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计算物理
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- 方程求根
  - 方法
    - 二分法
    - 迭代法
    - 牛顿法
    - 弦截法
    - 试位法
    - Muller 法
    - 多维情况下，使用高维牛顿法
- 数值微分
  - 定义：利用函数在某些离散点的函数值，推断函数在某点的导数或高阶导数值（差分代替微分）
  - 方法：对称中心差分单边差分五点差分，不同的方法有不同的精度
  - 误差：①、舍入误差：数值类型有限位精度 ②、近似误差：步长不可能无限小
  - 偏微分数值估计：将一个值确定，改变另一个值
- 最优化问题
  - 定义
    - 找到一组值{x_i},使得f的值极大/极小
  - 方法
    - 黄金分割法
    - 抛物线拟合
    - 梯度下降
    - 牛顿与拟牛顿法
    - 共轭动量法
    - 单纯形法
- 数值积分
  - 定义：利用函数在一些离散点的函数值推算积分， $I=\Sigma_{i=0}^nA_if(x_i)$
  - 误差：数值积分算得值与实际值的差称为余项
  - 复化积分：将积分区间分为几个小的部分，再积分
  - 变步长积分：误差达到要求值后，积分步长可变（误差用两次积分计算结果之差来估计误差）
  - 自适应步长积分：判断每个段的精度，满足则返回，不满足则二分提高精度
  - 高斯-勒让德积分：以勒让德多项式的零点为积分节点
  - 方法：
    - 牛顿-柯特斯积分公式（会出现龙格现象）
      - 梯形积分 $\frac{h}{2}(f_0+f_1)$
      - 辛普森积分
        $\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$
        $\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$
      - 柯特斯积分 $\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$
      - 龙贝格递推公式：从辛普森积分和科斯特积分到更高的精度
- 傅里叶变换、FFT
  - $\hat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$
  - 一般遇到的数据都为离散数据、引入离散傅里叶变换： $c_k=\Sigma_{j=0}^{N-1}a_je^{-jk\frac{2\pi i}{N}}$
  - 为了加快运算速度引入快速傅里叶变换：fftpack.fft fftpack.ifft
- 插值
  - 定义：已知函数在某些点的函数值，构造函数经过所有点
  - 方法：
    - 拉格朗日插值
    - 牛顿插值
    - 分段插值
    - 分段Hermite插值
    - 二重Hermite插值
    - 样条插值
- 常微分方程
  - 欧拉法 $y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$
  - (隐格式）梯度法 $y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$
  - 多步法 $y_{n+1}=\frac{h}{12}(23f_n-16f_{n-1}+5f_{n-2})$
  - 预估-校正公式
  - 龙格-库塔方法
    - 四阶龙格-库塔方法是工程上的标准方法
  - 微分方程组求解 $y'=f(x,y)$
  - 二阶微分方程组 $y''=f(x,y)$
- 拟合
  - 定义：构造函数尽可能逼近给定的离散数据点（数据点有噪声、数据点很多）
  - 方法：最小二乘拟合，已知数据点为 ${(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)……(x_n,y_n )}$ ，则要求拟合后的函数其误差为： $Q=\Sigma_{i=1}^n(f(x_i)-y_i)^2$ 最小
  - 为了抑制高阶多项式回归抖动，发明了岭回归和套索回归，他们的区别在于损失函数中加入的正则项不同
    - 岭回归： $α \Sigma_{i=0}^n\theta^2_i$
    - 套索回归： $α \Sigma_{i=0}^n|\theta_i|$
  - 机器学习
- 蒙特卡洛法
  - 定义：不停的随机抽样以或得数值结果的计算方法使用随机性来解决原则上可能是确定性的问题
  - 方法
    - 逆变换采样
    - 舍选采样
    - 重要性采样
  - 马尔可夫链蒙特卡罗法
    - 在一系列随机事件中，每个事件的概率分布函数仅仅取决于前一事件
    - metropolis-hastings算法

计算物理

​方程求根

​方法

二分法

​迭代法

​牛顿法

​弦截法

​试位法

​Muller 法

​多维情况下，使用高维牛顿法

​数值微分

定义：利用函数在某些离散点的函数值，推断函数在某点的导数或高阶导数值（差分代替微分）

​方法：对称中心差分 单边差分 五点差分，不同的方法有不同的精度

​误差：①、舍入误差：数值类型有限位精度 ②、近似误差：步长不可能无限小

偏微分数值估计：将一个值确定，改变另一个值​

​最优化问题

​定义

​找到一组值{x_i},使得f的值极大/极小

​方法

​黄金分割法

​抛物线拟合

​梯度下降

​牛顿与拟牛顿法

​共轭动量法

​单纯形法

​数值积分

​定义：利用函数在一些离散点的函数值推算积分， I=Σi=0nAif(xi)I=\Sigma_{i=0}^nA_if(x_i)I=Σi=0n​Ai​f(xi​)

