， $sinA>cosB，cosA<sinB$ 

    • ​在 $\Delta ABC$ 中， $A>B \Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow a>b$ 

    • ​在 $\Delta ABC$ 中， $A>B \Leftrightarrow cosA<cosB$  $A>B \Leftrightarrow sinA>sinB \Leftrightarrow a>b$$A>B \Leftrightarrow cosA<cosB$ 
      

• ​相关概念

  • 角的概念

    • ​初中定义

      • 静态定义

      • ​[静态定义]由公共端点的两条射线组成的图形，成为角。由此定义很容易理解其刻画的角的最大范围为 $\theta\in [0^{\circ}，360^{\circ}]$ 。

    • ​高中定义

      • 动态定义

      • ​[动态定义]将一条射线的端点放置在直角坐标的原点位置，射线和x轴的非负半轴重合，此时如果逆时针旋转就形成了正角，范围可以拓展到 $(0，+\infty)$ ；如果顺时针旋转就形成了负角，范围可以拓展到 $(-\infty，0)$ ；如果不做选择就形成零角；这样采用动态定义，就能很容易将角的范围扩充到 $(-\infty，+\infty)$ ；

  • ​角的度量

    • ​角度制

    • ​弧度制

      • ​角度弧度的互化

      • ​引入必要

        • ​

        • 角度 $\stackrel{弧度制}{\Longleftrightarrow}$

      • ​扇形面积 $S_{扇}=\cfrac{1}{2}\cdot l \cdot r=\cfrac{1}{2}\cdot \theta \cdot r^2$ 

      • ​面积的最值

        • ​二次函数法

        • ​均值不等式法

  • ​三角函数概念

    • ​初中概念

      • ​初中定义：同样由于受学生的认知能力和角的范围的限制，只是在 $Rt\triangle$ 中定义， $sin\theta=\cfrac{对边}{斜边}$ ， $cos\theta=\cfrac{邻边}{斜边}$ ；这种定义的缺陷是三角函数的自变量 $\theta$ 的范围只能是 $[0^{\circ}，90^{\circ}]$ 。

    • ​高中概念

      • ​高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到$x$轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点) $P(x，y)$ ，则 $r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$ ，则 $sin\theta=\cfrac{y}{r}$ ， $cos\theta=\cfrac{x}{r}$ ， $tan\theta=\cfrac{y}{x}$ ，很显然，这种定义方式可以刻画 $(-\infty，+\infty)$ 范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围 $[0^{\circ}，90^{\circ}]$ ，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。

      • ​

• ​ $y=Asin(\omega x+\phi)+k$ 图像和性质【类比⑦学习】

  • ​图像

    • ​五点法

      • ​横轴为 $x$ 轴

    • ​整体法

      • ​横轴为自变量整体

    • ​变换作图

      • 相位变换 

        • ​ $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{3})向左平移\cfrac{\pi}{12}个单位$ 

          • ​本质： $用x+\cfrac{\pi}{12} \Rightarrow x$ 

          • ​结果： $y=sin[2(x+\cfrac{\pi}{12})+\cfrac{\pi}{3}] \Rightarrow y=sin(2x+\cfrac{\pi}{2})=cos2x$ 

        •  $y=cos(3x+\cfrac{\pi}{4})向右\cfrac{\pi}{6}个单位$ 

          • 本质： $用x-\cfrac{\pi}{6} \Rightarrow x$ 

          • ​结果： $y=cos[3(x-\cfrac{\pi}{6})+\cfrac{\pi}{4}] \Rightarrow y=cos(3x-\cfrac{\pi}{2}+\cfrac{\pi}{4})=sin(3x+\cfrac{\pi}{4})$ 

      • ​周期变换

        •  $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6})纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍$ 

          • ​本质： $\cfrac{1}{3}x \Rightarrow x$ 

          • ​结果： $y=sin(2x+\cfrac{\pi}{6}) \Rightarrow y=sin(\cfrac{2x}{3}+\cfrac{\pi}{6})$ 

