理论力学

• ​静力学

  • ​受力分析

  • ​平面力系

    • ​力矩： $M_{0}=Fh$ ,;力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。

    • ​力的平移定理：可以把作用在刚体A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。

  • ​空间力系

    • ​力矩矢

      • ​ $M_{0}（F）=r× F= \begin{vmatrix} i & j&k \\ x & y&z\\F_{x}&F_{y} &F_{z} \end{vmatrix}$ 

    • 重心

      • ​ $x_{C}= \dfrac{{\displaystyle \sum{P_{i}x_{i} } } }{{\displaystyle \sum{P_{i}} } }$   $y_{C}= \dfrac{{\displaystyle \sum{P_{i}y_{i} } } }{{\displaystyle \sum{P_{i}} } }$   $z_{C}= \dfrac{{\displaystyle \sum{P_{i}z_{i} } } }{{\displaystyle \sum{P_{i}} } }$ 

  • ​摩擦

• ​运动学

  • ​点的运动学

    • ​点的切向加速度和法相加速度，全加速度 $a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2} }$ 

      • ​切向加速度：反映点的速度值对时间的变化率； $a_{n}=\dfrac{dv}{dt}τ$ ;它的方向沿轨迹切线。

      • ​法向加速度：反映点的速度方向改变的快慢程度； $a_{t}=\dfrac{dτ }{dt}v$ =

         $\dfrac{v^{2} }{ρ }$ ;它的方向沿着主法线，指向曲率中心。

    • ​点的速度和加速度在柱坐标和极坐标中的投影

    • ​点的速度和加速度在球坐标中的投影

  • ​刚体的简单运动

    • ​刚体的平行位移

    • ​刚体绕定轴的转动

      • 角速度 $ω$ 和转速 $n$ 的关系： $ω =\dfrac{2π n}{60}=\dfrac{π n}{30}$ 

    • 转动刚体内各点的速度和加速度

      • ​速度： $v=Rω$ 

      •  $a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2} } =\sqrt{R^{2}α ^{2}+R^{2}ω ^{4} }=R\sqrt{α ^{2}+ω ^{4}}$ 

    • ​轮系的传动比

      • ​ $i_{12}= \dfrac{w_{1} }{w_{2} }=\dfrac{R_{2} }{R_{1} }=\dfrac{z_{2} }{z_{1} }$ 

  • ​点的合成运动

    • ​（1）动点相对于定参考系（如地球）的运动，称为绝对运动；（2)动点相对于动参考系（地球上的一点）的运动，称为相对运动；（3）动参考系相对于定参考系的运动，成为牵连运动。

      • ​点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度和相对速度的矢量和。（ $v_{a}=v_{e}+v_{r}$ )

      • ​加速度

        • ​当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。（ $a_{a} =a_{e}+a_{r}+a_{C}$ )

        • ​当动系作平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。( $a_{a} =a_{e}+a_{r}=a_{e}^{t}+a_{e}^{n}+a_{r}$ )
          

  • 刚体的平面运动

• ​动力学

  • ​质点动力学的基本方程

  • ​动量定理

    • ​质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为 $mv$ 

    • 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，记为 $I=Ft$ 

    • ​质点的动量定理： $mv_{2}-mv_{1}=\int_t ^{t_{2} }Fdt =I$ 

  • 动量矩定理

    • ​质点 $Q$ 的动量对于点 $O$ 的矩，定义为质点对于点 $O$ 的动量矩（ $M_{o}(mv)=r× mv$ )

      • ​质点的动量矩定理：质点对某定点 $O$ 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。（ $\dfrac{dM_{O}(mv) }{dt}=M_{O}(F)$ )

    • ​质点系中的动量矩 $L_{z}=J_{z}w$ , ${\displaystyle \sum{m_{i} r_{i}^{2} } }=J_{z}$ 称为刚体对于z轴的转动惯量。

      • ​质点系动量矩定理：质点系对于某定点 $O$ 的动量矩对时间的导数，等于作用与质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点 $O$ 的主矩）（ $\dfrac{dL_{x} }{dt}={\displaystyle \sum{M_{O}(F_{i}^{e} ) } }$ )

  • 动能定理

    • ​ 力的功

      • ​重力的功： ${\displaystyle \sum{W_{12} } }=mg(z_{C1} -z_{C2})$ 

      • ​弹性力的功： $W_{12}=\dfrac{k}{2}(δ _{1}^{2}- δ _{2}^{2})$ 

      • ​定轴转动刚体上作用力的功： $W_{12}=\int_{ϕ _{1}}^{ϕ _{2}} M_{z}dϕ$ 

      • ​任意运动刚体上力系的功：（刚体质心 $C$ 由 $C_1$ 移到 $C_2$ , $C_2$同时刚体又由 

    • ​质点系的动能

      • ​平移刚体的动能： $T=\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}$ 

      • ​定轴转动刚体的动能： $T=\dfrac{1}{2}J_{z}w^{2}$ 

      • ​平面运动刚体的动能： $T=\dfrac{1}{2}mv_{c}^{2}+ \dfrac{1}{2}J_{z}w^{2}$ 

    • ​在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用与质点的力作的功。

    • ​单位i时间内力所作的功 $P=\dfrac{δ W}{dt}=Fv=M_{z}w$ 

    • ​达朗贝尔原理

      • ​质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝尔原理（ $ma=F_{i}+F_{N} \Rightarrow F_i+F_N+F_{li}=0$ )

    • ​虚位移原理

      • ​虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作为用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。 ${\displaystyle \sum{（F_{ix}δ x_i+F_{iy}δ y_i+F_{iz}δ z_i)} } =0$