16 二次根式

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  • ​二次根式的定义

    •  $\sqrt{a} (a\geq 0);\sqrt{a} \geq 0$ (双重非负性)

  • ​最简二次根式

    • ​被开方数不含分母或分母中不含有根号

    • ​被开方数中不含开得尽方的因数或因式

  • ​同类二次根式

    • ​几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数形同的二次根式

  • ​两个性质

    •  $(\sqrt{a} )^{2}=a(a\geq 0)$ 

    • ​ $\sqrt{a^{2} } =\left| a \right|$ 

      •  $=a(a\geq 0)$ 

      • ​ $=-a(a\leq 0)$ 

  • ​两个公式

    • ​乘法法则

      •  $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =\sqrt{ab} (a\geq 0,b\geq 0)$ 

      • ​ $\sqrt{ab}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a\geq 0,b\geq 0)$ 

    • ​除法法则

      •  $\frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} } =\sqrt{\frac{a}{b} } (a\geq 0,b\succ 0)$ 

      •  $\sqrt{\frac{a}{b} }=\frac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} } (a\geq 0,b\succ 0)$ 

  • ​四种运算（检查结果是否为最简二次根式）

    • ​加、减

      •  $例：\sqrt{12} + \sqrt{32} - (\sqrt{8} - \sqrt{27}) =2\sqrt{3} + 4\sqrt{2}- 2\sqrt{2}+ 3\sqrt{3} =(2+ 3)\sqrt{3} + (4- 2)\sqrt{2} =5\sqrt{3} + 2\sqrt{2}$ 

    • ​乘除

      • ​ $例：\frac{\sqrt{5}+ \sqrt{2} }{\sqrt{5} } =\frac{(\sqrt{5}+ \sqrt{2})× \sqrt{5} }{\sqrt{5}× \sqrt{5} } =\frac{5+ \sqrt{10 } }{5}$ （分母有理化）