        • ​ $y=sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})纵坐标不变，横坐标缩小为原来的\cfrac{1}{2}倍$ 

          • ​本质： $用2x \Rightarrow x$ 

          • ​结果： $y=sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6}) \Rightarrow y=sin(x+\cfrac{\pi}{6})$ 

      • ​振幅变换

        • ​ $y=sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍$ 

          • ​本质： $\cfrac{y}{2} \Rightarrow y$ 

          • ​结果： $y=2sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})$ 

        • ​ $y=sin(\cfrac{x}{2}+\cfrac{\pi}{6})横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍$ 

          • ​本质： $2y \Rightarrow y$ 

          • ​结果： $y=\cfrac{1}{2}sin(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6})$ $y=\cfrac{1}{2}sin(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{\pi}{6})$
            

  • 性质

    • ​定义域

    • ​值域

      • ​整体法作图

    • ​单调性

      • ​定义域为 $R$ 

      • ​限定区间

    • ​奇偶性

      • ​验证法

        • ​奇函数： $f(0)=0$ 

        • ​偶函数： $f(0)=\pm 1$ 

    • ​周期性

      • ​公式法

      • ​有绝对值用图像

      • ​公式法+绝对值

    • ​对称性

      • ​验证法：函数在对称轴处函数值达到最值

      • ​对称性的给出方式：如 $f(x+\cfrac{\pi}{3})=f(-x+\cfrac{\pi}{3})$ ，则对称轴为 $x=\cfrac{\pi}{3}$ 

    • ​零点

    • ​最值、最值点

  • ​求其解析式： $y_{max}=M，y_{min}=m$ 

    •  $A=\cfrac{M-m}{2}$ 

    • ​ $k=\cfrac{M+m}{2}$ 

    • ​ $\omega \Leftarrow T \Leftarrow 图像$ 

    • ​ $\phi$ 

      • ​五点法

      • ​方程组法

    • ​正弦型函数的实际应用

      • ​计算温度高低

      • ​计算水位高低

• ​与 $\theta$ 角的终边相同的角集合 $\\\{\beta\mid\beta=2k\pi+\theta,k\in Z\}$ 【为解三角不等式做准备】 $\\ \{\beta\mid\beta=2k\pi+\theta,k\in Z\}$

  • ​角的终边落在射线上

    • ​ $\theta=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}，k\in Z$ 

    • ​ $\theta=2k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z$ 

    • ​ $\theta=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

    • ​ $\theta=2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}，k\in Z$ 

  • ​角的终边落在直线上

    • ​ $\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z$ 

    • ​ $\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

    • ​ $\theta=k\pi-\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

  • ​角的终边落在某个区域内

    • ​第一象限角

      • ​ $2k\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

    • ​第二象限角

      • ​ $2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\theta<2k\pi+\pi，k\in Z$ 

    • ​第三象限角

      • ​ $2k\pi+\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}，k\in Z$ 

    • ​第四象限角

      • ​ $2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}<\theta<2k\pi+2\pi，k\in Z$ 

    • ​第一和第二象限的角平分线之间(不含)

      • ​ $2k\pi+\cfrac{\pi}{4}<\theta< 2k\pi+\cfrac{3\pi}{4}，k\in Z$ 

    • ​第二和第三象限的角平分线之间(含)

      • ​  $2k\pi+\cfrac{3\pi}{4}\leqslant \theta\leqslant 2k\pi+\cfrac{5\pi}{4}，k\in Z$ 

  • ​角的终边落在一组对顶区域内

    • ​第一和第三象限内

      • ​ $k\pi<\theta<k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

    • ​第一象限和第三象限的后半段

      • ​ $k\pi+\cfrac{\pi}{4}<\theta<k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z$ 

