高数下第十一章曲线积分与曲面积分 |
曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
引例
平面内一条光滑曲线 忽略其体积,线密度为 的质量问题
采用以直代曲,以常代变的思想,分割,近似,求和,取极限得
定义
设 为 平面内一条光滑曲线,函数 在 上有界,分割,近似,求和,取极限,如果 存在,则称其为 在 上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分),记作 ,其中 叫做被积函数, 叫做积分弧段
注意点
(曲线的质量),和 有关,和 的分法, 的选取无关
推广:
元素法: ,
性质
被积函数的可加性
积分弧段的可加性
,则有
在 上, ,则有 ,特别的,
对称性
,其中 和 关于 轴对称
是关于 的奇函数,则
是关于 的偶函数,则
,其中 和 关于 轴对称
是关于 的奇函数,则
是关于 的偶函数,则
计算
:
注意点
上限大,下限小,
定义在 上,
本质:统一变量,转化为一元函数的定积分
: ,
: ,
对面积的曲面积分
引例
空间直角坐标系上一个曲面 ,忽略其体积,点密度为 的质量问题
采用以直代曲,以常代变的思想,分割,近似,求和,取极限得
定义
设 是光滑的, 在 上有界,分割,近似,求和,取极限,如果 极限存在,则称其为 在 上的对面积的曲面积分(第一类曲面积分),记作
注意点
物理意义:
的大小只和 和 有关
元素法: ,
性质
被积函数的可加性
积分区域的可加性
对称性
关于 面对称
若 是关于 的奇函数,
若 是关于 的偶函数,
关于 面对称
若 是关于 的奇函数,
若 是关于 的偶函数,
关于 面对称
若 是关于 的奇函数,
若 是关于 的偶函数,
计算
对面积的曲面积分转化为二重积分
对坐标的曲线积分
引例
变力 在曲线 上的作功问题
采用以直代曲,以常代变的思想,分割,近似,求和,取极限得
定义
设 为 平面上从点 到点 的一条有向光滑曲线弧, , 在 上有界,分割,近似,求和,取极限,如果
存在,则称其为 在 上对于坐标 的曲线积分,记作
存在,则称其为 在 上对于坐标 的曲线积分,记作
称为组合积分
注意点
称为积分弧段,有方向(从起点到终点)
, 是定义在 上的,称为被积函数
也称为第二类曲线积分
元素法: ,
推广:
性质
被积函数可加性
积分弧段的可加性
,则有
设
计算
注意点
下限:起点,上限:终点(下限不一定小于上限)
本质:统一变量,转化为一元函数的定积分
对坐标的曲面积分
引例
流向曲面一侧的流量问题
采用以直代曲,以常带变的思想,分割,近似,求和,取极限得
定义
设
注意点
组合积分:
性质
积分区域的可加性
计算
例:计算
确定投影
判断
当
当
当
对坐标的曲面积分转化为二重积分
两类曲面积分之间的关系
区别
联系
两类曲线积分之间的关系
区别
联系
高斯公式
定理
注意点
斯托克斯公式
定理
设
格林公式
定理
设闭区域
注意点
单连通区域的正向:逆时针
复连通区域的正向:外逆时针内顺时针
若
若
若在
应用
平面上曲线积分与路径无关的条件
设
二元函数的全微分求积
设
注意点
如果