线性代数

• ​行列式        数
  

  • ​计算方法

    • 数字型
      

      • ​主对角线+副对角线（2,3阶适用）

      • （零多就用）按行（列）展开公式  (先恒等变形——性质)
        

        • 数*代数余子

        • ​i $\ne$ j    ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn=0
          

          • ​p4题型，证明不同行的数*不同行的代数余子=0
            

        • ​A^*  代数余子式的转置
          

        • ​AA^* = A^*A = A|E|
          

        • ​常考题型算某一行的代数余  p2     （1）构造新行列式，实际计算|A|  
          

      • ​公式

        • 下上三角行列式    主对角线乘积之和
          

        • ​副对角行列式        n为奇数加负号
          

        •  两个特殊的拉普拉斯展开式

          • ​主对角线，直接相乘
            

          • ​副对角线，（-1）^nm
            

        • 范德蒙行列式     后一项减前一项
          

        • 技巧

          • ​各行（列）均加到第一行（列）

          • ​逐行相加

          • ​爪型，化为上（下）三角行列式
            

          • 升阶 加边
            

          • ​三条对角线

            • ​逐行乘倍数相加，消出三角

            • ​n个
              

              • ​归纳法

                • ​验证n=1,命题正确；设n<k，命题正确；证 n=k   ，命题正确存在命题f(n)正确  p13
                  

              • ​递推法

    • ​抽象型

      • ​行列式性质恒等变形

      • ​矩阵公式  法则恒等变形   E恒等变形
        

      • ​特征值
        

        •  $λ$|A|=λ1λ2λ 3

          • ​ a11+a2$λ λ λ$ 3

        • ​隐含的告诉A的特征值，求A+E的

          |λE-A|=0  p17
          

      • 相似
        

      • 考取一般题型   p15 
        

        • ​|A+B|

          • |A+2B|   代入已知条件，也就是法则恒等变形
            

          • |A^-1B^* + B^-1A^*|

            • 矩阵公式置换
              

          • |A+B^-1|   利用E恒等变形
            

          • ​已知|A|， 求|B|
            

            • ​B矩阵写成两个矩阵相乘

            • ​B写成倍加的最后化成有关  A

            • ​B拆成两个矩阵

  • ​逆序——逆序数
    

  • ​性质
    

    • 转置，值不变
      

    • ​某行（列）公因式提到外面

      • ​某行全为0，值为0

    • 互换行（列），变号
      

      • ​两行相等，值为0；两行成比例，值为0

    • ​某行（列）K倍加另一行，值不变

    • ​某行所有元素都是两个数的和，可以写成两个行列式之和

  • 应用
    

    • ​特征多项式

      • ​数

      • ​参数

    • ​克拉默法则  n个方程n个未知数（多用于证明）
      

      • X1=D1/D 一般用于证明
        

      • ​ax.......=b，若系数行列式不等于0，则方程组有唯一解

      • ​ax.......=0，若系数行列式不等于0，则方程组只有零解

      • ​​ax.......=0，若系数行列式等于0，则方程组有非零解

    • ​证|A|=0?

      • 构造齐次方程组Ax = 0有非零解

      • ​反证法

        • 如​用A^-1 找矛盾

      • 用秩  ​r(A) < n
        

      • 特征值
        

        • |A|= $π$$\lambda$i  0是特征值
          

      • ​|A| = - |A|

    • ​衍生秩的概念

      • ​考题   证明秩为多少？
        

        • ​找出已知条件 抓行列式（1）r(A) < ? (2) r(A) >= ?

        • 相关无关
          

        • ​解方程组

      • ​​r(A) = 0     A = 0  A $\ne$ 0       r(A) >=1
        

      • ​r(A) = n     |A| $\ne$ 0     A可逆r(A) < n     |A| = 0      A不可逆
        

      • 如果A可逆    r(AB) = r(B) , r(BA)= r(B)
        

        • ​A—mn，B—ns    r(AB) <= min （r(A),r(B)）
          

        • ​r(A)+r(B) <= n
          

      • 如果A列满秩   r(AB) = r(B)
        

      • ​r(A)性质
        

        • ​r(A) = r(AT) = r(AAT) = r(ATA)

        • ​当k不等于0，r(kA) = r(A)
          

        • ​r(A+B) $\leq$  r(A) + r(B)
          

        • Am*n,Bn*s ​则 r(AB)  $\leq$  min{ r(A)，r(B) }
          

        • Am*n,Bn*s  则 ​AB= 0 ,r(A)+r(B)  $\leq$

        • 若A可逆，则r(AB) = r(B)，r(BA) = r(B)

        • ​P,Q可逆，则 r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ）
          

        • ​r A O    OB
          

          • = ​r(A)=r(B)