        • ​

  • ​两角的终边对称

    • ​角 $\alpha$和角$\beta$的终边关于$x$轴对称

      • ​ $\alpha+\beta=2k\cdot \pi，k\in Z$ 

    • ​角$\ala$和角$\beta$的终边关于$y$轴对称

      • ​ $\alpha+\beta=(2k+1)\cdot \pi，k\in Z$ 

• ​三角函数的相关运算

  • ​三角函数化简【常考】

    • 三角函数的化简目的就是为其他做铺垫；

    • 化简要求

      • ​使三角函数式的次数尽量低

      • ​使三角式中的项数尽量少

      • ​使三角函数的种类尽量少

      • ​使三角函数式中的分母尽量不含有三角函数

      • ​使三角函数式中尽量不含有根号和绝对值符号

      • ​能求值的，要求出具体的值,否则就用三角函数式来表示

    • ​常用变形

      • ​弦切互化

      • ​常数代换[比如1]

      • ​通分约分

      • ​配方或展开

      • ​提取公因式

      • ​公式的逆用+变用

  • ​三角函数求值【常考】

    • 注意角的范围的压缩，可以减少错误；

    • ​给角求值

    • ​给值求值

      • ​运算技巧

        • ​比如已知 $tan\alpha=2$ ，求 $sin\alpha和cos\alpha$ 

          • ​法1：方程组法

          • ​法2：引入比例因子法

      • ​已知角一个，未知角一个

        • ​用互余、互补、倍角、半角、特殊角的思路建立关联

      • ​已知角两个，未知角一个

        • ​用相加减的思路建立关联

    • ​给值求角

      • ​转化为给值求值+范围

      • ​选取三角函数的策略

        • ​给切选切，给弦选弦

        • ​角的范围为 $(-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2})$ 选正弦，为 $(0，\pi)$ 选余弦

      • ​关联不等式[储备]

        • ​如由 $-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}$ 

          • ​具体过程如下：

          •  $\left.\begin{array}{l}{-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}}\\{-\cfrac{\pi}{2}<-\beta<\cfrac{\pi}{2}}\\{\alpha-\beta<0}\end{array}\right\}\Rightarrow -\pi<\alpha-\beta<0$ ​

        • ​如由 $-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}$ 

          • ​先仿上得到， $-\pi<\alpha-\beta<0$ 

          • ​又由于 $-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}$ 

            • ​故得到： $-\cfrac{3\pi}{2}<2\alpha-\beta<\cfrac{\pi}{2}$ 

  • ​三角函数证明

    • ​实质：考查三角恒等变换

    • ​ 策略

      • ​ $左 \Rightarrow 右$ 

      • ​ $右 \Rightarrow 左$ 

      • ​ $左 \Rightarrow 中间式 \Leftarrow 右$ 

    • ​常用方法

      • ​弦切互化

      • ​通分约分

      • ​提取公因式

      • ​常数1的代换

      • ​配方或展开

      • ​公式的逆用+变用

  • ​给值求值的特例：三角函数齐次式【常考】

    • ​关于 $sin\theta 和 cos\theta$ 的一次齐次式

      • ​ $2sin\theta\pm 3cos\theta$ 

      • ​引申： $a\cdot sin\theta\pm b\cdot cos\theta$ ( $a,b\in R$ )

    • ​关于 $sin\theta 和 cos\theta$ 的二次齐次式

      • ​  $3sin^2\theta\pm 2cos^2\theta$  

      • ​引申： $a\cdot sin\theta\pm b\cdot cos\theta$ $a\cdot sin^2\theta\pm b\cdot cos^2\theta$  ( $a,b\in R$ )

    • ​常用：分式型函数

      • ​已知 $tan\theta=3，求值$ 

        • ​ $\cfrac{2\cdot sin\theta+3\cdot cos\theta}{3\cdot sin\theta-4\cdot cos\theta}$ [分式型一次齐次]

          • ​分子分母同除以 $cos\theta$ 

            •  $\cfrac{2tan\theta+3}{3tan\theta-4}$ 

        • ​ $\cfrac{2\cdot sin^2\theta+3\cdot cos^2\theta}{3\cdot sin^2\theta-4\cdot cos^2\theta}$ [分式型二次齐次]

