2021考研高等数学基础（汤家凤数二）-ZhiMap思维导图

2021考研高等数学基础（汤家凤数二）
进入思维导图模式
- 极限与连续
  - 极限基础
    - 函数初等特性
      - 函数y=f(x)
      - 反函数
      - 有界性（有界=有上下界
      - 单调性
      - 极限
        case1 $( ε - N)$
        和单调相似
        Notes
        $x \rightarrow a \begin{Bmatrix} x \neq a \\ x \rightarrow a^-、 x \rightarrow a^+ \end{Bmatrix}$
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } f(x)与f(a)无关$
        去心领域
        0<|x-a|< $δ$
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x) \exists \Leftrightarrow f(a-0)、f(a+0)} } \exists 且相等$
        $\lim_{x \rightarrow a^-}{f(x)=A或f(x) = f(a-0)}$
        $\lim_{x \rightarrow a^+}{f(x)=A或f(x) = f(a+0)}$
        $case1 If \forall ε >0,∃ δ >0,当n>N时|a_n-A|< ε 称 0<|x-a|< δ 时|f(x)-A|< ε$
        $\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=A或f(x) \rightarrow A (x\rightarrow a)}$
        case3
      - 无穷小性质
        一般性质
        $α \rightarrow 0 , β \rightarrow 0$
        $α \pm β \rightarrow 0$
        $α β \rightarrow 0$
        $kα \rightarrow 0(k为常数)$
        $| α | \leq M, β \rightarrow 0 \Rightarrow α β \rightarrow 0$
        $limf(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α , α \rightarrow 0$
        等价性质
        ①
        $α \sim α$
        $α \sim β \Rightarrow β \sim α$
        $α \sim β ， β \sim γ \Rightarrow α \sim γ$
        ②
        $α \sim α _1 ， β \sim β_1且\frac{ β _1 }{ α_1 } =A,则lim\frac{ β }{ α }=A$
        等价无穷小
      - 连续与间断
        连续
        $f(x)在x=a连续-If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)=f(a)（f(a-0)=f(a+0)=f(a)）} }称f(x)在x=a连续$
        间断
        $If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x) \neq f(a)} }间断$
        第一类间断点 $左右极限 \exists ，f(a-0)、f(a+0) \exists$
        $f(a-0)=f(a+0),a-可去间断点$
        $f(a-0) \neq f(a+0),a-跳跃间断点$
        第二类间断点
        f(a-0)、f(a+0)至少一个不存在
  - 极限题型
    - 型一n项和求极限
      - 先求和后极限
      - 夹逼定理（分子分母有一个不齐）
        找一个比bn大的，找一个比bn小的
      - 定积分定义（分子分母都齐）
        $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f({ \frac{i}{n}})=∫_0^1f(x)dx}$
    - 型二 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{an} } ∃证明$ 技巧
      - If∃M>0,使|an| \leq M \left\{ an \right\} --有界
        Ifan \geq M_1--有下界
        Ifan \geq M_2--有上界
        单调、有界，即∃前提
    - 型三不定型求极限
      - Notes
        ①
        $u(x)^{v(x)} \Rightarrow e^{v(x)lnu(x)}$
        $ln(\space\space\space\space\space) \Rightarrow ln(1+ \triangle ) \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0)$
        $(\space\space\space) \Rightarrow \begin{Bmatrix} e^ \triangle -1 \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0) \\ (1+ \triangle )^a-1 \sim a( \triangle \rightarrow 0) \end{Bmatrix}$
        ②
        $x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两种之差为三界无穷小$
        ③
        等价无穷小的精确度问题
        乘法任意使用等价无穷小
        加减法精度够使用不够不使用
      - $\frac{0}{0}$
        等价无穷小
        
