曲线积分与曲面积分

• ​对弧长的曲线积分

  • ​引例

    • ​ $xoy$ 平面内一条光滑曲线 $L:f(x,y)=0$  $,$ 忽略其体积，线密度为 $μ (x,y)$ 的质量问题

    • 采用以直代曲，以常代变的思想，​分割，近似，求和，取极限得 $M={\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ μ ( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle s_{i} } }$ 

  • ​定义

    • ​设 $L$ 为 $xoy$ 平面内一条光滑曲线，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界，分割，近似，求和，取极限，如果 ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ f ( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle s_{i} } }$ 存在，则称其为 $f(x,y)$ 在 $L$ 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分），记作 $\int_{L}^{} f(x,y)ds$ ，其中 $f(x,y)$ 叫做被积函数， $L$ 叫做积分弧段

      • 注意点
        $\int_{$

        • ​ $\int_{L}^{} f(x,y)ds=M$ (曲线的质量)，和 $f(x,y)，L$ 有关，和 $L$ 的分法， $( ξ _{i} , η _{i} )$ 的选取无关

        • ​推广： $\int_{L}^{} f(x,y,z)ds= {\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{f( ξ _{i}, η _{i}, δ _{i} )} } \triangle s_{i} } }$

        • ​元素法：  $dM=f(x,y,z)ds$  , $M= \int_{L}^{} dm= \int_{L}^{} f(x,y,z)ds$ 

  • ​性质

    • ​被积函数的可加性

      • ​ $\int_{L}^{} ( α f(x,y) + βg(x,y) )ds= α \int_{L}^{} f(x,y)ds + β \int_{L}^{} g(x,y)ds$ 

    • ​积分弧段的可加性

      • ​ $L= L_{1} + L_{2}$ ,则有 $\int_{L}^{} f(x,y) ds= \int_{ L_{1} }^{} f(x,y)ds + \int_{ L_{2} }^{} f(x,y)ds$

    • ​在 $L$ 上， $f(x,y) \leq g(x,y)$ ,则有 $\int_{L}^{} f(x,y)ds \leq \int_{L}^{} g(x,y)ds$ ,特别的， $\left| \int_{L}^{} f(x,y)ds \right| \leq \int_{L}^{} \left| g(x,y)\right| ds$ 

    • ​对称性

      • ​ $L \equiv L_{1} + L_{2}$ ，其中 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 关于 $x$ 轴对称 $f(x,y)$$\int_{L}^{} f(x,y)d$

        • ​ $L \equiv L_{1} + L$ $f(x,y)$ 是关于 $y$ 的奇函数，则 $\int_{L}^{} f(x,y)ds=0$ 

        • ​ $L \equiv L_{1} + L$ $f(x,y)$ 是关于 $y$ 的偶函数，则 $\int_{L}^{} f(x,y)ds=0$ $2\int_{ L_{1} }^{} f(x,y)ds$  

      • ​ $L \equiv L_{1} + L_{2}$ ，其中 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ 关于 $x$ $y$ 轴对称 $f(x,y)$$\int_{L}^{} f(x,y)d$

        • ​ $L \equiv L_{1} + L$ $f(x,y)$ 是关于 $y$ $x$的奇函数，则 $\int_{L}^{} f(x,y)ds=0$ 

        • ​ $L \equiv L_{1} + L$ $f(x,y)$ 是关于 $y$ $x$ 的偶函数，则 $\int_{L}^{} f(x,y)ds=0$ $2\int_{ L_{1} }^{} f(x,y)ds$  

  • ​计算

    • ​ $L$ ： $\begin{cases} x= x_{(t)} \\ y= y_{(t)} &\end{cases}$  $α \leq t \leq β$ 

      • ​ $\int_{L}^{}f(x,y) ds= \int_{ α }^{ β } f( x(t),y(t) ) \sqrt{ x(t)'^{2} + y(t)'^{2} } dt$ 

        • 注意点

          • 上限大，下限小， $α < β$ 

          • ​ $f(x,y)$ 定义在 $L$ 上， $f(x,y) \rightarrow f(x(t),y(t))$ 

          • ​ $ds=\sqrt{ x(t)'^{2} + y(t)'^{2} } dt$ 

          • ​本质：统一变量，转化为一元函数的定积分

    • ​ $L$ ： $y=y(x)$ ， $a \leq x \leq b$ 

      • ​ $\int_{L}^{}f(x,y) ds= \int_{ a }^{ b } f( x,y(x) ) \sqrt{1 + y(x)'^{2} } dx$ 

