介观物理

• ​可观测物理量

  • ​载流子浓度n

  • ​有效质量 $m ^{*}$ 

  • ​迁移率 $μ$ 

  • ​退相干时间 $τ _{ φ }$ 

  • ​超导能隙Δ

  • ​超导临界温度 $T_{c} ​ ​$ 

  • ​临界超流 $I_{c}$ 

  • ​正常态电阻 $R_{N}$ 

  • ​温度T

  • ​磁场B

  • ​量子点充电能 $E_{c}$ 

• ​自由电子气

  • ​波矢k量子化

    • ​ $k _{x} = \frac{2 π n _{x} }{L _{x} }; k _{y} = \frac{2 π n _{y} }{L _{y} } ;k _{z} = \frac{2 π n _{z} }{L _{z} }$  n是整数，L是长度

  • ​单位k空间体积内的波矢数（波矢密度）

    • ​ $三维 : \frac{ n_{x}n_{y} n_{z} }{ k_{x} k_{y} k_{z} } = \frac{V}{8 π ^{3} } ； 二维 : \frac{ n_{x}n_{y} }{ k_{x} k_{y} } = \frac{S}{4 π ^{2} } ； 一维 : \frac{ n_{x} }{ k_{x} } = \frac{L}{2 π }$ 

  • ​费米球体积

    • ​  $三维： \frac{4 π }{3} k_{F}^{3} ；二维：2 π k_{F}^{2} ；一维：2 k_{F}$ ， $k_{F} 是费米波矢$ 

  • ​载流子浓度

    • ​ $n= \frac{N}{V} = \frac{2*费米球体积*波矢密度}{V} ;2是电子自旋简并度$ 

      • ​ $n_{3} = \frac{ k_{F}^{3} }{3 π ^{2} }$ 

      • ​二维； $n=( \frac{ k_{F} ^{2} }{ 2 π })$ 

      • ​一维； $n=( \frac{ 2k_{F} }{ π })$ 

  • ​费米波矢 $k_{F}$ 

    • ​三维 $k_{F}= (3 π ^{2}n )^{ \frac{1}{3} }$ 

    • ​二维 $k_{F}= (2 π n )^{ \frac{1}{2} }$ 

    • ​一维 $k_{F}= \frac{(π n )}{2}$ 

  • ​费米速度 $v_{F}$ 

    • ​ $v_{F} = \frac{ℏ}{ m^{*} } k_{F}$ 

      金属一般1~2*10^6(m/s)

      半导体一般1~10*10^5(m/s)

      • 三维 $v_{F} = \frac{ℏ}{ m^{*} } （3 π ^{2}n ）^{ \frac{1}{3} }$ 

      • ​二维 $v_{F} = \frac{ℏ}{ m^{*} } (2 πn) ^{ \frac{1}{2} }$ 

      • ​一维 $v_{F} = \frac{ℏ}{ m^{*} } ( \frac{ π n}{2} )$ 

  • ​​费米能量 $E _{F}$ 

    1. 自由电子气电子间没有相互作用，也没有势能。所以费米面是一个球面。如果存在晶格势能，费米球会发生形变。

    •  $E _{F} = \frac{ ℏ^{2} }{2m ^{*} } k_{F}^{2}$ 

      GaAs半导体费米能2.27*10^-21(J)