• ​行列式 行数 = 列数  |A|
  

• • ​矩阵 行数  $\neq$  列数 A
    

  • 向量是矩阵的特殊类型

    行矩阵（行向量）        列矩阵（列向量）

    n阶方阵

    n维向量  |A|=模
    

• 矩阵    表格
  

  • ​概念

    • 矩阵所有元素都为0，为零矩阵​

  • ​运算

    • ​乘法 内标同可相乘n

      • ​AB $\ne$  BA
        

      • ​有AB=0 
        

        • ​推不出 A=0或者B=0

          • ​AB=AC 且A不为零，推不出B=C
            

        • ​B的列向量是AB=0解

    •  $α β$ 矩阵运算
      

      • ​ 列*行    阵
        

        • 两个​关系  转置
          

        • ​阵的任意两行成比例，故秩为1

      • ​ 阵的对角线相加是数

      • 行*列   数

        • ​两个​关系 相等

    • ​分块矩阵

      • ​考试题型

        • ​求A^n，A^-1
          

      • 5个公式

    • ​常考填空题型

      • ​求A^n

        • 若r(A) =1
          

          • A^n=L^n-1A   (L = aii)
            

        • 若r(A)不为1

          • 0 a b 0 0 c 0 0 0
            

            • ​A^2
              

              • 0 0 ac 0 0 0 0 0 0

            • ​A^3

              • 0

          • ​0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 6 0 0 0 0
            

            • ​A^2

            • ​​A^3

              • ​​0  0  0 24 0  0  0  0    0  0  0  0   0  0  0  0
                

            • ​​A^4

              • ​0

          • 步骤
            

            • ​A^n = (E+B)^n
              

              • 改写A矩阵  A=E+B​

            • 展开式 p39
              

        • 相似 有AB
          

          • ​P^-1AP = B        P^-1A^2P = B    A^n = PB^nP^-1
            

        • ​分块

  • ​n阶矩阵伴随矩阵代数余子式

    • ​求法

      • ​直接发：用定义 不要丢了+-号
        

      • ​间接法：A* =  |A|A^-1 前提A是可逆且易求出
        

    • ​恒等变形

      • ​AA^* = A^*A = |A|E
        

      • ​如A可逆，

      • A-n阶，r(A*)= n   r(A)=n                                  1   r(A)=n-1                              0   r(A)<n-1       
        

  • ​主要公式

    • ​转置

      • ​（AT）T= A
        

      • ​（A+B）T = AT+BT
        

      • ​(AB)T = BTAT
        

      • （kA）T=kAT

    • ​伴随

      • （​A*）* = |A|^n-2A
        

      • ​(kA)* = k^n-1A*

      • ​(A*)^-1 = (A^-1)* = 1/|A|A
        

      • ​(A*)T = (AT)*
        

      • ​|A*| = |A|^n-1
        

      • ​A* = |A|A^-1
        

    • ​可逆

      • ​（A^-1）^-1 = A
        

      • ​​(kA)^-1 = 1/kA^-1

      • ​(AB)^-1 = B^-1A^-1

      • ​(A^n)^-1 = (A^-1)^n
        

      • ​(AT)^-1 = (A^-1)T

      • ​|A^-1| = 1/|A|
        

      • ​A^-1= 1/|A|A*
        

  • ​n阶矩阵可逆矩阵

    • ​定义

      • AB=BA=E

    • 定理
      

      • ​AB = 1  $q \Rightarrow \Leftrightarrow$  A = B  $\wedge$-1  $$$\wedge$  $\wedge$ =A∧−1B=A \

      • A可逆   $\Leftrightarrow$                      

      • ​AB=E，则BA=E
        

    • ​求逆

      • ​定义法
        

        • ​ AB=E

          • ​构造出让求的，拼出来

      • ​伴随法

        • ​​A∧-1 = 1/|A| A*

      • ​初等行变换

        • ​A|E

          • 相似，矩阵方程会用到
            

      • ​单位矩阵E恒等变形

        • ​添两个单位矩阵，必须一前一后

    • ​证可逆

  • 初等
    

    • 初等​变换

      • ​矩阵经过一次行（列）初等变换

        • ​倍乘

        • ​互换

        • 倍加
          

    • ​初等矩阵

      • 单位矩阵经过一次初等变换

      • ​初等矩阵PA

        • ​所得结果就是A作了与P同样的行初等变换

      • ​初等矩阵AP

        • ​所得结果就是A作了与P同样的列初等变换
          

      • ​初等矩阵均是可逆的，且其逆是同类型的初等矩阵

        • 初等逆矩阵 = 某行K倍，改为K的相反数
          

        • 初等逆矩阵 = 互换两行，逆矩阵不变
          

        • ​初等逆矩阵 = 某行乘K，逆矩阵为K的倒数
          

      • ​考题题型p48

        • ​给下标

        • ​描写

    • ​等价

  • ​n阶正交矩阵

    • ​定义

      • ​AA^T = A^TA = E
        

    • ​定理

      • ​A^T = A^-1
        

      • ​|A| = 1 或者 -1
        

      • ​​|A|^2 = 1

    • ​考题型

      • ​|A| +|B| = 0 求证|A+B|= 0        前后加E
        

  • ​方阵的行列式（矩阵n*n，可以有行列式）性质

    • ​转置相等

    • ​|kA​| = k^n​|A​|

    • ​​|AB​| = ​|A​| ​|B​|

    • ​​|A*​| = ​|A​|^n-1

    • ​​|A​^-1​|=​|A​|^-1

      • ​AA^-1=E

    • |A|= $π$ $λ$ i
      

    • ​A，B相似，​​|A​| = ​|B​|

  • ​矩阵秩

    • r(A) = n   $q \Leftright$k=0

    • ​r(A) < n  $\Leftrightarrow$  ⇔  r(A*）=1/0    线性相关k至少有一个不为0  r(A) = n-1 / r（A）< n-1 
      