    • ​ $L$ ： $x=x(y)$ ， $c \leq y \leq d$ 

      • ​ $\int_{L}^{}f(x,y) ds= \int_{ c}^{ d } f( x(y),y ) \sqrt{1 + x(y)'^{2} } dy$ 

• ​对面积的曲面积分

  • ​引例

    • ​空间直角坐标系上一个曲面 ${\displaystyle \sum_{}^{}{} }$ $\textstyle\sum_{}$ ，忽略其体积，点密度为 $μ (x,y,z)$ 的质量问题

    • 采用以直代曲，以常代变的思想，分割，近似，求和，取极限得 $M={\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ μ ( ξ _{i}, η _{i}, ζ _{i} )} } \triangle s_{i} } }$ 

  • ​定义

    • ​设 $\textstyle\sum_{}$ 是光滑的， $f(x,y,z)$ 在 $\textstyle\sum_{}$ 上有界，分割，近似，求和，取极限，如果 ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ μ ( ξ _{i}, η _{i}, ζ _{i} )} } \triangle s_{i} } }$ 极限存在，则称其为 $f(x,y,z)$ 在 $\textstyle\sum_{}$ 上的对面积的曲面积分（第一类曲面积分），记作 $∬f(x,y,z)dS$ 

      • ​注意点

        • ​物理意义： $M=∬ μ (x,y,z)dS$ 

        • ​ $∬ f(x,y,z)dS$ 的大小只和 $f(x,y,z)$ 和 $\textstyle\sum_{}$ 有关

        • ​元素法： $dm=f(x,y,z)dS$ $dM=f(x,y,z)dS$  , $M=∬f(x,y,z)dS$ 

  • ​性质

    • ​被积函数的可加性

      • ​ $∬( k_{1} f_{1} + k_{2} f_{2} )dS= k_{1} ∬ f_{1} dS + k_{2} ∬f_{2} dS$ 

    • ​积分区域的可加性

    • ​对称性

      • ​ $\textstyle\sum_{}$ 关于 $yoz$ 面对称

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ 的奇函数， $∬f(x,y,z)dS$  $=0$ 

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ 的偶函数， $∬f(x,y,z)dS=2∬f(x,y,z)dS$ 

      • ​ $\textstyle\sum_{}$ 关于 $yoz$ $xoz$ 面对称

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ $y$  的奇函数， $∬f(x,y,z)dS$  $=0$ 

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ $y$ 的偶函数， $∬f(x,y,z)dS=2∬f(x,y,z)dS$ 

      • ​ $\textstyle\sum_{}$ 关于 $yoz$ $xoy$ 面对称

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ $z$ 的奇函数， $∬f(x,y,z)dS$  $=0$ 

        • ​若 $f(x,y,z)$ 是关于 $x$ $z$ 的偶函数， $∬f(x,y,z)dS=2∬f(x,y,z)dS$ 

  • ​计算

    •  $\textstyle\sum_{}:z=f(x,y)$ ​ $∬f(x,y,z)dS=_{ D_{} }^{∬}f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + f_{x} '^{2} +f_{y} '^{2}$∬f(x,y,z)dS=D​∬​f(x,y,z(x,y))1+fx′2​+fy′2​​

      $z=f(x,y$z=f(x,y) 

      • ​ $∬f(x,y,z)dS=_{ D_{} }^{∬}f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + f_{x} '^{2} +f_{y} '^{2}} dxdy$ 

        • ​对面积的曲面积分转化为二重积分

    •  $\textstyle\sum_{}:x=x(y,z)$ ​

      • ​ $∬f(x,y,z)dS=_{ D_{} }^{∬}f(x(y,z),y,z) \sqrt{1 + x_{y} '^{2} +x_{z} '^{2}} dydz$ 

    • ​ $\textstyle\sum_{}:y=y(x,z)$ 

      • ​ $∬f(x,y,z)dS=_{ D_{} }^{∬}f(x,y(x,z),z) \sqrt{1 + y_{x} '^{2} +y_{z} '^{2}} dxdz$ 

• ​对坐标的曲线积分

  • ​引例

    • ​变力 $\overrightarrow{F}(x,y)=P(x,y)\overrightarrow{i} + Q(x,y)\overrightarrow{j}$ 在曲线 $L:f(x,y)=0$ 上的作功问题

    • 采用​以直代曲，以常代变的思想，分割，近似，求和，取极限得 $W={\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ P( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle x_{i} } } + Q( ξ _{i} , η _{i} ) \triangle y_{i}$ 