        洛必达法则
        求导
        麦克劳林工
      - $1^\infty$
        $凑(1+ \triangle )^ \frac{1}{ \triangle }$
        恒等变型
        $u^v=e^{vlnu}$
      - $\frac{\infty}{\infty}$
        $\lim_{x \rightarrow \infty}{ \frac{b_nx^n......+b_0}{a_nx^n......+a_0} }$
        =0,n<m
        = $\frac{b_m}{a_m}$ ,n=m
        $\infty,n>m$
        $\ \frac{0}{0}$
        洛必达法则
      - $0\infty$
        $\frac{0}{0}$
        $\frac{\infty}{\infty}$
      - $\infty-\infty$
        有分母通分
        无分母有理化
        $\frac{0}{0}$
        $\frac{\infty}{\infty}$
    - 型四间断点及其分类
      - 找到令f(x)为0的数并且根据右边带入
        $If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x) \neq f(a)} }间断$
        第一类间断点 $左右极限 \exists ，f(a-0)、f(a+0) \exists$
        $f(a-0)=f(a+0),a-可去间断点$
        $f(a-0) \neq f(a+0),a-跳跃间断点$
        第二类间断点
        f(a-0)、f(a+0)至少一个不存在
- 导数与微分
  - 导数基础
    - 导数的等价定义（二选一即可）
      - $f'(a)= {\displaystyle \lim_{ \triangle x \rightarrow 0}{ \frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x} } }$
      - $f'(a)= {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} } }$
        =拉格朗日
    - 二选一
      - $\triangle x \rightarrow 0^-$
        $\triangle x \rightarrow 0^-$
        $\triangle x \rightarrow 0^+$
      - $x \rightarrow a$
        $x \rightarrow a^-$
        $x \rightarrow a^+$
    - f(x)在x=a可导
      - f(x)在x=a连续
        可导必然连续连续不一定可导
    - f(x)连续，且 $\lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x)-b}{x-a}=A }$
      - f(a)=b
      - f'(a)=A
    - 求导工具
    - 四则求导法
      - $(u \pm v)'=u' \pm v'$
      - ②
        $(uv)'=u'v+uv'$
        $(ku)'=ku'(k为常数)$
        $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$
      - $( \frac{u}{v} )'=( \frac{u'v-uv'}{v^2} )$
    - 链式求导法
  - 题型
    - 反函数求导
      - $y=f(x) \Rightarrow x= φ (y)$
      - 导数定义 $f'(a)= {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} } } f ′ (a)= x→a lim x−a f(x)−f(a) $
    - 显函数求导
      - y=f(x)
        四则求导法
        $(u \pm v)'=u' \pm v'$
        ②
        $(uv)'=u'v+uv'$
        $(ku)'=ku'(k为常数)$
        $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$
        $( \frac{u}{v} )'=( \frac{u'v-uv'}{v^2} )$
    - 隐函数求导
      - $F(x)(y)=0$
        $(y)= \frac{dy}{dx}$
    - 参数方程求导
      - $\begin{Bmatrix} x= φ (t) \\ y= φ (t) \end{Bmatrix}$
        $\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}$
        $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ d(\frac{dy}{dx}) }{dx}$
    - 分段函数求导
    - 高阶导数
      - 归纳法
        $\begin{Bmatrix}(sinx)^n=sin(x+ \frac{n π }{2} ) \\(cosx)^n=cos(x+ \frac{n π }{2} ) \end{Bmatrix}$
      - 公式法
        $(uv)^n=C^0_n u^n+C^1_{n} u^{n-1}v^{1}+...+C^n_{n} uv^{n}$
- 一元函数微分学的应用
  - 中值定理
    - 型一Rolle技巧
      - $f^n ( ξ )=0$
      - n=1即f'( ξ )=0，f(a)=f(b)
      - n=1即f" ( ξ )=0，f(a)=f(b)
        f(a)=f(b) = f(b)=f(c)
        两次Rolle
        $f' ( ξ_1 )=f' ( ξ_2 )$
    - 型二技巧仅有ξ无其余字母
      - 用还原法(必须三个条件都满足)
        仅有ξ
        两项
        $\frac{f'(x)}{f(x)} =[lnf(x)]'$
        导数差一阶
      - 分组法
    - 型三拉格朗日用法
      - 比 $ξ_1 ξ_2$ 的大小
      - 求极限
    - 型四至少两个中值 $仅含f'( ξ ) , f' (η)$
      - $仅含f'( ξ ) , f' (η)$
        找三点 $仅含f'( ξ ) , f' (η)$
        两次拉格朗日
      - $仅含f'( ξ ) , f' (η)$
        ( )'--拉格朗日 $仅含f'( ξ ) , f' (η)$
        $\frac{( \space \space\space)'}{( \space \space \space)'}$ --柯西中值定理
    - 型五含ab以及ξ
      - case1ξab可分
        ①ξ与ab分离
        ②ab入手
        $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ --拉格朗日
        $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ --柯西
      - case2ξab不可分
        强化阶段
  - 单调性与极值
    - 型一极值点判断
    - 型二不等式证明
      - 单调法
    - 型三方程根或函数零点
      - Rolle
      - 零点
      - 单调法
  - 凹凸性与拐点
    - 求出二阶导数，令二阶导数等于0
      - 求二阶导数,x>0凸区间，x<0凹区间
      - 求二阶导数,x>0与x<0之间的值
  - 渐近线
    - 水平渐近线
      - 令函数 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ 有值则为水平渐近线
    - 铅直渐近线
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } f(x)=\infty或 f(a-0)=\infty或f(a+0)=\infty$
    - 斜渐近线
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } \frac{f(x)}{x}=a (a \neq 0,\infty)\Rightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } f(x)-ax{}=b \Rightarrow y=ax+b为斜渐近线$

