​常微分方程

• 一阶微分方程的求解

  • ​变量可分离型（ $y'=f(x)g(y)$ )

    • ​解法：同性相吸，异性两边

  • ​可视化变量可分离型（ $\dfrac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ )

    • 解法：令 $u=ax+by+c$ 

  • ​一阶线性微分方程（ $y′+p(x)y=q(x)$ ）

    • ​解法： $y=e^{-∫p(x)dx} [∫e^{p(x)}dx\cdot q(x)dx+C]$ 

  • ​伯努利方程（ $y′+p(x)y=q(x)y^{n}$ )

• ​二阶可降阶微分方程的求解

  • ​ $y''=f(x,y')$ 型（方程中不显含未知函数 $y$ ）

    • ​解法：令 $y'=p(x),y''=p'$ 

  • ​ $y''=f(y,y')$ 型（方程中不显含自变量 $x$ ）

    • 解法：令 $y'=p(x),y''=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot p$ 

• ​高阶线性微分方程的求解

  • ​二阶常系数齐次线性微分方程 $y''+py'+qy=0$ )的通解

    • ​若 $p^{2}-4q >0$ , $λ _{1}、λ _{2}$ 是特征方程的两个不等实根，可得其通解为 $y=C_{1}e^{λ _{1}x } +C_{2}e^{λ _{2}x }$ 

    • 若 $p2−4q=0$ , $λ$ 是特征方程的两个相等的实根，可得其通解为 $y=(C_{1}+C_{2}x)e^{λ x}$ 

    • ​若 $p2−4q<0$ , $α \pm β i$ 是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为 $y=e^{ax}(C_{1}cosβ x+C_{2}sinβ x)$ 

  • ​二阶常系数非齐次线性微分方程 $y''+py'+qy=f(x)$ )的特解

    • 解法：参考书本。