数分上册期中复习

• ​函数极限与连续

  • ​函数极限

    • ​性质

      • ​1）唯一性

      • ​2）局部有界性

      • ​3）局部保号性

      • ​4）局部保序性

      • ​5）四则运算

      • ​6）复合函数的极限

    • 函数的左右极限

      • ​定理：极限存在 $\Leftrightarrow$ 左右极限相等

      • ​常用于证明函数不收敛

    • ​海涅定理

      • ​ $\lim\limits_{x\to a}{f(x)}=A$ 的充要条件是对任意以 $x_o$ 为极限的数列 $\{x_n\}$ , $x_n \ne x_0(n=1,2,3,...)$ 其相应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 满足 $\lim\limits_{n\to\infty}{f(x_n)}=A.$ 

    • ​夹逼定理

    • ​函数极限类型

      • ​趋于定点

      • ​趋于无穷（正负无穷极限相同）

  • ​连续函数

    • ​定义

    • ​三个条件

      • ​1）有定义

      • ​2）极限存在

      • ​3）极限与函数值相等

    • ​单侧连续

      • ​函数在某点连续 $\Leftrightarrow$ 函数左右连续

    • ​闭区间连续

    • ​性质

      • ​1）局部有界性

      • ​2）局部保号性

      • ​3）四则运算

      • ​4)复合函数的连续性

      • ​5）反函数的连续性

        • ​ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 严格单调且连续，若反函数存在，则反函数在 $[a,b]$ 严格单调且连续

    • ​函数的间断点

      • ​第一类间断点

        • ​可去间断点

        • ​跳跃间断点

      • ​第二类间断点

  • ​无穷大和无穷小的阶

    • ​等价无穷小的替换（乘除可以，加减不能随便）

    • ​无穷小与无穷大的倒数关系

  • ​函数的一致连续性

    • ​一致连续性的定义

    • ​不一致连续的定义

    • ​用数列判断

  • ​有限闭区间上连续函数的性质

    • ​1）康托定理：一致连续

    • ​2）有界性定理（开区间也同）

    • ​3）最值性定理

    • ​4）零点存在性定理

    • ​5）介值性定理

• ​基本知识

  • ​绝对值不等式

    • ​ $\big||a|-|b|\big|\leq |a \pm b|\leq|a+b|$

  • ​伯努利不等式

  • ​柯西不等式

    • ​方和积 $\ge$ 积和方

  • ​均值不等式

• 集合与映射

  • ​集合的运算

    • ​三元运算

      • 交并运算：​同号结合、异号分配$(A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)$

      • 补集运算：DeMorgan定律

        • $(A \cup B)^C=A^C \cap B^C\\(A \cap B)^C=A^C \cup B^C$ 

  • ​映射与函数

    • ​映射的表示

      • ​ $f:X\rightarrow Y\qquad x\mapsto y$ 

    • ​单射、满射、双射

    • ​逆映射、可逆映射、恒等映射

  • ​确界存在性定理

• ​数列极限

  • ​数列极限

    • ​数列极限的定义

    • ​数列极限的否定形式

  • ​数列极限的性质

    • ​唯一性、有界性、保序性（保号性）

    • ​夹逼定理

    • ​子列极限

      • ​证明数列不收敛的好方法

  • ​无穷小与无穷大

    • ​无穷小与无穷大的定义

    • ​无穷小与无穷大的倒数关系

    • ​Stolz定理

  • ​单调有界定理

    • ​单调有界定理的内容

    • ​单调数列性质

      • ​1）单调数列子列收敛，则数列收敛

      • ​2）单调数列子列趋于无穷，则数列发散

      • ​3）单调数列要么收敛，要么趋于无穷

      • ​4）单调数列收敛的充分必要条件是数列有界

  • ​实数连续性六大定理

    • ​1.确界存在性定理

    • ​2.单调有界定理

    • ​3.闭区间套定理

      • 设 $I_n=[a_n,b_n],n=1,2,3,...$ 为一列闭区间，满足 $\\$ (1) $I_1 \supset I_2\supset I_3\supset ...\space I_n\supset...;\\$ (2)这些闭区间的长度满足 $\lim\limits_{n\to \infty}{|I_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}{(b_n-a_n)}=0\\$ 则存在唯一的点 $ξ$ 满足 $ξ \in { \displaystyle \bigcap_{i=1}^{\infty} } I_i$ .