2021考研高等数学基础（汤家凤数二）

​极限与连续

​极限基础

函数初等特性

​函数y=f(x)

​反函数

​有界性（有界=有上下界

​单调性

​极限

​和单调相似

Notes

​ x→a{x̸=ax→a−、x→a+}x \rightarrow a \begin{Bmatrix} x \neq a \\ x \rightarrow a^-、 x \rightarrow a^+ \end{Bmatrix}x→a{x̸=ax→a−、x→a+​}

​ lim⁡x→af(x)与f(a)无关 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } f(x)与f(a)无关x→alim​f(x)与f(a)无关

​去心领域

​0<|x-a|< δ δ δ

​ lim⁡x→a+f(x)∃⇔f(a−0)、f(a+0)∃且相等{\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x) \exists \Leftrightarrow f(a-0)、f(a+0)} } \exists 且相等x→a+lim​f(x)∃⇔f(a−0)、f(a+0)∃且相等

​ lim⁡x→a−f(x)=A或f(x)=f(a−0){\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^-}{f(x)=A或f(x) = f(a-0)} } x→a−lim​f(x)=A或f(x)=f(a−0)

​ lim⁡x→a+f(x)=A或f(x)=f(a+0){\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x)=A或f(x) = f(a+0)} } x→a+lim​f(x)=A或f(x)=f(a+0)

​ lim⁡x→af(x)=A或f(x)→A(x→a) {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)=A或f(x) \rightarrow A (x\rightarrow a)} } x→alim​f(x)=A或f(x)→A(x→a)

​case3

​无穷小性质

​一般性质

​ α→0,β→0 α \rightarrow 0 , β \rightarrow 0α→0,β→0

​ α±β→0 α \pm β \rightarrow 0α±β→0

​ αβ→0 α β \rightarrow 0αβ→0

​ kα→0(k为常数) kα \rightarrow 0(k为常数)kα→0(k为常数)

​ ∣α∣≤M,β→0⇒αβ→0| α | \leq M, β \rightarrow 0 \Rightarrow α β \rightarrow 0∣α∣≤M,β→0⇒αβ→0

​ limf(x)=A⇔f(x)=A+α,α→0limf(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α , α \rightarrow 0 limf(x)=A⇔f(x)=A+α,α→0