          • ​分子分母同除以 $cos^2\theta$ 

            • ​ $\cfrac{2tan^2\theta+3}{3tan^2\theta-4}$ 

      • ​注意： $tan\theta$ 的不同给出方式

• ​三角函数线

  • ​作用

    • ​三角式的大小比较

      • ​重要三角不等式

        • ​ $当x\in (0,\cfrac{\pi}{2})时，sinx<x<tanx$ 

        • ​

    • 制作三角函数图像

      • ​ $y=sinx$ 

      • ​ $y=cosx$ 

      • ​ $y=tanx$ 

  • ​正弦线MP

    图中，正弦线为MP；

    

    • ​ $当0<\theta<\cfrac{\pi}{4}时，sin\theta<cos\theta；$ 

    • ​ $当\cfrac{\pi}{4}<\theta<\cfrac{5\pi}{4}时，sin\theta>cos\theta；$ 

    • ​

  • ​余弦线OM

    图中，余弦线为OM；

    

  • ​正切线AT

    • 图中，正切线为AT；

    

• ​求三角函数定义域【实质是解三角不等式】

  • ​举例说明

    • ​解三角不等式依托

      • ​单位圆+三角函数线

      • ​三角函数的图像

        • ​ $y=sinx$ 

        • ​ $y=cosx$ 

        • ​ $y=\tan x$ 

    • ​模型： 求解如 $sinx>\cfrac{1}{2}$ 

      • ​如何求 $cosx>\cfrac{1}{2}$ ，类比

    • ​引申： $sin(2x+\cfrac{\pi}{3})>\cfrac{1}{2}$ ，整体思想

      • ​作图时，横轴为 $2x+\cfrac{\pi}{3}$ 

      • ​如何求 $cos(3x-\cfrac{\pi}{4})<\cfrac{1}{2}$ ，类比方法

    • ​引申： $\cfrac{\sqrt{3}}{2}sinx+\cfrac{1}{2}cosx>\cfrac{1}{2}$ 

      • ​转化： $sin(x+\cfrac{\pi}{6})>\cfrac{1}{2}$ 

    • ​再引申： $\left\{\begin{array}{l}{sinx>\cfrac{\sqrt{3}}{2}}\\{cos(x+\cfrac{\pi}{4})<\cfrac{1}{2}}\end{array}\right.$ 

      • 仿上例求解每一个不等式，求其交集时借助单位圆求解

    • ​再引申： $\left\{\begin{array}{l}{sinx>\cfrac{\sqrt{3}}{2}}\\{|x-5|\leqslant 2}\end{array}\right.$ 

      • 仿上例求解每一个不等式，求其交集时借助数轴求解

• 正弦型的相关题型【三角函数为什么那么难】

  • 三角函数中的最重要的一类模型；

  • ​变形为正弦型求函数的性质

    • ​

  • ​求面积的取值范围

    • ​前提：已知一角及其对边如 $a和A$$A=\cfrac{\pi}{3}$ 

      • ​ $S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot (bc)\cdot sinA$ 

      • ​利用均值不等式求 $bc$ 的取值范围

        • ​ $b^2+c^2\geqslant 2bc$ 

        • ​ $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA\ge 2bc-2bc\cdot cosA$ 

        • ​ $bc\leqslant ?$ ，注意验证【相等】

      • ​利用正弦型函数求 $bc=(2R)^2\cdot sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)$ 的取值范围

        • 变形方向：化为正弦型 $y=Asin(2B+\phi)+k$ 

        • ​又：转化链接到求三角函数的值域问题

        • ​难点是三角函数恒等变形：

          • ​ $sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\\=sinB(\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB+\cfrac{1}{2}sinB)\\=\cfrac{\sqrt{3}}{4}sin2B+\cfrac{1}{2}sin^2B\\=\cfrac{\sqrt{3}}{4}sin2B+\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1-cos2B}{2}$ 