  • ​定义

    • ​设 $L$ 为 $xoy$ 平面上从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧， $P(x,y)$ , $Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界，分割，近似，求和，取极限，如果 ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{P( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle x_{i} } }$$\int_{L}^$

      • ​${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{P( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle x_{i} } }$ 存在，则称其为 $P(x,y)$ 在 $L$ 上对于坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_{L}^{} P(x,y)dx$ 

      • ​${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{P( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle x_{i} } }$ ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{Q( ξ _{i}, η _{i} )} } \triangle y_{i} } }$ 存在，则称其为 $P(x,y)$ $Q(x,y)$ 在 $L$ 上对于坐标 $x$ $y$ 的曲线积分，记作 $\int_{L}^{} Q(x,y)dy$ 

      • ​ $\int_{L}^{} P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{L}^{} P(x,y)dx + \int_{L}^{} Q(x,y)dy$ 称为组合积分

    • ​注意点

      • ​ $L$ 称为积分弧段，有方向（从起点到终点）

      • ​ $P(x,y)$ ， $Q(x,y)$ 是定义在 $L$ 上的，称为被积函数

      • ​ $\int_{L}^{} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 也称为第二类曲线积分

      • ​元素法： $dw=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ ， $W=\int_{L}^{} dw=\int_{L}^{} P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 

      • ​推广： $\int_{L}^{} P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz$ 

  • ​性质

    • ​被积函数可加性

      • ​ $\int_{L}^{} ( α F_{1}(x,y) + β F_{2}(x,y) ) \cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) = α \int_{L}^{} F_{1}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) + β \int_{L}^{} F_{1}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j})$ 

    • ​积分弧段的可加性

      • ​ $L= L_{1} + L_{2}$ ,则有 $\int_{L}^{} F_{}(x,y) \cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) = \int_{ L_{1} }^{} F_{}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) + \int_{ L_{2} }^{} F_{}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j})$  $\int_{L}^{} F_{}(x,y) \cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) = \int_{ L_{1} }^{} F_{}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) + \int_{ L_{2} }^{} F_{}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j})$
        

    • ​设 $L$ 是有向光滑曲线， $L^{-}$ 是 $L$ 的反向曲线，则 $\int_{L}^{} F_{}(x,y) \cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j}) = - \int_{ L^{-} }^{} F_{}(x,y)\cdot (dx\overrightarrow{i} + dy\overrightarrow{j})$ 

  • ​计算

    • ​ $L$ ： $\begin{cases} x= x_{(t)} \\ y= y_{(t)} &\end{cases}$     $起点 t_{1} \rightarrow终点 t_{2}$   $起点 t_{1} \rightarrow终点 t_{2}$

      • ​ $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy= \int_{ t_{1} }^{ t_{2} } [P(x(t),y(t))x(t)' + Q(x(t),y(t))y(t)']dt$  $\rightarrow$

        • ​注意点

          • ​下限：起点，上限：终点（下限不一定小于上限）

          • ​本质：统一变量，转化为一元函数的定积分

    • ​ $L:y=f(x)$          $起点 x_{1} ，终点 x_{2}$ 

      • ​ $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy= \int_{ x_{1} }^{ x_{2} } [P(x,f(x))+ Q(x,f(x))f(x)']dx$ 

    • ​ $L:x=x(y)$            $起点 y_{1} ,终点 y_{2}$ 

      • ​ $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy= \int_{ y_{1} }^{ y_{2} } [P(x(y),y)x(y)'+ Q(x(y),y)]dy$ 

• ​对坐标的曲面积分

  • ​引例

    • ​流向曲面一侧的流量问题

    • ​采用以直代曲，以常带变的思想，分割，近似，求和，取极限得 $ϕ={\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ P\cos α _{i} \triangle s_{i} + Q\cos β _{i} } } \triangle s_{i} + R\cos γ _{i}} } \triangle s_{i}$ 

  • ​定义

    • ​设 $\textstyle\sum_{}$ 为光滑的有向曲面， $R(x,y,z)$ 在 $\textstyle\sum_{}$ 上有界，分割，近似，求和，取极限，如果 ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ R ( ξ _{i}, η _{i}, ζ _{i} )} } cos γ _{i} \triangle s_{i} } }$ 存在，则称其为 $R(x,y,z)$ 在 $\textstyle\sum_{}$ 上的对坐标的曲面积分 （第二类曲面积分）$R(x,y,z)$

