对数运算-ZhiMap思维导图

对数运算
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- 对数定义： $a^b=N \Rightarrow b=log_{a}N$
- 对数恒等式： $a^{log \frac{N}{a} } =N$ $a^{{log_a}N}=N$
- 对数运算
  - 加： $log_{a}M+log_{a}N=log_{a}MN$ $log_{a}^{M}+ log_{a}^{N}= log_{a}^{MN}$
  - 减： $log_{a}M-log_{a}N=log_{a}\tfrac{M}{N}$
  - $log _{a}^{M^n}=n log_{a}^{M}$ $log_aM^n=nlog_aM$
- 换底公式
  - $log_NM=\tfrac{log_{a}M}{log_{a}N}$
  - $log_NM \cdot log_MN=1$
    - $log_{a}^{b} \cdot log_{b}^{c}\cdot log_{c}^{d}=log_{a}^{d}$ $l o g_{a}^{b} \cdot l o g_{b}^{c} \cdot l o g_{c}^{d} = l o g_{a}^{d}$
  - $log_{N^m}{M^n}=\frac{n}{m}log_{N}M$
  - $log_aM \cdot log_bN=log_aN \cdot log_bM$ $l o g_{a} M \cdot l o g_{b} N = l o g_{a} N \cdot l o g_{b} M$
    - $N^{log_{a}^{M}}=M^{log_{a}^{N}}$
- 重点题型
  - 题型一： $log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}$
    - $log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}$ $= \frac{2 1}{4}$
    - $log_{2 \sqrt{2}}32 \sqrt[4]{5} =\tfrac{18}{5}$
    - $lg25+lg2 \cdot lg50+(lg2)^2=2$
  - 题型二： $已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15}$
    - $lg2=a,lg3=b,lg用a，b表示lg \sqrt{45} 的值；\newline lg \sqrt{45}=\tfrac{1}{2}（2b-a+1）$ $lg2=a,lg3=b,lg用a，b表示lg \sqrt{45} 的值；lg \sqrt{45}=\tfrac{1}{2}（2b-a+1）$
    - $已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15}$
  - 题型三：换元
    - $2(log_2x)^2+9log_{0.5}x+9=0$
    - $（log_3x）^2+2log_{\tfrac{1}{3}}x-3>0$

对数运算

​对数定义： ab=N⇒b=logaNa^b=N \Rightarrow b=log_{a}Nab=N⇒b=loga​N

​对数恒等式： alogNa=N a^{log \frac{N}{a} } =N alogaN=Na^{{log_a}N}=Naloga​N=N

​对数运算

​加： logaM+logaN=logaMNlog_{a}M+log_{a}N=log_{a}MNloga​M+loga​N=loga​MNlogaM+logaN=logaMN log_{a}^{M}+ log_{a}^{N}= log_{a}^{MN}

​减： logaM−logaN=logaMNlog_{a}M-log_{a}N=log_{a}\tfrac{M}{N}loga​M−loga​N=loga​NM​

​ logaMn=nlogaMlog _{a}^{M^n}=n log_{a}^{M} logaMn=nlogaMlog_aM^n=nlog_aMloga​Mn=nloga​M

​换底公式

logNM=logaMlogaNlog_NM=\tfrac{log_{a}M}{log_{a}N}logN​M=loga​Nloga​M​

​ logNM⋅logMN=1log_NM \cdot log_MN=1logN​M⋅logM​N=1

logab⋅logbc⋅logcd=logadlog_{a}^{b} \cdot log_{b}^{c}\cdot log_{c}^{d}=log_{a}^{d} logab​⋅logbc​⋅logcd​=logad​

​ logNmMn=nmlogNMlog_{N^m}{M^n}=\frac{n}{m}log_{N}MlogNm​Mn=mn​logN​M

logaM⋅logbN=logaN⋅logbMlog_aM \cdot log_bN=log_aN \cdot log_bMloga​M⋅logb​N=loga​N⋅logb​M

​ NlogaM=MlogaNN^{log_{a}^{M}}=M^{log_{a}^{N}}NlogaM​=MlogaN​

​重点题型

​题型一： log32743+2log510+log50.25+71−log7 2log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}计算

​ log32743+2log510+log50.25+71−log7 2log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}log33427​​​+2log5​10+log5​0.25+71−log72​=421​

log223254=185log_{2 \sqrt{2}}32 \sqrt[4]{5} =\tfrac{18}{5}log22​​3245​=518​

lg25+lg2⋅lg50+(lg2)2=2lg25+lg2 \cdot lg50+(lg2)^2=2lg25+lg2⋅lg50+(lg2)2=2

​题型二： 已知3a=5b=c，且1a+1b=2，则c=15已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15} 转化​

​ 已知3a=5b=c，且1a+1b=2，则c=15已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15} 已知3a=5b=c，且a1​+b1​=2，则c=15​

​题型三：换元

2(log2x)2+9log0.5x+9=02(log_2x)^2+9log_{0.5}x+9=02(log2​x)2+9log0.5​x+9=0

（log3x）2+2log13x−3>0（log_3x）^2+2log_{\tfrac{1}{3}}x-3>0（log3​x）2+2log31​​x−3>0

对数定义： $a^b=N \Rightarrow b=log_{a}N$

对数恒等式： $a^{log \frac{N}{a} } =N$ $a^{{log_a}N}=N$

对数运算

加： $log_{a}M+log_{a}N=log_{a}MN$ $log_{a}^{M}+ log_{a}^{N}= log_{a}^{MN}$

减： $log_{a}M-log_{a}N=log_{a}\tfrac{M}{N}$

$log _{a}^{M^n}=n log_{a}^{M}$ $log_aM^n=nlog_aM$

换底公式

$log_NM=\tfrac{log_{a}M}{log_{a}N}$

$log_NM \cdot log_MN=1$

$log_{a}^{b} \cdot log_{b}^{c}\cdot log_{c}^{d}=log_{a}^{d}$ $l o g_{a}^{b} \cdot l o g_{b}^{c} \cdot l o g_{c}^{d} = l o g_{a}^{d}$

$log_{N^m}{M^n}=\frac{n}{m}log_{N}M$

$log_aM \cdot log_bN=log_aN \cdot log_bM$ $l o g_{a} M \cdot l o g_{b} N = l o g_{a} N \cdot l o g_{b} M$

$N^{log_{a}^{M}}=M^{log_{a}^{N}}$

重点题型

题型一： $log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}$

$log_3^\tfrac{ \sqrt[4]{27} }{3}+2log_510+log_50.25+7^{1-log_{7}^{\;2}}$ $= \frac{2 1}{4}$

$log_{2 \sqrt{2}}32 \sqrt[4]{5} =\tfrac{18}{5}$

$lg25+lg2 \cdot lg50+(lg2)^2=2$

题型二： $已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15}$

$已知3^a=5^b=c，且\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}=2，则c= \sqrt{15}$

题型三：换元

$2(log_2x)^2+9log_{0.5}x+9=0$

$（log_3x）^2+2log_{\tfrac{1}{3}}x-3>0$