  • ​求周长类的取值范围

    • ​前提：已知一角及其对边如 $a和A$$A=\cfrac{\pi}{3}$ 

      • 周长 $C=a+b+c$ ​

        • ​引申为周长类： $C=2a+b-c$ 

      • ​利用均值不等式求 $b+c$ 的取值范围

        •  $bc\leqslant \Big [\cfrac{(b+2)}{2}\Big ]^2$ 

        • ​ $a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA \Rightarrow \\$ 

          • ​

      • ​利用正弦型函数求 $b+c=2RsinB+2Rsin(\cfrac{2\pi}{3}-B)$  $bc=(2R)^2\cdot sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)$的取值范围

        • 变形方向：化为正弦型 $y=Asin(2B+\phi)+k$ 

        • ​又：转化链接到求三角函数的值域问题

        • ​难点是三角函数恒等变形：

          • ​ $sinB+sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\\=sinB+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB-\cfrac{1}{2}sinB\\=\cfrac{1}{2}sinB+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB$ 

  • ​求点线距的取值范围

    • ​

    • ​相关：椭圆标准方程化为参数方程

      • ​ $\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{9}=1$ 

      •  $\Big(\cfrac{x}{2}\Big)^2+\Big(\cfrac{y}{3}\Big)^2=1$  

        • ​上下对比，对应相等得到

          • ​ $\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\theta}\\{y=3sin\theta}\end{array}\right.$ 

      • ​ $cos^2\theta+sin^2\theta=1$ 

    • ​又相关 平行线法求点线距的取值范围

  • ​求曲线上的动点到直线的距离

    • ​

  • ​求弦长类的取值范围

    • ​

  • ​求与向量相关的取值范围

    • ​

• ​三角公式组Ⅰ 【变形铺垫1】

  • ​同角三角函数关系

    • ​ $sin^2\theta+cos^2\theta=1$ 平方关系

      具体题目中的$\theta$角可能是个整体；

    • ​ $sin^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})+cos^2(\theta+\cfrac{\pi}{3})=1$ [偏重考查整体]

    • ​ $tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}$ [倒数关系]

    • ​平方关系重要应用

      • ​同时含有 $sinx\pm cosx$ 和 $sinx\cdot cosx$ 的函数

        • ​ $f(x)=sinx+cosx+sinx\cdot cosx$ 

      • ​思路：换元转化，令 $sinx+cosx=t=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$ 

        • ​ $f(x)=t+\cfrac{t^2-1}{2}，t\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$ 

      • ​由 $(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=t^2$ 

        • ​表示 $sinxcosx=\cfrac{t^2-1}{2}$ 

  • ​诱导公式

    • ​诱导公式记忆使用

      • ​功能：负化正，大化小，一直化到 $(0，\cfrac{\pi}{2})$ 内

      • 使用前提： $k\cdot \cfrac{\pi}{2}+\theta，k\in Z$ 的形式​

      • ​记忆方法：奇变偶不变，符号看象限；

    • ​公式

      • ​

• 解三角形

  • ​解三角形概念

    • ​已知三角形中的一部分边和角，求其余的边和角的过程即为解三角形；

  • ​工具：正余弦定理

    • ​正弦定理

      • ​内容

        • ​自然语言

          • 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；

        • ​符号语言

          •  $\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}$ 

          • ​ $\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}=2R$ 

      • ​证明

      • ​变形[重点]

        • ​边的形式

          • ​ $a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;$ 

        • ​角的形式

          •  $sinA=\cfrac{a}{2R};sinB=\cfrac{b}{2R};sinC=\cfrac{c}{2R};$ ​ $2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;$$sinA=\cfrac{a}{2R};sinB=\cfrac{b}{2R};sinC=\cfrac{c}{2R};$ 
            

        • 比例形式

          • ​  $bsinA=asinB;bsinC=csinB;csinA=asinC;$  

        • ​连比形式

          • ​  $a:b:c=sinA:sinB:sinC;$ 

          • ​注意比例因子的引入； $a:b:c=2:3:4$ ，则 $a=2k,b=3k,c=4k$ 

      • ​求解类型

        • ​已知两角及任一边，求其余两边和另一角；

        • ​已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其余的边和角。

    • ​射影定理

      • ​ $a=b\cdot cosC+c\cdot cosB；\\b=a\cdot cosC+c\cdot cosA；\\c=a\cdot cosB+b\cdot cosA；$ 

