同态
正规子群
商群
群同态基本定理

• ​同态 $\sigma$ $\sigma:G\rightarrow G'$ 
   $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$  

  $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$\]

  • 性质

    • ​ $\sigma(e)=e'$ 

    • ​ $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$ 

  •          ​ $\text{Ker}\sigma$ 
     $\{a\in G:\sigma(a)=e'\}$ 
    

    • ​性质

      • ​ $\text{单射}\iff \text{Ker }\sigma=\{e\}$ （同态性质）

      •  $是\ G\ 的子群$ 

        • 引入正规子群
           核一定是 $G$ 的正规子群
          $(根据\ \text{Ker }\sigma\ 的定义)$
          

          • ​     正规子群 
            $aHa^{-1} = H$
            

            • ​判定方法

              • ​共轭子群
                 $aHa^{-1}$ 

                • ​ $由\ H\ 确定的所有的$ 所有 共轭子群都是  $H$ （定义）
                  

                • ​子群的共轭子群还是子群，通过子群生成子群

            • 群到商群的​自然同态
               $\pi:a\mapsto aH$ 
              

              • ​商群
                 $G/H$ 
                

                • 性质

                  •  $\text{Ker }\pi是G'的正规子群$ 

                  • ​子群对应定理
                    （ $G$ 的子群和商群的子群一一对应）

                    •  $\begin{aligned} \{H<G:N\subset H\}&\cong\{K:K<G/N\}\\ \{H\triangleleft G:N\subset H\}&\cong\{K:K\triangleleft G/N\}\\ 对应关系为\ \sigma&:H\mapsto HN \end{aligned}$ 

                      • ​证明：①  $\sigma 能满足集合的条件$ 
                        ② 满射（构造  $H=\{h:hN\in K\}$ ）
                        ③ 单射，验证即可。

                • 配上同态  $\sigma$ 

                  • ​群同态基本定理
                    （核与像的关系）

                    • ​ $G/\text{Ker}\sigma\cong\text{Im}\sigma$ 

                      • ​证明：构造群同构映射  $\psi:a\text{Ker }\sigma\mapsto\sigma(a)$ 
                        ① 映射，单射：
                         $a\text{Ker }\sigma = b\text{Ker }\sigma\iff a^{-1}b\in\text{Ker }\sigma\iff \sigma(a^{-1}b)=e'\iff \sigma(a)^{-1}\sigma(b)=e'\iff \sigma(a)=\sigma(b)$ 
                        ② 满射，通过定义即可得到。
                        ③ 保运算，验证即可。

                      • ​通过构造不同的满同态，
                        可以得出两个重要定理

                        • ​群同构第一定理

                          •  $H<G, N\triangleleft G\\\text{则 }H/H\cap N\cong HN/N$ 

                            • ​证明：构造满同态  $\begin{aligned} \sigma:H&\rightarrow HN/N\\ h&\mapsto hN \end{aligned}$  
                              ① 由于  $HN=NH$ 知  $HN < G$ 
                              ② 可以将 $\sigma$ 视为 $G\rightarrow G/N$ 在  $H$  上的限制，所以 $\sigma$ 是满同态（也可以直接验证）
                              ③ $\text{Ker }\sigma=\{h\in H:hN=N\}=\{h\in H:h\in N\}=H\cap N$ 
                              由群同态基本定理得证。

                        • ​群同构第二定理

                          •  $H\triangleleft G, N\triangleleft G\\\text{则 }(G/N)/(H/N)\cong G/H$ 

                            • ​证明：构造满同态 $\begin{aligned} \sigma:G/N&\rightarrow G/H\\ gN&\mapsto gH \end{aligned}$  
                              ① 满射，由定义可知。
                              ② 保运算，利用 $H 和N都是正规矩阵$ 
                              ③  $\text{Ker }\sigma=\{gN:gN=H\}=\{gN:g\in H\}=H/N$ 
                              由群同态基本定理得证。

  • ​ $\text{Im }\sigma$  
    $\{\sigma(a):a\in G\}$ 

    • ​性质

      •  $是\ G'\ 的子群$ 

      •  $a\in G, \ |\sigma(a)|\bigg||a|$ 

• ​所有带括号的内容都是证明方法的提示
  加粗部分作为强调
  红色表示定义，蓝色表示强调，黄色表示重要定理