      • ​注意点

        • ​ ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ R ( ξ _{i}, η _{i} , ζ _{i} )} } \cos γ _{i} \triangle s_{i} } } =∬R(x,y,z)dxdy$ 

          • ​ ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ P ( ξ _{i}, η _{i} , ζ _{i} )} } \cos α _{i} \triangle s_{i} } } =∬P(x,y,z)dydz$ 

            • ​ ${\displaystyle \lim_{ λ \rightarrow 0}{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{ Q ( ξ _{i}, η _{i} , ζ _{i} )} } \cos β _{i} \triangle s_{i} } } =∬Q(x,y,z)dxdz$ 

        • ​ $γ _{i}:$     $\overrightarrow{n}$ 和 $z$ 轴正向的夹角

          • ​ $α _{i}$ ： $\overrightarrow{n}$ 和 $z$ $x$  轴正向的夹角

            • ​ $β _{i}：$ $:$     $\overrightarrow{n}$ 和 $y$ 轴正向的夹角

        • ​组合积分： $∬P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dxdz + R(x,y,z)dxdy=∬P(x,y,z)dydz +∬ Q(x,y,z)dxdz + ∬R(x,y,z)dxdy$ 

  • ​性质

    • ​积分区域的可加性

    •  $\textstyle\sum_{}$ 是有向曲面， $\textstyle\sum_{} ^{-}$ 表示与 $\textstyle\sum_{}$ 取相反侧的有向曲面

      • ​ $∬P(x,y,z)dydz =-∬P(x,y,z)dydz$ 

      • ​ $∬Q(x,y,z)dzdx=-∬Q(x,y,z)dzdx$ 

      • ​ $∬R(x,y,z)dxdy =-∬R(x,y,z)dxdy$ 

  • ​计算

    • ​例：计算 $∬R(x,y,z)dxdy$ 

      • ​确定投影 $D_{xoy}$ 

      • ​ $\textstyle\sum_{}:z=z(x,y)$ 

      • ​判断 $dxdy$ 的符号

        • ​当 $\overrightarrow{n}$ 和 $z$ 轴正向的夹角 $0 \leq γ \leq \frac{ π }{2}$ $0 \leq γ < \frac{ π }{2}$ 时， $dxdy=+dxdy$  

        • ​当 $\overrightarrow{n}$ 和 $z$ 轴正向的夹角 $0 \leq γ \leq \frac{ π }{2}$ $0 \leq γ < \frac{ π }{2}$ $γ = \frac{ π }{2}$ 时， $dxdy=+dxdy$ $0$   

        • ​当 $\overrightarrow{n}$ 和 $z$ 轴正向的夹角 $0 \leq γ \leq \frac{ π }{2}$ $0 \leq γ < \frac{ π }{2}$ $\frac{ π }{2} <γ \leq π$  时， $dxdy=+dxdy$  

    • ​ $∬R(x,y,z)dxdy= _{D}^{∬} R(x,y,z(x,y))( \pm dxdy)$ 

      • ​对坐标的曲面积分转化为二重积分

    • ​ $∬P(x,y,z)dydz= _{D}^{∬} P(x(y,z),y,z)( \pm dydz)$ 

    • ​ $∬Q(x,y,z)dxdz= _{D}^{∬} Q(x,y(x,z),z)( \pm dxdz)$ 

• ​两类曲面积分之间的关系

  • ​区别

    • ​ $∬f(x,y,z)dS$ 

      • ​ $\textstyle\sum_{}:$ 无方向

      • ​ $dS:$ 面积元素

    • ​ $∬P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy$ 

      • ​ $\textstyle\sum_{}:$ 有侧曲面

      • ​ $dydz,dzdx,dxdy$ 是 $dS$ 的有向投影（ $+ ， -$ 取决于 $\overrightarrow{n}$ 和坐标轴正向的夹角）

  • ​联系

    • ​ $\cos α,\cos β, \cos γ$ 为有向曲面 $\textstyle\sum_{}$ 的法向量的方向余弦

      • ​ $∬Pdydz + Qdzdx + Rdxdy=∬(P\cos α + Q\cos β + R\cos γ )dS$ 

• ​两类曲线积分之间的关系

  • ​区别

    • ​ $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$

      • ​ $L:$ 有向弧段（有起点，有终点）

      • ​ $P(x,y)，Q(x,y)$ 定义在 $L$ 上

      • ​ $ds:$ 弧微分

        • ​ $\sqrt{ x(t)'^{2} + y(t)'^{2} } dt$ 

        • ​ $\sqrt{1 + y(x)'^{2} } dx$ 

        • ​ $\sqrt{1 + x(y)'^{2} } dy$ 

    • ​ $\int_{L}^{} f(x,y)ds$ 

      • ​ $L:$ 弧长

      • ​ $f(x,y)$ 定义在 $L$ 上

      • ​ $dx，dy$ ：坐标

  • ​联系

    •  $dx=\cos α ds$       $dy=\cos β ds$      $\cos α ,\cos β$ 为切向量的方向余弦

      • ​ $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy=\int_{L}^{} (P_{}(x,y)\cos α + Q_{}(x,y)\cos β) ds$ 