    • 三角形 $S_{\triangle ABC}$ ​

      •  $S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}\\=\cfrac{1}{2}\cdot b\cdot h_{b}\\=\cfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_{c}$  $S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}$$S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}\\=\cfrac{1}{2}\cdot b\cdot h_{b}\\=\cfrac{1}{2}\cdot c\cdot h_{c}$ 
        

      • ​ $S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot absinC\\=\cfrac{1}{2}\cdot bcsinA\\=\cfrac{1}{2}\cdot casinB$ 

      • ​ $S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}(a+b+c)\cdot r$ ( $r$内切圆半径）

        • ​关联

          • ​ $r=\cfrac{2S}{a+b+c}$     普通三角形中

          • 

            ​

          • ​ $Rt\triangle$ 中， $r=\cfrac{1}{2}(a+b-c)$ 

          • ​

          • ​割补法

            • ​平面图形割补法

            • ​立体图形割补法

      •  $\left.\begin{array}{r}{S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC}\\{sinC=\cfrac{c}{2R}}\end{array}\right\} \Rightarrow S_{\triangle ABC}=\cfrac{abc}{4R}$ 

    • ​与三角形相关的公式【注意】

      • ​内角和定理

        • ​互余

          • ​ $\cfrac{A+B}{2}+\cfrac{C}{2}=\cfrac{\pi}{2}$ 

        • ​互补

          • ​ $A+B+C=\pi$ 

      • ​三角函数关系[和差角公式在三角形中的应用]

        • ​互余

          • ​ $sin\cfrac{A+B}{2}=cos\cfrac{C}{2}；cos\cfrac{A+B}{2}=sin\cfrac{C}{2}；$ 

        • ​互补

          •  $sin(A+B)=sin(\pi-C)=sinC；\\cos(A+B)=cos(\pi-C)=-cosC；\\tan(A+B)=tan(\pi-C)=-tanC；$ 
            

    • ​余弦定理

      • ​内容

        • ​自然语言

          • 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

        • ​符号语言

          • ​ $a^2=b^2+c^2-2bccosA；\\b^2=c^2+a^2-2cacosB；\\c^2=a^2+b^2-2abcosC；$ 

      • ​变形

        • ​角的形式1

          •  $cosA=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}；\\ cosB=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}；\\ cosC=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}；$

        • ​角的形式2

          •  $sin^2A=sin^2B+sin^2C-2sinBsinCcosA;\\sin^2B=sin^2A+sin^2C-2sinAsinCcosB;\\sin^2C=sin^2A+sin^2B-2sinAsinBcosC;$ 

      • ​求解类型

        • 已知两边及夹角，求第三边，进而求其余两角。

        • 已知三边，求三个内角。

        • 

          ​图2的盲点：已知两边及一边的对角，求第三边

          • ​学生常用思路：由 $\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}$ ，求得角A，再求角C，再用 $\cfrac{c}{sinC}=\cfrac{b}{sinB}$ 求边c