  • ​态密度 $N（ ε ）$ 

    1. ​单位能量内态的个数。

    • ​

      • ​单位能量单位体积内态的个数 $n( ε )=\frac{N（ ε ） }{L^{d} }$ 

  • ​费米波长（德布罗意波长） $λ _{F}$ 

    • ​ $λ _{F} = \frac{2 π }{ k_{F} }$ 

      费米波长只与载流子浓度有关,与有效质量无关

      • ​三维 $λ _{F} =2( \frac{ π }{ 3n }) ^{ \frac{1}{3} }$ 

      • ​二维 $λ _{F} =( \frac{ 2π }{ n }) ^{ \frac{1}{2} }$ 

      • 一维 $λ _{F} =( \frac{ 4 }{ n })$ 

    • ​当材料尺寸L与费米波长的量级相当时将出现尺寸量子化。由此可划分材料的维度。出现量子化但费米面下存在多个子带的情况称为准维度。

      • ​

• ​介观输运重要量

  • ​弛豫时间

    • ​从微扰消失之后，恢复到平衡态的时间。

  • ​电导率 $σ$ 

    1. 电导率与材料形状和大小无关。

    • ​ $σ =ne μ$ 

    • ​电导 $G= σ \frac{S}{L}$ 

  • ​Drude 散射时间（动量弛豫时间） $τ$  

    •  $τ = \frac{ μ m^{*} }{e}$ 

  • ​平均自由程 $l_{e}$ 

    1. 电子在两次大角度散射之间的平均运动距离。
    2. 当材料尺寸小于平均自由程时发生弹道输运。

    根据平均自由程 与系统的尺度 L 的相对大小， 介观系统分成扩散区（diffusive regime）和弹道（ballistic regime）。

    • ​ $l_{e} = v_{F} τ$ 

  • ​能量弛豫时间（非弹性散射时间） $τ _{ ϵ }$ 

    • ​非弹性散射必然导致退相干，因此 $τ _{ E } = τ _{ φ }$ ？

  • ​扩散系数D

    1. 载流子浓度梯度导致扩散运动

    • ​ $D= \frac{1}{2} v_{F} ^{2} τ$ 

    • ​ 三维 $D= \frac{ 2E_{F} }{3e} μ$ 

    • ​二维 $D= \frac{E_{F} }{e} μ$ 

    • ​一维 $D= \frac{2E_{F} }{e} μ$ 

  • ​相位相干长度 $ξ _{N}$ 

    1. 电子在退相干之前运动的距离。
    2. 相干电子态并不一定是弹道输运。因为弹性散射不会导致退相干，只有非弹性散射（电声散射，电子与电子散射等）会导致退相干。后者随温度下降而减少，从而使相干长度增长。
    3. 电子与电子散射虽然会引起退相干，但是不会产生电阻。因为电子的总动量并不因此而改变。

    • ​弹道区 $L \ll l_{e}$ 

      1. 在弹道区， 电子几乎不受杂质的散射。在极低温度下， 系统的输运性质是由费米面附近的电子所决定的。

      • ​ $ξ _{N} = v_{F} τ _{ φ }$ $l_{ φ } = v_{F} τ _{ φ } ​$  

    • ​扩散区 ${}_{}$ $l _{ φ }> L \gg l_{e} ​$  

      • ​ $l_{ φ } = \sqrt{D τ _{ φ } } ​$  

    • ​Aharonov–Bohm effect

    •  Localization

      • ​不存在自旋轨道散射（弱局域）

        • 对于闭合的自相交路径（self-cross trajectory），​在弹性散射下，顺时针和逆时针运动满足时间反演对称性，两者有相同的位相改变。电子回到起始点的概率是经典值（不存在相干性）的两倍，这种散射称为相干背散射。导致电阻上升，因此称为弱局域。
          

      • ​存在强自旋轨道耦合（反弱局域）

        • ​强自旋轨道散射使得电子经过时间反演路径回到起始点的概率小于经典值。因此称为反弱局域。

      • 多个面积不同的干涉环的平均电导随磁场的变化。

        • ​从下到上，随着金的增加，自旋轨道耦合散射增强。实现由弱局域到反弱局域的转变。
          
          磁场破坏时间反演对称性
          

    • ​universal conductance

      fluctuations

• ​超导

  1. 
     

  • ​超导能隙Δ

    • ​ $Δ _{0} =1.76 k_{B} T_{c} ​ ​$ ；T=0

      • ​

    • ​有限温度下

  • ​伦敦穿透深度 $λ _{L}$ 

    • ​外界磁感应强度以指数衰减进入超导体内，衰减至1/e倍时对应的深度为伦敦穿透深度。 $B（x）=B(0) e^{-x/ λ _{L} }$ 

    •  $λ _{L} =( \frac{m^{*} c^{2} }{4 π n_{s} e^{2} } ) ^{ \frac{1}{2} } ​ ​ ​ ​ ​$  ; $n_{s} 是库珀对密度$ 