    • ​4.列紧性定理

      • ​任何有界无穷数列存在收敛子列

    • ​5.柯西收敛定理

      • (1) $\forall ε >0, \exists N \in N^*,s.t.\space m,n>N,|a_m-a_n|< ε$ 

        则 $\{a_n\}$ 为基本列

      •  $\forall ε >0, \exists N \in N^*,s.t.\space n>N,\forall p \in N^*,|a_{n+p}-a_n|< ε\\$ 则 $\{a_n\}$ 为基本列

      • ​ $\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow \{a_n\}$ 是基本列

    • ​6.有限覆盖定理

      • ​设 $E$ 是实数集， $\aleph =\{I_ λ | λ \in \Delta \}$ 是一个开区间族，其中 $\Delta$ 是一个指标集，如果 $E \subset { \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Delta}}I_\lambda$ ，则称 $\aleph =\{I_\lambda\}$ 覆盖了 $E$ ，或者说 $\aleph =\{I_\lambda\}$ 是 $E$ 的一个开覆盖

      • ​设 $\aleph =\{I_\lambda\}$ 为有限闭区间 $[a,b]$ 任意一个(无限)开覆盖，则可从 $\aleph=\{I_\lambda\}$ 中选出有限个开区间构成 $[a,b]$ 的覆盖

• ​函数导数

  • ​导数定义

    • ​导数定义

    • ​单侧导数

      • ​可导 $\Leftrightarrow$ 左右倒数存在且相等

    • ​可导必连续，连续不一定可导

  • ​导数的运算

    • 四则运算

    • ​复合函数

    • ​反函数

      • ​隐函数求导

    • ​对数求导法

  • ​隐函数和参数方程求导

    • ​参数方程求导

  • ​高阶导数

    • ​参数方程的二阶导数

      • ​ $\dfrac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{\mathrm{d}t}\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ 

    • ​高阶导数四则运算

    • ​莱布尼茨公式

      • ​ $(f(x) \cdot g(x))^{(n)}= {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{C^k_nf^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)} }$ 

  • ​中值定理

    • ​费马引理

      • ​极值点导数为0

    • ​罗尔中值定理

    • ​广义罗尔定理

    • ​拉格朗日中值定理

    • ​柯西中值定理

  • ​凑微分方程模板

    •  $f'(x)+g'(x)f(x)\rightarrow \textcolor{red}{F(x)=e^{g(x)}f(x)}\\\rightarrow F'(x)=e^{g(x)}\Big(f'(x)+g'(x)f(x)\Big)$ 

  • ​导数研究函数的性质

    • ​1）单调性

    • ​2）极值

      • ​极值的第一充分条件

        • ​ $f'(x)$ 在 $x_0$ 左正右负， $x_0$ 是极大值

        • ​ $f'(x)$ 在 $x_0$ 左负右正， $x_0$ 是极小值

      • ​极值的第二充分条件

        • ​ $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个驻点，且 $f''(x_0) \ne 0$ 

          • ​ $f''(x_0) < 0$ ， $x_0$ 是极大值

          • ​ $f''(x_0)>0$ ， $x_0$ 是极小值

    • ​3）最值

    • ​4）凹凸性

      • ​詹森不等式

      • ​拐点是点，有横纵坐标的点

    • ​渐近线

      • ​竖直渐近线：在某点趋于无穷

      • ​水平渐近线：趋于无穷有极限

      • ​斜渐近线：函数与直线作差，无穷处极限为零

  • ​洛必达法则

    • ​ $\dfrac{0}{0}和\dfrac{\infty}{\infty}形式$ 

      • ​ $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 

• ​泰勒公式

  • ​函数的微分

  • ​带Peano余项的泰勒公式

    •  $f(x)= {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_0)}\over{(x-x_0)^k}}(x-x_0)^k }+o((x-x_0)^n) \qquad x\rightarrow x_0$ 

    • ​麦克劳林公式： $f(x)= f(0)+f'(0)x+{f''(0)\over2}x^2+...+{f^{(n)}\over n!}x^n+o(x^n)$ 

    • ​常用的​麦克劳林公式

      •  $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+...+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$ 

      •  $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}...+(-1)^n\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$ 

      •  $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{4!}+...+(-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$ 

      •  $\ln (x+1)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+...+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+o(x^{n})$ 

      •  $(1+x) ^λ=1+ {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{λ(λ-1)...(λ-k+1)} {k!} }x^k+o(x^n)$ 

      • ​ $\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2+...+(-1)^nx^n+o(x^n)$ 

      •  $\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$ 

    • ​判断驻点是极值点

  • ​带拉格朗日余项的泰勒公式

    •  $f(x)=T_n(f,x_0;x)+\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+ θ (x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 

    • ​带拉格朗日余项的麦克劳林公式： $\\f(x)=f(0)+f'(0)+\dfrac{f''(0)}{2}x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(θx)}{(n+1)!}x^{n+1}$ 

    • ​常用的带拉格朗日余项的麦克劳林公式