          • ​提醒思路：由 $b^2=a^2+c^2-2accosB$ ，解关于c的一元二次方程即可

        • ​如图所示，不要忘记条件 $cos\alpha+cos\beta=0$ 

  • ​题型列举

    • ​判断三角形的个数

      • ​形的角度

        • ​作图是难点，参阅链接的例3

      • ​数的角度

        • ​借助正弦定理求解，注意多值的取舍

        • ​大角对大边定理

    • ​判断三角形形状

      • ​求解策略，针对边角混杂的情形

        • ​利用 $2RsinA=a$ 等化为纯边的形式，求解代数方程，相对思维简单但运算量大，

          • ​比如 $(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0$ 

        • ​利用 $\cfrac{a}{2R}=sinA$ 等化为纯角的形式，求解三角方程，相对思维难度大一些

          • ​比如 $sin2A=sin2B$ 

      • ​容易混淆

        • ​ $a^2+b^2>c^2$ 是 $\triangle ABC$  $$为锐角三角形的必要不充分条件 

        • ​ $a^2+b^2<c^2$ $a^2+b^2=c^2$ 是 $\triangle ABC$  $$为直角三角形的充分不必要条件 

        • ​ $a^2+b^2<c^2$  是 $\triangle ABC$  $$为钝角三角形的充分不必要条件 

      • ​几个重要结论

        • ​ $sinA=sinB \Rightarrow A=B$ 

        • ​ $sin2A=sin2B \Rightarrow A=B 或 A+B=\cfrac{\pi}{2}$ 

        • ​ $cosA=cosB \Rightarrow A=B$ 

        • ​ $cos2A=cos2B \Rightarrow A=B$ 

        • ​ $sin(A-B)=0 \Rightarrow A=B$ 

        • ​ $cos(A-B)=1 \Rightarrow A=B$ 

    • ​求三角形的角边

      • ​策略：角化边或边化角；

      • ​结合正余弦定理

      • ​求解策略，针对边角混杂的情形

        • ​利用 $2RsinA=a$ 等化为纯边的形式，求解代数方程，相对思维简单但运算量大，

        • ​利用 $\cfrac{a}{2R}=sinA$ 等化为纯角的形式，求解三角方程，相对思维难度大一些

    • ​求三角形周长类的取值范围

      • ​关联到【三角函数】[图像和性质应用]

  • ​解三角形实际应用

    • 注意常将要待求解的量放置到三角形中再求解；
    • 注意立体问题平面化的策略；

    • ​求不可到达的距离[三角形的边]

    • 相关数学概念​

      • ​仰角、俯角

      • ​方位角、方向角

      • ​坡度、张角等

    • ​求不可测量的高度[三角形的边]

    • ​求角度[三角形的角]

    • ​引申到求速度，求时间，求方向角等[三角形的角]

    • ​求解策略

      • ​立体问题平面化

      • ​不在同一个三角形中的条件想办法统一到同一个三角形中

• ​三角公式组Ⅱ  【变形铺垫2】

  • ​和差角公式

    • ​ $sin(\alpha\pm \beta)=sin\alpha\cdot cos\beta\pm cos\alpha\cdot sin\beta$ 

    •  $cos(\alpha\pm \beta)=cos\alpha\cdot cos\beta\mp sin\alpha\cdot sin\beta$ 

    • ​ $tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha\cdot tan\beta}$ 

  • ​倍角公式

    • 注意公式正用和逆用；
    • 倍角和半角的相对性；

    • ​ $sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha$ 

    • ​ $cos2\alpha=cos^2\alpha- sin^2\alpha=2cos^2\theta-1=1-2sin^2\theta$ 

    • ​ $tan2\alpha=\cfrac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$ 

      • ​常用应用

        • ​ $(1+tanA)(1+tanB)=2，(A+B=\cfrac{\pi}{4})$ 

        • ​  $在\Delta ABC中，tanA+tanB+tanC\\=tanA\cdot tanB\cdot tanC(A,B,C\neq \cfrac{\pi}{2})$ 

  • ​半角公式

    • ​ $cos\theta=\pm\sqrt{\cfrac{1+cos2\theta}{2}}$ 

    • ​ $sin\theta=\pm\sqrt{\cfrac{1-cos2\theta}{2}}$ 

  • ​辅助角公式

    •  $a\cdot sin\theta+b\cdot cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)，tan\phi=\cfrac{b}{a}$ 

    • ​实战常用情形

      • ​ $sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm \cfrac{\pi}{4})$ 

      • ​ $\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm \cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm \cfrac{\pi}{6})$ 

      • ​ $\cfrac{1}{2}sin\theta\pm \cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm \cfrac{\pi}{3})$ 

  • ​变形提醒

    • ​

• ​运算技巧提示

  • ​勾股数

    • ​[3，4，5]；[3n，4n，5n]；

    • ​[5,12,13]

  • ​引入比例因子