      1. 超导电子密度是相对于正常电子而言的。超导态下大部分电子都是超导电子。

    • ​GL理论下超导薄膜的临界磁场，d是薄膜厚度，Hc是体态临界磁场。
      

  • ​GL理论

    • ​GL参量 $κ$ ，无量纲与温度无关

    • ​两类超导

      • ​

  • ​库珀对电子相互作用时间 $τ _{p}$ 

    • ​ $τ _{p} \sim \frac{ℏ}{ Δ_{0} }$ 

  • ​超导相干长度 $ξ _{0}$ 

    1. 超导相干长度等于库珀对的尺寸。

    • ​干净极限(Clean limit) $l_{e} \gg ξ _{0} ​ ​ ​ ​ ​$ ​​​​​​ 

      1. 干净极限下，电子呈弹道输运。

      • ​绝对零度下

        • ​ $ξ _{0} = \frac{ℏ v_{F} }{ 2π k_{B} T_{c} }；T_{c}是超导临界温度 ​ ​ ​$  $​ ξ _{0} = \frac{ℏ v_{F} }{ πΔ } ​ ​ ​ ​$ 

        • ​ $ξ _{0} \gg λ _{L}$ 

      • ​ 有限温度下$ξ _{0} = \frac{ℏ v_{F} }{ πΔ }$

        •  $​ ξ (T) = ( \frac{7 ζ (3)}{12} ) ^{1/2} ξ _{0} [1- \frac{T}{ T_{c} } ]^{1/2}$;
          Here ζ(3) ≈ 1.202 is the Riemann zeta function 

    • ​脏极限(Dirty limit) $l_{e} \ll ξ _{0} ​ ​ ​ ​ ​$ 

      1. 在脏极限下，电子呈扩散运动。
      2. 在脏极限下，有更高的临界温度和更短的相干长度。

      • ​绝对零度下

        • ​ $ξ _{dirty} = \sqrt{D τ _{ p} } = \sqrt{ ξ _{0} l_{e} }$ 

        • ​ $​ ξ _{dirty} < λ _{L}$ 

      • ​有限温度下

        • ​ $​ ξ (T) = ( \frac{ π }{2 \sqrt{3} } ) \sqrt{ξ _{0} l_{e} } [1- \frac{T}{ T_{c} } ]^{1/2}$ 

  • ​正常态相干长度 $​ ξ _{N}$ 

    • ​ $​ ξ _{N} = \frac{ℏ v_{F} }{2 π k_{B}T }$ 

  • ​准粒子

    • ​BdG方程

      • ​

    • ​波函数

      • 条件
        

      • ​电子激发波函数 $u$ ,空穴激发 $v$ 。超导中电子可以与空穴耦合形成波戈留波夫准粒子 $\binom{u}{v}$ 。
        这里的 $E_{k} = ϵ _{k}$ ,概率辐U,V有时候也称为相干因子。

      • ​有效电荷(effective change)

        • ​电子型 $Q_{k} =( u_{k} ^{2}-v_{k} ^{2} )= \frac{ ξ _{k} }{ ϵ _{k} } \sim 1$ 

        • ​空穴型 $Q_{k} =( v_{k} ^{2}-u_{k} ^{2} )=- \frac{ ξ _{k} }{ ϵ _{k} } \sim -1$ 

    • ​能谱 $ϵ \left( p \right)$ 

      1. ​在不存在在磁场并且能隙在空间为常数的情况下解BdG方程得出能谱。

      •  $ϵ \left( q\right) = \sqrt{ ξ _{q}^{2} +Δ ^{2} } ; ξ _{q}= \frac{ℏ^{2} }{2m} ( q^{2}- k _{F} ^{2} )$ p=ℏk。
         $ξ _{q}$ $ξ _{k}$ 是波矢为k的单个电子（未耦合）相对于费米能的能量，可正可负。