​等价性质

​①

​ α∼α α \sim α α∼α

α∼β⇒β∼α α \sim β \Rightarrow β \sim αα∼β⇒β∼α

​ α∼β，β∼γ⇒α∼γ α \sim β ， β \sim γ \Rightarrow α \sim γ α∼β，β∼γ⇒α∼γ

​②

​ α∼α1，β∼β1且β1α1=A,则limβα=A α \sim α _1 ， β \sim β_1且\frac{ β _1 }{ α_1 } =A,则lim\frac{ β }{ α }=Aα∼α1​，β∼β1​且α1​β1​​=A,则limαβ​=A

等价无穷小

​连续与间断

连续

​ f(x)在x=a连续−Iflim⁡x→af(x)=f(a)（f(a−0)=f(a+0)=f(a)）称f(x)在x=a连续f(x)在x=a连续-If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)=f(a)（f(a-0)=f(a+0)=f(a)）} }称f(x)在x=a连续 f(x)在x=a连续−Ifx→alim​f(x)=f(a)（f(a−0)=f(a+0)=f(a)）称f(x)在x=a连续

​间断

​ Iflim⁡x→af(x)̸=f(a)间断If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x) \neq f(a)} }间断Ifx→alim​f(x)̸=f(a)间断

​第一类间断点 左右极限∃，f(a−0)、f(a+0)∃左右极限 \exists ，f(a-0)、f(a+0) \exists左右极限∃，f(a−0)、f(a+0)∃

​ f(a−0)=f(a+0),a−可去间断点f(a-0)=f(a+0),a-可去间断点f(a−0)=f(a+0),a−可去间断点

​ f(a−0)̸=f(a+0),a−跳跃间断点f(a-0) \neq f(a+0),a-跳跃间断点f(a−0)̸=f(a+0),a−跳跃间断点

​第二类间断点

​f(a-0)、f(a+0)至少一个不存在

​极限题型

​型一n项和求极限

​先求和后极限

​夹逼定理（分子分母有一个不齐）

​找一个比bn大的，找一个比bn小的

​定积分定义（分子分母都齐）

lim⁡n→∞1n∑i=1nf(in)=∫01f(x)dx {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f({ \frac{i}{n}})=∫_0^1f(x)dx} }n→∞lim​n1​i=1∑n​f(ni​)=∫01​f(x)dx

​型二 lim⁡n→∞an∃证明 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{an} } ∃证明n→∞lim​an∃证明 技巧

​If∃M>0,使|an| \leq M \left\{ an \right\} --有界 Ifan \geq M_1--有下界Ifan \geq M_2--有上界

​​单调、有界，即∃前提

​型三不定型求极限

​Notes

​①

​ u(x)v(x)⇒ev(x)lnu(x)u(x)^{v(x)} \Rightarrow e^{v(x)lnu(x)}u(x)v(x)⇒ev(x)lnu(x)

​ ln( )⇒ln(1+△)∼△(△→0)ln(\space\space\space\space\space) \Rightarrow ln(1+ \triangle ) \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0)ln( )⇒ln(1+△)∼△(△→0)

​ ( )⇒{e△−1∼△(△→0)(1+△)a−1∼a(△→0)}(\space\space\space) \Rightarrow \begin{Bmatrix} e^ \triangle -1 \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0) \\ (1+ \triangle )^a-1 \sim a( \triangle \rightarrow 0) \end{Bmatrix}( )-1⇒{e△−1∼△(△→0)(1+△)a−1∼a(△→0)​}

​②

x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两种之差为三界无穷小x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两种之差为三界无穷小x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两种之差为三界无穷小

③

​等价无穷小的精确度问题

乘法任意使用等价无穷小

​加减法精度够使用不够不使用

00\frac{0}{0}00​

​等价无穷小

​洛必达法则

​求导

​麦克劳林工

​ 1∞1^\infty1∞

​ 凑(1+△)1△凑(1+ \triangle )^ \frac{1}{ \triangle } 凑(1+△)△1​

​恒等变型

​ uv=evlnuu^v=e^{vlnu}uv=evlnu

​ ∞∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞​

​ lim⁡x→∞bnxn......+b0anxn......+a0 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{ \frac{b_nx^n......+b_0}{a_nx^n......+a_0} } } x→∞lim​an​xn......+a0​bn​xn......+b0​​