    • ​矩阵的秩

      • ​行列式

      • 相关无关

      • ​方程组的解

• ​不要与矩阵运算想混  |kA|=k^n|A|       kA=[k aij]
  

  • |A+B|$\ne$ ​|A|+|B考察E的变形
    

  • ​A+B = [aij+bij]
    

• • ​反证法：一个条件，一个结论适用

• ​n维向量

  • ​齐次线性方程组

    • 零解                       
      

      •  $\alpha$ 1...n线性无关    +b非齐

         $α$

        • ​b不可由 $α α α$ ...线性表示

        • ​全组无关，部分组无关

        • 添加维数，提高无关性

        • ​​ α ， β线性无关，不成比例

        • ​ $α$ ...为n个n维向量，则 $α$ 线性无关
          

          • 行列式|...| $α$$̸=$ 0 无关
            

          • ​行列式|...|=0相关

        • ​ $α$ 秩 = n  (向量的秩，与矩阵的秩不同)

        •  $\stackrel{}{}$ $\overline{A}$ = $α$1...n,b  $\Rightarrow$ $\overline{A}$组秩=A+1，b不可线性表示  $\overline{}$ 

        • ​ $α$非零且两两正交(=0)，则线性无关

      • r(A) = n     |A| $\neq$ 0    r(A*) = n  可逆   满秩   非齐 ​
        

    • ​秩=行秩=列秩

    • ​除零解外无数非零解

      • ​r(A) < n    |A| = 0   r(A*)=1/0   降秩   转置   齐 
        

      • ​ $α$ 1..n.线性相关   +b非齐
        

        • b可由 $α$
          

        • ​部分相关，全组相关

        • ​添加个数，提高相关性

        • ​ $α$ ， β线性相关，成比例

        • ​ $α$  ...为n个m维向量(m<n)，则 $α$  线性相关

        • ​ $α$ 秩 < n
          

        • ​A= $α$ 1...n  $\Rightarrow$ A组的秩= $\overline{A}$ ,b可由线性表示
          

        • ​至少存在一个向量可由其余向量线性表示

          • 含零向量向量组线性相关
            

  • ​非齐次线性方程组

    • ​有解

      • b可由 $α$ ...表示
        

        • ​r(A) = $\overline{A}$
          

    • 无解
      

      • ​b不可由 $α$ 表示

        • ​r(A) $\ne$ r( $\overline{A}$ ）$\overline{}$

  • ​向量组等价

    • ​A组可由B组线性表示，B组可由A组线性表示

    • ​则A组秩 $\leq$  B组秩

    • ​A组可由B组线性表示，​则A组秩  $\leq$
      

  • ​极大线性无关组

    • ​r个向量线性无关，r+1个向量线性相关，r为秩（不唯一）

    • ​与向量组等价，互相表示

• ​向量

  • ​概念

    • 行向量
      

    • 列向量
      

    • ​零向量

  • ​运算

    • ​各个相加

    • ​K倍各个乘

    • 内积
      

      • ​α^Tβ = αβ^T = 相乘之和

      • ​（α，β ）=0，则正交

      • ​（α，α）= α^Tα = a^2+……+a^2根号后，为α的长度                      根号的倒数*转置， 称为单位化

  • 线性表示

  • ​相关 无关
    

  • ​秩

• ​线性方程组

  • ​AX=0

    • 基础解系
      

    • ​n-r(A)

  • ​AX=b

    • 有解判定
      

    • ​解的结构

  • 方程组应用
    

• 特征值与特征向量

  ​
  

  • ​特征值，特征向量(1)A$\alpha =\lambda$ α              |λE-A|=0                    (λiE-A)x=0

  • ​相似矩阵

    • A $\sim$B；P可逆，PAP=B A ∼Λ

  • ​实对称矩阵

• ​二次型

  • ​基本概念

    • ​二次型      x^TAx
      

      • ​二次型的矩阵 A为对称矩阵
        

        • ​二次型的秩  r（f）
          

    • ​标准形

      • ​规范形

      • ​正惯性指数  p
        

      • ​负惯性指数  q
        

      • ​坐标变换  x=Cy
        

    • 合同变换  C^TAC=B
      

  • 标准性
    

    • ​配方法

    • ​正交变换法

  • ​正定二次型