        • ​

    • ​准粒子态密度 $N( ϵ )$ 

      • ​
         $N(0)$ 这里的E= $ϵ$

      • ​在热平衡下能量为 $E _{k}$ 的准粒子占据概率满足费米分布
        

    • ​非平衡态

      • ​动态平衡（dynamic equilibrium ）

        • ​微扰与弛豫和扩散相互平衡建立起的稳态（ steady-state）。

      • ​非平衡态下的准粒子电荷浓度 $Q^{*}$ 

        • $f_{k}$​$f_k$ 是非平衡分布。
          

      • ​弛豫时间

        ​从微扰（准粒子注入）消失之后，恢复到平衡态的时间。

        两种模型：Schmid and Schon

        • 当​温度非常接近 $T_{c}$ , $Δ \ll KT \simeq K T_{c}$ 
          

      • ​弛豫长度

        在弛豫时间内扩散的长度

        • ​

  • ​Andreev 反射

    • ​准粒子在正常态和超导态界面的反射

    • ​准经典近似(WKB):准粒子的费米波长是超导体系中最短的长度尺寸。 $λ _{F} \sim a_{0} ; λ _{F} \ll ξ ;Δ \ll E_{F}$ $λ _{F} \sim a_{0} ; λ _{F} \ll ξ ; \frac{Δ}{ E_{F} } \sim \frac{ a_{0} }{ ξ }$
      

      • ​ $λ _{F} \sim a_{0} ; λ _{F} \ll ξ ; \frac{Δ}{ E_{F} } \sim \frac{ a_{0} }{ ξ } \ll 1$ , $a_{0} 是晶格常数$ 

      • ​散射势垒和超导能隙在费米波长的尺度内是缓变的。因此准粒子动量守恒。K是好量子数。准粒子波函数可以写成；
         $\binom{u}{v} = e^{ik \cdot r} \binom{U}{V}$ 

    • ​ 代入BdG方程，省去高阶项得到Andeev 方程

      • ​

      • ​一维无磁场且界面无势垒 $I=0 ​$ 的情况
        

        • NS界面​透射与反射率

          • ​ $ϵ >Δ$ 

            1. 能隙外的情况，可以由正常态入射，也可以从超导态入射。

            • ​相干因子

              • ​

            • 例子：从正常态入射一个电子

              1. 一共有四种入射情况；镜面反射b都为零。
              2. 从正常态入射一个电子，沿近似原路径反射一个空穴。并透射一个电子。
              3. 从正常态入射一个空穴，沿近似原路径反射一个电子。并透射一个空穴。
              4. 从超导态入射一个电子，沿近似原路径反射一个空穴。并透射一个电子。
              5. 从超导态入射一个空穴，沿近似原路径反射一个电子。并透射一个空穴。
              6. 电子群速度与波矢k方向相同，空穴群速度与波矢k相反。

              • ​反射一个空穴，反射振幅 $a= \frac{V}{U}$ 

              • ​透射一个电子，透射振幅 $c= \frac{1}{U}$ 

              • ​

          • ​ $ϵ <Δ$ 

            1. 超导能隙内没有准粒子态，因此只可能由正常态入射电子或空穴。

            • ​相干因子

              • ​

            • ​例子：从正常态入射一个电子

              1. 一共两种情况。（没有绝缘层就没有正常反射。）
              2. 从正常态入射一个电子，沿近似原路径反射一个空穴。并拽一个电子形成库珀对进入超导。
              3. 从正常态入射一个空穴，沿近似原路径反射一个电子。并拽一个空穴从超导中湮灭一个库珀对。

              • ​反射一个空穴，反射振幅 $a= \frac{ \tilde{V} }{ \tilde{U} } , \left| a \right| ^{2} =1,完全反射。$ 

              • ​

              • ​

        • SNS结中​Andeev 驻波（ABS）

          • ​条件 $d \ll l_{e} ; l_{e} \gg ξ$ ；只考虑 $ϵ < Δ$ 
             $ω _{x} = \frac{ v_{x} }{d} ;表示粒子在结两端来回的频率。$ 
            

          • ​能量相位关系 $ϵ ( ϕ )$ 

            • ​
              上下分别表示 $k_{x} >0与k_{x} <0。$
                $l$ 代表不同的驻波态
               $-\frac{ π }{2} <\arcsin( \frac{ ϵ }{Δ} ) < \frac{ π }{2}$ 
              
              

              • ​短结

                 $d \ll ξ ； ℏω _{x} \gg Δ$> $ϵ$ ；

                1. 能隙内只有两个驻波态：k>0时l=-1；k<0时l=0。

                • ​

              • 长结
                 $d \gg ξ ； ℏω _{x} \ll Δ$ ；
                在小 $l$ 下， $ϵ \ll Δ$ ； $\arcsin( \frac{ ϵ }{Δ} ) \ll 1$ 

                • ​

              • ​

          • ​SNS结中的超流

            • 条件：结两端不存在压降，处于平衡态;
              
              $1-2f({ϵ}_n)=\tanh (\frac{ϵ}{2k_{B}T})$ .这是对k>0与k<0分开求和.