​=0,n<m

极限与连续

极限基础

函数y=f(x)

反函数

有界性（有界=有上下界

单调性

极限

和单调相似

$x \rightarrow a \begin{Bmatrix} x \neq a \\ x \rightarrow a^-、 x \rightarrow a^+ \end{Bmatrix}$

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} } f(x)与f(a)无关$

去心领域

0<|x-a|< $δ$

${\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x) \exists \Leftrightarrow f(a-0)、f(a+0)} } \exists 且相等$

$\lim_{x \rightarrow a^-}{f(x)=A或f(x) = f(a-0)}$

$\lim_{x \rightarrow a^+}{f(x)=A或f(x) = f(a+0)}$

$\lim_{x \rightarrow a}{f(x)=A或f(x) \rightarrow A (x\rightarrow a)}$

case3

无穷小性质

一般性质

$α \rightarrow 0 , β \rightarrow 0$

$α \pm β \rightarrow 0$

$α β \rightarrow 0$

$kα \rightarrow 0(k为常数)$

$| α | \leq M, β \rightarrow 0 \Rightarrow α β \rightarrow 0$

$limf(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+ α , α \rightarrow 0$

等价性质

①

$α \sim α$

$α \sim β \Rightarrow β \sim α$

$α \sim β ， β \sim γ \Rightarrow α \sim γ$

②

$α \sim α _1 ， β \sim β_1且\frac{ β _1 }{ α_1 } =A,则lim\frac{ β }{ α }=A$

连续与间断

$f(x)在x=a连续-If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x)=f(a)（f(a-0)=f(a+0)=f(a)）} }称f(x)在x=a连续$

间断

$If {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{f(x) \neq f(a)} }间断$

第一类间断点 $左右极限 \exists ，f(a-0)、f(a+0) \exists$

$f(a-0)=f(a+0),a-可去间断点$

$f(a-0) \neq f(a+0),a-跳跃间断点$

第二类间断点

f(a-0)、f(a+0)至少一个不存在

极限题型

型一n项和求极限

先求和后极限

夹逼定理（分子分母有一个不齐）

找一个比bn大的，找一个比bn小的

定积分定义（分子分母都齐）

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f({ \frac{i}{n}})=∫_0^1f(x)dx}$

型二 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{an} } ∃证明$ 技巧

If∃M>0,使|an| \leq M \left\{ an \right\} --有界
Ifan \geq M_1--有下界
Ifan \geq M_2--有上界

单调、有界，即∃前提

型三不定型求极限

Notes

①

$u(x)^{v(x)} \Rightarrow e^{v(x)lnu(x)}$

$ln(\space\space\space\space\space) \Rightarrow ln(1+ \triangle ) \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0)$

$(\space\space\space) \Rightarrow \begin{Bmatrix} e^ \triangle -1 \sim \triangle ( \triangle \rightarrow 0) \\ (1+ \triangle )^a-1 \sim a( \triangle \rightarrow 0) \end{Bmatrix}$

②

$x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx任意两种之差为三界无穷小$

等价无穷小的精确度问题

加减法精度够使用不够不使用

$\frac{0}{0}$

等价无穷小

洛必达法则

求导

麦克劳林工

$1^\infty$

$凑(1+ \triangle )^ \frac{1}{ \triangle }$

恒等变型

$u^v=e^{vlnu}$

$\frac{\infty}{\infty}$

$\lim_{x \rightarrow \infty}{ \frac{b_nx^n......+b_0}{a_nx^n......+a_0} }$

=0,n<m

= $\frac{b_m}{a_m}$ ,n=m

$\infty,n>m$

$\ \frac{0}{0}$

洛必达法则

$0\infty$

$\frac{0}{0}$

$\frac{\infty}{\infty}$