复数

• ​定义

  •  $z=a+bi$ $z=a+bi(a,b ϵ R)$  

    • ​a:实部

    • ​b:虚部

    • ​i:虚数单位，满足 $i^{2} =-1$ 

      • ​ $i^{4n} =1$ 

      •  $i^{4n+1} =i$ 

      •  $i^{4n+2} =-1$ 

      •  $i^{4n+3} =-i$ 

• ​字母表示：C

• ​复数的几何意义

  • ​复平面

    • ​建立直角坐标系来表示复数的平面

    • ​

  • ​实轴，虚轴

    • 实轴上的点表示所有实数，虚轴上的点除了原点外表示纯虚数

  • ​复数的几何表示

    • ​复数 $z=a+bi$ 

    • ​

    • ​复平面上的点Z（a，b）

• ​分类

  • ​实数：b=0

  • ​虚数： $b \neq 0$ 

    • ​纯虚数： $a=0且b \neq 0$ 

    • ​非纯虚数： $a \neq 0且b \neq 0$ 

• ​共轭复数

  • ​ $a +bi与a-bi互为共轭复数$ 

  • ​复平面里对应点关于实轴对称

  • ​性质：

    • 

      ​

• ​复数运算

  • ​四则运算

     $z _{1} =a+bi$ ， $z _{2} =c+di$ 

    • ​加

      •  $z_{1} +z _{2} =（a+c）+（b+d）i$ 

    • ​减

      • ​ $z_{1} -z _{2} =（a-c）+（b-d）i$ 

    • ​乘

      •  $z_{1} z _{2} =（ac-bd）+（ad+bc）i$ 

    • ​除

      • ​ $\frac{ z_{1} } {z_{2} } = \frac{ac+bd}{ c^{2}+ d^{2} } + \frac{bc-ad}{ c^{2}+ d^{2} }$  

    • ​乘方

      • ​例：

    • ​开方

      • 

        ​例：求 $1+i$ $2i$ 的平方根

  • ​加法运算律

    • ​交换律，结合律

  • ​乘法运算律

    • ​交换律，结合律，乘法对加法的分配律

• ​复数相等

  • ​ $a +bi=c+di \Leftrightarrow a=c且b=d$ 

• ​复数的模

  • ​ $向量OZ的模 \Leftrightarrow \bar{z} 的模为 \left| \ \bar{z} \right| = \sqrt{ a^{2}+ b^{2} }$ 

  • 

    ​模的性质