• ​高斯公式

  • ​定理

    • ​ $\textstyle\sum_{}$ 是 $Ω$ 的整个边界外侧， $P,Q,R$ 在 $Ω$ 上具有一阶连续偏导，则 $∭( \frac{∂P}{∂x} + \frac{∂Q}{∂y} + \frac{∂R}{∂z} )dv =∬P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy$ 

      • ​注意点

        • ​ $\textstyle\sum_{}$ 封闭，如果不封闭，添加平面使其封闭

        • ​ $\textstyle\sum_{}$ 取外侧，如果取内侧，公式中添加负号

        • ​ $\frac{∂P}{∂x} , \frac{∂Q}{∂y} , \frac{∂R}{∂z}$ 存在且连续，如果不满足，挖球

• ​斯托克斯公式

  • ​定理

    • ​设 $τ$ 为分段光滑的空间有向闭曲线， $\textstyle\sum_{}$ 是以 $τ$ 为边界的有向曲面， $τ$ 的正向与 $\textstyle\sum_{}$ 的侧符合右手规则，如果 $P,Q,R$ 在

       $\textstyle\sum_{}$ 上具有一阶连续偏导，则有 $∬(\frac{∂R}{∂y}-\frac{∂Q}{∂z})dydz+(\frac{∂P}{∂z}-\frac{∂R}{∂x})dzdx+(\frac{∂Q}{∂x}-\frac{∂P}{∂y})dxdy= ∮_{ τ } P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$ 

• ​格林公式

  • ​定理

    • ​设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，若 $P(x,y)$ ， $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导  $_{D}^{∬} ( \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y})dxdy=\oint_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$ 其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线

      • ​注意点

        • ​ $L$ 正向

          • ​ $L$当沿着 $L$ 这个方向行走时， $D$ 内部在他的左侧

            • ​单连通区域的正向：逆时针

            • ​复连通区域的正向：外逆时针内顺时针

            • ​若 $L$ 为负向：公式变为 $\oint_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy =-_{D}^{∬} ( \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y})dxdy$ 

        • ​ $L$ 封闭

          • ​若 $L$ 不封闭：添加 $L_{1}$ （一般为直线，平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴）使其封闭，再用格林公式

        • ​ $\frac{∂P}{∂y},\frac{∂Q}{∂x}$ 存在且连续

          • ​若在 $( x_{0} , y_{0} )$ 处 $\frac{∂P}{∂y} ,\frac{∂Q}{∂x}$ 不存在或不连续：挖洞，剩下的部分用格林公式

  • ​应用

    • ​平面上曲线积分与路径无关的条件

      • ​设 $G$ 是一个单连通区域， $P(x,y)$ ， $Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则 $\int_{L}^{} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$ 在 $G$ 内积分与路径无关 $\Leftrightarrow$  $\frac{∂P}{∂y}=\frac{∂Q}{∂x}$ 

    • ​二元函数的全微分求积

      • ​设 $G$ 是一个单连通区域， $P(x,y)$ ， $Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则  $P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$  在 $G$ 内为某一函数 $u(x,y)$ 的全微分 $\Leftrightarrow$  $\frac{∂P}{∂y}=\frac{∂Q}{∂x}$ 

    • ​注意点

      • ​ $\frac{∂P}{∂y}=\frac{∂Q}{∂x} \Leftrightarrow 积分与路径无关 \Leftrightarrow du= P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$ 

      • ​如果 $\frac{∂P}{∂y} =\frac{∂Q}{∂x}$ ，则一定存在 $u(x,y)$ ，使 $du(x,y)=P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$ ， $u(x,y)=\int_{ (x_{0}, y_{0}) }^{ (x,y)} P_{}(x,y)dx + Q_{}(x,y)dy$ ，在 $(x_{0}, y_{0})$ 处 $\frac{∂P}{∂y} ,\frac{∂Q}{∂x}$ 存在且连续