第一章 - 函数与极限

• ​数列的极限

  • ​性质

    • 唯一性：数列有极限必定唯一

    • ​有界性：数列有极限则一定有界

    • ​保号性：极限<0，则数列<0

• ​极限存在准则、两个重要极限

  • ​极限存在准则

    • ​迫敛准则

    • ​单调函数必有极限

  • ​两个重要极限

    •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{sinx}{x} } } = 1$

    • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty }{(1+ \frac{1}{x} )} } ^{x} =e$ 

• ​无穷小的比较

  • ​常见等价无穷小

    • ​ $x \sim sinx \sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim ln(1+x) \sim e^{x}$ 

    •  $1-cosx \sim \frac{1}{2} x^{2}$ 

    • ​ $(1+x)^a \sim ax$ 

• ​函数的极限

  • ​左右极限相等，则极限存在x趋向于a，但不等于a

  • ​性质

    • ​1、唯一性  2、局部有界性 3、保号性

• ​函数的连续性与间断点

  • ​左极限=有极限=函数值

  • ​间断点分类

    • 第一类间断点

      • ​可去间断点

      • ​跳跃间断点

    • ​第二类间断点

      • ​无穷间断点

      • ​震荡间断点

      • ​其他

• ​无穷大与无穷小

  • ​Nots：

    • ​0是无穷小，但无穷小不一定为0

    • ​设a(x) $\ne$ 0，a(x) 是否为无穷小与自变量的趋向相关

  • ​无穷小的性质

    • ​1、 趋向于0，

       $β$ 趋于0， $α \pm β$ 趋于0

    • ​2、a趋于0，则 $k^{ α }$  趋于0（k为常数）

    • ​3、f(x)在x趋于 $x_{0}$ 时的极限为A，则f(x)=A +a 

  • ​无穷大与无穷小的关系：倒数关系

• ​连续函数的运算与初等函数的连续性

• ​闭区间上连续函数的性质

  • ​最值定理：连续有最值，有最值不一定连续

  • ​有界定理

  • ​介值定理

  • ​零点定理

• ​极限运算法则：

  • ​四则运算