函数概念及基本初等函数

• ​函数概念

  • ​初中定义

  • ​高中定义

    • ​映射概念

  • ​三要素

    • ​定义域

    • ​值域

    • ​对应法则

      • ​外在表现形式：表格，图像，解析表达关系

    • ​相同函数的判断

      • ​定义域、对应法则、值域相同

• ​函数表示

  • ​图像法

    • ​做函数的图像

      • ​模板函数

      • ​变换作图法

  • ​列表法

  • ​解析式法

    • ​求解析式

• ​函数性质[非具体函数]

  • ​单个性质

    • ​定义域

    • ​值域

    • ​单调性

      • ​给出方式

      • ​证明方法

        • ​定义法

          • ​取值、做差、变形、定号

        • ​导数法

      • ​求函数的单调区间

    • ​奇偶性

      • ​给出方式+常用结论

      • ​常用的奇函数和偶函数

      • ​奇偶性习题[低层次]

      • ​偶函数最常用性质： $f(x)=f(|x|)性质$ 

    • ​周期性

      • ​给出方式

      • ​相关联

        • ​三角函数的周期性

          • ​如何求

          • ​如何选

        • ​数列的周期性

    • ​对称性

      • ​给出方式

      • ​对称性习题

      • ​延申

        • ​三角函数的对称性

    • ​凹凸性[仅了解]

  • 综合使用[重点难点]

    • ​函数性质的表达难点

    • ​函数性质的综合应用

    • ​涉及题型

      • ​求解析式

      • ​比较大小

      • ​求解抽象函数不等式

        • ​函数 $y=f(x)$ 满足以下条件

        • ​① $|f(x)|\leqslant 1$ 

        • ​② $\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0，x_1\neq x_2$,  $x\in D$ 

        • ​③ $f(x+1)+f(1-x)=2$ 

      • ​求解具体函数不等式

        • ​已知函数 $f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx$ 

          • ​①定义域 $(-1，1)$ 

          • ​② $y=ln\cfrac{1+x}{1-x}$ 单调递增， $y=sinx$ 单调递增，

          • ​③整个函数 $f(x)$ 为增函数

          • ​④同理，函数 $f(x)$ 为奇函数

    • ​构造函数【难点】

      • ​如何构造函数

      • ​构造函数中的切入点

      • ​对应训练

• ​基本初等函数

  • ​常函数 $f(x)=c(c为常数)$ 

  • ​幂函数 $f(x)=x^\alpha(\alpha为常数)$ 

    • ​ $f(x)=x$ 

    • ​ $f(x)=x^{-1}$ 

    • ​ $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ 

    • ​ $f(x)=x^2$ 

    • ​ $f(x)=x^3$ 

  • ​指数及其相关运算

    • ​指数函数

    • ​指数运算

  • ​对数及其相关运算

    • ​对数函数

    • ​对数运算

  • ​三角函数

    • ​单独另外成章

  • ​基本初等函数应用

    • ​初等函数

      • ​ $一次函数\\f(x)=kx+b(k\neq 0)$ 

        •  $仿一次函数\\f(x)=kx+b$

      •  $二次函数\\f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)$

        •  $仿二次函数\\f(x)=ax^2+bx+c$ 

    • ​复合函数

      • ​一次+指数

        • ​ $f(x)=k\cdot 2^x+b$ 

      • ​一次+对数

        • ​ $f(x)=k\cdot log_2x+b$ 

      • ​二次+指数

        • ​ $f(x)=(2^x)^2+3\cdot 2^x+3$ 

        • ​ $f(x)=2^{x^2-2x+1}$ 

      • ​二次+对数

        • ​ $f(x)=(log_2x)^2+3\cdot log_2x+3$ 

        • ​ $f(x)=log_2{(x^2-3x+2)}$ 

      • ​二次+三角

        • ​ $f(x)=a\cdot sin^2x+b\cdot sinx+c$ $(a\neq 0)$  

        • ​ $f(x)=sin(2x^2-3x+2)$ 

• ​重点关注函数(图像和性质)

  • ​分段函数[重点]

    • ​分段函数的表示

    • ​分段函数的给出方式

    • 利用​分段函数单调性求参数的值

    • ​分段函数图像的画法

    • ​特殊分段函数的解析式和图像

  • ​复合函数

  • ​抽象函数

    • ​抽象函数的单调性

    • ​抽象函数的对称性

  • ​绝对值函数

  • ​分式函数[重点]

  • ​常见函数的融合[重难点]

  • ​根式函数[大致了解]

• ​函数与方程

  • ​引入必要：为数形结合铺垫

  • ​初中：函数，方程

    • ​高中：函数方程与函数不等式

  • ​极为重要的转化

    • ​函数 $y=f(x)$ 有零点[数的角度]

      • ​拆分： $y=f(x)=h(x)-g(x)$ 

      • ​拆分原则：尽量向基本初等函数拆分转化

    • ​ $\Leftrightarrow$ 函数 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴有交点[形的角度]

    • ​ $\Leftrightarrow$ 方程 $f(x)=0$ 有解[数的角度]

    • ​ $\Leftrightarrow$ 函数 $y=h(x)$ 与函数 $y=g(x)$ 有交点[ 形的角度]

  • ​廓清概念

    • ​函数的零点

      • ​变号零点

      • ​不变号零点

    • ​零点和极值点

      • ​关联导数

  • ​转化与划归[常考点]

    • ​哪些题目能转化为不等式恒成立

    • ​哪些题目能转化为不等式能成立

    • ​哪些题目能转化为方程有解

• ​函数模型及其应用

• ​高阶内容[理科]

  • ​双变量函数问题

  • ​二元函数 $f(x，y)$ 

  • ​构造函数

• ​常用方法策略

  • ​分式裂项法[化为部分分式]

    • 举例： $\cfrac{3x+2}{x}=3+\cfrac{2}{x}$ ​​ 

    • ​变量集中策略

  • ​分离参数法