              • ​点接触：两个超导之间连接的面积 $S \sim λ _{F}^{2}$ 且结长 $d \ll ξ$ .
                波函数在结区没有改变的可能，所以结区是超导材料也是同样的结论。

                • ​

                  • ​临界电流 $I_{c} ​$ :最大无耗散电流。

                    • ​ $T \ll T_{c} ​$ 

                      • ​ $I=I_{c} sin( ϕ /2)tanh( \frac{ \left|Δ \right| }{2 K_{B}T } cos( ϕ /2)) ​$ $I=I_{c} sin( ϕ /2)tanh( \frac{ \left|Δ \right| }{2 K_{B}T } cos( ϕ /2)) \\ \newline I_{c}=通道数*量子电导*电压= N_{>} G( \frac{ πΔ }{e} ) ； ϕ 接近 π 时电流为I_{c}\\ \newline 超流台阶ΔI_{c}=G( \frac{ πΔ }{e} ) = \frac{eΔ}{ℏ} ​$ 

                    • ​ $T \sim T_{c} ​$ 

                      •  $I=I_{c} sin( ϕ )\\ \newline I_{c}=通道数*量子电导*电压* \frac{Δ}{4 K_{B}T } = N_{>} G( \frac{ πΔ }{e} )\frac{Δ}{4 K_{B}T } \\ \newline ϕ = \frac{ π }{2} 时电流为I_{c}\\ \newline 量子化超流ΔI_{c}=G( \frac{ πΔ }{e} )\frac{Δ}{4 K_{B}T } = \frac{eΔ}{ℏ}( \frac{Δ}{4 K_{B}T }) ​$ 

                    • ​
                      不同温度的超流相位关系

                • ​沙文电导（Sharvin Conductence） $\frac{1}{ R_{sh} } = N_{>} \frac{2e ^{2} }{h} = N_{>}G$ ,G是量子电导

              • ​短结：令 $ϵ _{ ϕ } = \left| Δ\right| cos( \frac{ ϕ }{2} )$ 
                

                ​条件1：只考虑 $ϵ <Δ ​$ 的驻波的超流。此时

                 $\left| a \right| ^{2} =1 ​$ 

                能隙外  $ϵ >Δ ​$ 向左和向右的电流相互抵消。

                • ​ $N_{>} = \frac{ π S}{ λ _{F}^{2} } ​$  
                  

                  • ​临界电流 $I_{c} ​$ :最大无耗散电流同上。

              • ​长结: $ϵ >Δ ​$ 存在电流贡献但是很小，所以也只考虑 $ϵ<Δ ​$ 
                的驻波。
                条件1： $\mathrm{}$ $低温 k_{B} T \ll Δ;长结d \gg ξ _{0} ; d \gg ξ _{N} ,ω _{x} \ll k_{B} T ​$  

                • ​ $I= I_{c}sin( ϕ ) \newline I_{c}= \frac{1}{2e R_{sh} } \frac{16ℏv_{F} }{d} e^{-d/ ξ _{N} } \newline 正常态相干长度 ξ _{N} ​$ 

                  超导的近邻效应：超导诱导正常态中的电子形成库珀对类型的关联。这个关联以ξN的特征长度衰减。正常态相干长度ξN与温度成反比。所以升温可以减小临近效应。

                  ​

          • ​一维Rashba自旋轨道耦合的SNS结

            • 在单通道下，​自旋轨道耦合使得自旋向上和向下的能带色散劈裂，自旋简并解除。
              

              • ​但是自旋轨道耦合不会使得ABS的自旋简并解除，因为在费米面处自旋向上和自旋向下有着相同的费米速度。
                
                黑色实线和虚线分别代表向右和向左运动。

            • ​在多通道情况下，自旋轨道耦合$k _{y} σ _{x} 项$ 引起具有相反自旋的不同通道之间耦合
              

              • ​不同通道之间的耦合使得ABS态自旋简并解除，因为费米面处
                不同自旋对应的费米速度不同。（红色和黑色代表不同自旋且色散关系的群速度不同）
                
