高等数学——函数与极限

• ​映射与函数

  • ​映射

    • ​定义：设设 X、Y 是两个非空集合 ，如果存在一个法则 f，使得对 X 中每个元素x，按法则 f，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应 ，那么称f 为从 X 到 Y 的映射， 记作  f:X→Y                                                                      其中 y 称为元素x（ 在映射f 下）的像，井记作 f( x ) ，  即y=f(x),

    • ​逆映射与复合映射

      • 设f是X到Y的单射，则由定义，对每个 $y \in R$ ，有唯一的 $x \in X$ ，适合f(x) = y. 于是 ，我们可定义一个从  $R$ 到 X 的新映射 g 

  • ​函数

    • ​函数的概念 定义：设数集 $D \subset R$ ，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作 $D \subset R$

    • ​函数的性质

      • ​函数的有界性

      • ​函数的单调性

      • ​函数的奇偶性

      • ​函数的周期性

    • ​反函数与复合函数

      • ​作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念：设函数f：D→f（D）是单射，则他存在逆映射 $f^{-1}$ :f(D)→D，称此映射 $f^{-1}$ 为函数f的反函数

    • ​函数的运算

    • ​初等函数

      • ​幂函数

        • ​ $y= x^{u}$ 

      • ​指数函数

        • ​ $y= a^{x}$ ( $a>0且a \neq 1$ )

      • ​对数函数

        • ​ $y=log a^{x}$ ( $a>0且a \neq 1,特别当a=e时，记为y=ln x$ ）

      • ​三角函数

        • ​ $y=sinx,y=cosx,y=tanx$ 

      • ​反三角函数

        • ​ $y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx$ 

• ​极限存在准则

  • ​准则1 如果数列{ $x_n$ },{ $y_n$ }以及 ${Z_n}$ 满足下列条件，那么数列{  ${X_n}$ }的极限存在，且 ${\displaystyle \lim_{n\rightarrow ∞}{x_n} } =a$ 

  • ​准则2 单调有界数列必有极限

• ​数列的极限

  • 数列极限的定义

    • ​极限概念是在探求某些实际问题的精准解答过程中产生的

    • ​收敛数列的性质

      • ​极限的唯一性

        • ​如果数列收敛，那么他的极限唯一

      • ​收敛数列的有界性

        • ​如果数列收敛，那么数列一定有界

      • ​收敛数列的保号性

        • ​如果 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow +∞}{x_n} } =a$ ，且 $a>0(或a<0),那么存在正整数N，当n>N时，都有x_n>0(或x_n<0)$ 

      • ​收敛数列与其子数列间的关系

        • ​如果数列收敛于a，那么他的任一子数列也收敛，其极限也是a

• ​无穷小的比较

  • ​ ${\displaystyle \lim_{}{ \frac{ β }{ α } } } =0$ ，那么就说 $β$  是比 $α$ 高阶的无穷小

  • ​ ${\displaystyle \lim_{}{ \frac{ β }{ α } } } =0$ ，那么就说 $β$  是比 $α$ 低阶的无穷小

• ​函数的连续性与间断点

  • ​函数的连续性

    • ​自然界中各种现象在函数关系上的反映

  • ​函数的间断点

    • ​振荡间断点

    • ​无穷间断点

    • ​可去间断点

    • ​跳跃间断点

• ​连续函数的运算与初等函数的连续性

  • ​连续函数的和，差，积，商的连续性

  • ​反函数与复合函数的连续性

  • ​初等函数的连续性

    • ​基本初等函数他们的定义域内都是连续的

• ​闭区间上连续函数的性质

  • ​有界性与最大值最小值定理

    • ​在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值

    • ​零点定理与介值定理

      • ​零点定理 设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间（a,b）内至少有一点m，使得f（m）=0

      • ​介值定理 设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点m，使得f（m）=C（a<m<b）

• ​函数的极限

  • ​函数极限的定义

    • ​在自变量的某个变化过程中，如果相应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限

  • ​函数极限的性质

    • ​函数极限的唯一性

      • ​如果 ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }$ 存在，那么这极限唯一

    • ​函数极限的局部有限性

      • ​如果 ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} } =A$ ，那么存在常数M>0和a>0,使得当0< $|x-x_0|$ <a时，有|f(x)| $\leq$  M

    • ​函数极限的局部保号性

    • ​函数极限与数列极限的关系

• ​无穷大与无穷小

  • ​无穷小定义

    • ​如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为0，那么称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时候的无穷小

  • ​无穷大定义

    • ​如果当x→x0（或x→∞）时，对应的函数值的绝对值|f（x）|可以大于预先指定的任何很大的正数M，那么就称函数f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷大

• ​极限运算法则

  • ​两个无穷小的和是无穷小

  • ​有界函数与无穷小的乘积是无穷小

  • ​常数与无穷小的乘积是无穷小

  • ​有限个无穷小的乘积是无穷小