                

            • ​​一维无磁场且界面有势垒 $I \ne 0$  的情况

              • 单通道情况，电子或空穴存在散射使得向左和向右运动耦合而打开能隙，蓝星代表散射势。
                
                
                

                • 单通道下​ABS态是自旋简并的。
                  

              • ​多通道情况下，ABS态自旋简并解除。散射使得左右运动耦合。打开能隙
                

                • ​ABS态的激发谱分为双粒子跃迁与单粒子跃迁
                  
                  

                • 平面内施加不同方向的磁场对单粒子跃迁能谱的影响​

  • BTK理论：​存在绝缘层 $U(x)=I δ (x) ​$
     

    • 
      

       $无量纲Barrier strength: \newline Z= \frac{mI}{ ℏ^{2} \left| k_{x} \right| } \newline k_{x} = k_{F}cos( θ ) ,Z是角度 θ 的函数$ 

    • ​NIS界面反射与透射率
      

      1. 
         

      • ​
        一个电子或空穴从正常态入射到超导

        • ​

      • 例1：一个​ $ϵ <Δ$ 
        的电子从正常态入射

        • ​存在Andeev反射：
          也存在镜面反射： $\left| a \right| ^{2}+ \left| b \right| ^{2}=1$ 

      • ​例2：一个 $ϵ >Δ$ 的电子从正常态入射

        1. 类似无绝缘层Andeev共有四种情况。

    • ​NIS界面的电流

      • ​从正常态传输到超导的电流分为两部分。第一部分通过Andreev 反射转化成超流。第二部分透射进入超导作为非平衡准粒子 $Q ^{*}$ ，经过 $Λ_{Q ^{*} }$ 的距离弛豫成超流。

      • ​条件：将超导接地电势 $φ =0$ 
        正常态施加电压V。

        • ​ $1- \left|b \right| ^{2} +\left|a \right| ^{2} 是粒子空穴透射系数， 说明Andeev反射提高透射率。$  $AeN(0) v_{F} S= \frac{1}{eR_{sh} }$
          其中 $AeN(0) v_{F} S= \frac{1}{eR_{sh} }$ 

        • ​隧道电流：对于 $Z \gg 1$  $,T \ll T_{c}$ 

          • ​
             亥维赛阶跃函数 $Θ(t) = \begin{cases} 0 &\text{if } t<0 \\ 1 &\text{if } t>0 \end{cases}$ 

        • ​在超导变为正常态后 $Δ=0；V=0;U=1$ .没有Andeev 反射： $a=0$ 
          只有镜面反射： $b= \frac{-iZ}{1+iZ} ; \left| b \right| ^{2} = \frac{ Z^{2} }{1+Z^{2}}$ 
          没有空穴透射：d=0
          

          只有电子透射：​

           $c= \frac{1}{1+iZ} ; T=\left| c \right| ^{2} = \frac{ 1 }{1+Z^{2}}$ 

          • ​NIN正常态欧姆定律： $I_{NIN} = \frac{V}{R_{_{N}}} ;\frac{1}{R_{_{N}}} = \frac{A e^{2} N_{0} v_{F} S }{1+ Z^{2} }$  $= \frac{1}{ R_{sh}(1+ Z^{2} ) }$ 
            

            • ​

          • ​Landauer formula: $\frac{1}{ R_{N} } =G _{NIN} = \frac{2e ^{2} }{h} {\displaystyle \sum_{n}^{N}{ T_{n} } }$ Tn​=1−∣bn​∣2=1+Zn2​1   第n个通道的透射率​N>​=πℏAN(0)vF​S 
            

        • ​过剩电流：在高偏置电压 $eV \gg Δ$ 下,I_V曲线变成
          以 $\frac{1}{R _{N} }$ 为斜率的线性关系。但是有一个常数电流移动。
          称为过剩电流 $I_{exc}$ 。

          • ​定义： $I_{exc}(V) =I_{NIS}(V) -I_{NIN}(V)$ 
            随着偏置电压增大而达到饱和 $I_{exc}( \infty ) = \frac{1}{2 \left| e\right| R_{N} } \int_{- \infty }^{ \infty } d ϵ \left[ (1+ Z^{2} ) \left( 1- \left| b \right| ^{2} +\left| a \right| ^{2} \right) -1 \right]$
            

            • ​对于 $Z=0;Δ \ll K _{B} T;Δ \ll eV$

              • ​ $I_{NIS}(V)= \frac{V}{ R_{N} } +I _{exc} (V) \\I _{exc} (V)= \frac{4Δ}{3e R_{N} } tanh( \frac{eV}{2K _{B} T} )$
                
                当偏置 $eV \gg Δ$ ，过剩电流为 $4 Δ/3e R_{N}$ $\frac{4 Δ}{3e R_{N}}$ ；
                

              • ​对于超导结SNS，可以认为两个SN界面串联。过剩电流为两者之和：

            • ​对于 $Z \ne 0$ ; $eV \gg Δ$ 
              重整化量 $\frac{eI _{exc}R_{N} }{Δ}$ 只是势垒强度Z的函数，温度的影响包含在Δ中。

              • ​

        • ​NS界面 $Z=0,eV \ll Δ$
           Andeev反射使得电导是正常态两倍。这是由于电子空穴共同参与导电。

          • ​

        • ​
          低温下I_V曲线。       $\frac{dI}{dV} ∝1+ \left| a \right| ^{2}- \left| b \right| ^{2}$ 

    • SINIS结

      • ​
        假设散射主要发生在界面，正常区域没有散射

      • ​正常态欧姆定律

        • ​ $I= \frac{ Ae ^{2} N(0) v_{F} S}{1+2 Z^{2} }V= \frac{V}{R_{N} } \\R_{N}= R_{sh} (1+2Z^{2})$ 
          由于存在两个界面势垒。

      • ​多重安德列夫反射MAR(次谐波能隙结构Subharmonic energy-gap structure )
        PRB.27,6739

        1. 在无散射情况z=0下，当温度接近0，次谐波能隙结构逐渐消失。也就是说尽管多重安德列夫反射导致次谐波能隙结构，也需要在正常反射的作用下放大后才能在低温下观测到。

        • ​
          

        • 

    • ​SIS结的驻波态

      • 情况1： $ϵ <Δ$ 
        能量相位关系 $ϵ( ϕ )$ 

        • ​

          1. 界面势垒使得镜面反射存在，导致向左运动和向右运动的两支能带耦合而打开gap。
          2. 当T=1时，变成完全Andeev反射。
          3. 当T~0时，gap贴合体能隙。

        • ​ $ϵ( ϕ )= \pm \left| Δ\right| \sqrt{{1-Tsin( ϕ /2)} }$ 

      • ​SIS结中的超流：
        结两端不存在压降，处于平衡态;
        

        • ​
          

          $\frac{1}{ R_{N} } = \frac{T}{ R_{sh} } ​$

          • 透射率  $T =1$  
            

            • ​

          • ​透射率  $T \ll 1$ 

            • ​ $\frac{1}{ R_{N} } = \frac{T}{ R_{sh} }$ 
              

      • ​超导弱连接(weak link)
        Josephson effect

        1. 电导越小，超流相位关系越接近正弦函数。
        2. Josephson 结可视为两个超导体之间的弱耦合。因此超流相位关系为正弦函数。

        • ​磁通相位关系 $ϕ = \frac{2e}{ℏ} Φ,Φ是磁通$ 
          

        • ​DC Josephson effect
          K是耦合能，N1，N2是库珀对数量。

          这里的Ic就是SIS结中透射率远小于1时候的Ic.

        • ​Josephson 自由能：
           $F_{J} = E_{J} (1-cos( ϕ )) ​$ ;
           $E_{J} = \frac{ℏI_{c} }{2e}$ 
          

          1. 自由能：相对于没有超流时候的能量。
          2. 自由能与驻波的能量相位关系是不同的。自由能是实际的能量。能量相位关系相当于能谱。

        • ​AC Josephson effect:  由功率关系
           $\frac{dF_{J} }{dt} = I_{s} V$ 可得 :
          $ℏ ω _{J} =2eV; \newline ℏ \frac{d ϕ }{dt} =2eV$ 
          

          1. 此功率关系没有考虑Josephson 结的正常电阻和电容。

        • ​Josephson 电感L，依赖于结两端的相位。
          
          

          感生电动势与电流变化率成正比，比例系数就是电感。