​误差：数值积分算得值与实际值的差称为余项

复化积分：将积分区间分为几个小的部分，再积分

变步长积分：误差达到要求值后，积分步长可变（误差用两次积分计算结果之差来估计误差）

​自适应步长积分：判断每个段的精度，满足则返回，不满足则二分提高精度

​高斯-勒让德积分：以勒让德多项式的零点为积分节点

​方法：

​牛顿-柯特斯积分公式（会出现龙格现象）

​梯形积分 h2(f0+f1)\frac{h}{2}(f_0+f_1)2h​(f0​+f1​)

​辛普森积分

​ h3(f0+4f1+f2)\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)3h​(f0​+4f1​+f2​)

​ 3h8(f0+3f1+3f2+f3)\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)83h​(f0​+3f1​+3f2​+f3​)

​柯特斯积分 2h45(7f0+32f1+12f2+32f3+7f4)\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)452h​(7f0​+32f1​+12f2​+32f3​+7f4​)

​龙贝格递推公式：从辛普森积分和科斯特积分到更高的精度

​傅里叶变换、FFT

​ f^(k)=∫−∞+∞f(x)e−ikxdx\hat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dxf^​(k)=∫−∞+∞​f(x)e−ikxdx

​一般遇到的数据都为离散数据、引入离散傅里叶变换： ck=Σj=0N−1aje−jk2πiNc_k=\Sigma_{j=0}^{N-1}a_je^{-jk\frac{2\pi i}{N}}ck​=Σj=0N−1​aj​e−jkN2πi​

为了加快运算速度引入快速傅里叶变换：fftpack.fft fftpack.ifft

​插值

​定义：已知函数在某些点的函数值，构造函数经过所有点

​方法：

​拉格朗日插值

​牛顿插值

​分段插值

​分段Hermite插值

​二重Hermite插值

​样条插值

​常微分方程

​欧拉法 yn+1=yn+hf(xn,yn)y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)yn+1​=yn​+hf(xn​,yn​)

​(隐格式）梯度法 yn+1=yn+hf(xn+1,yn+1)y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})yn+1​=yn​+hf(xn+1​,yn+1​)

​多步法 yn+1=h12(23fn−16fn−1+5fn−2)y_{n+1}=\frac{h}{12}(23f_n-16f_{n-1}+5f_{n-2})yn+1​=12h​(23fn​−16fn−1​+5fn−2​)

​预估-校正公式

​龙格-库塔方法

​四阶龙格-库塔方法是工程上的标准方法

​微分方程组求解 y′=f(x,y)y'=f(x,y)y′=f(x,y)

​二阶微分方程组 y′′=f(x,y)y''=f(x,y)y′′=f(x,y)

​拟合

​定义：构造函数尽可能逼近给定的离散数据点（数据点有噪声、数据点很多）

​为了抑制高阶多项式回归抖动，发明了岭回归和套索回归，他们的区别在于损失函数中加入的正则项不同

​岭回归： αΣi=0nθi2 α \Sigma_{i=0}^n\theta^2_iαΣi=0n​θi2​

​套索回归： αΣi=0n∣θi∣ α \Sigma_{i=0}^n|\theta_i|αΣi=0n​∣θi​∣

​机器学习

​蒙特卡洛法

定义：​不停的随机抽样以或得数值结果的计算方法​使用随机性来解决原则上可能是确定性的问题

方法

​逆变换采样

​舍选采样

​重要性采样

​马尔可夫链蒙特卡罗法

​在一系列随机事件中，每个事件的概率分布函数仅仅取决于前一事件

​metropolis-hastings算法

方程求根

方法

迭代法

牛顿法

弦截法

试位法

Muller 法

多维情况下，使用高维牛顿法

数值微分

方法：对称中心差分单边差分五点差分，不同的方法有不同的精度

误差：①、舍入误差：数值类型有限位精度 ②、近似误差：步长不可能无限小

偏微分数值估计：将一个值确定，改变另一个值

最优化问题

定义

找到一组值{x_i},使得f的值极大/极小

方法

黄金分割法

抛物线拟合

梯度下降

牛顿与拟牛顿法

共轭动量法

单纯形法

数值积分

定义：利用函数在一些离散点的函数值推算积分， $I=\Sigma_{i=0}^nA_if(x_i)$

误差：数值积分算得值与实际值的差称为余项

自适应步长积分：判断每个段的精度，满足则返回，不满足则二分提高精度

高斯-勒让德积分：以勒让德多项式的零点为积分节点

方法：

牛顿-柯特斯积分公式（会出现龙格现象）

梯形积分 $\frac{h}{2}(f_0+f_1)$

辛普森积分

$\frac{h}{3}(f_0+4f_1+f_2)$

$\frac{3h}{8}(f_0+3f_1+3f_2+f_3)$

柯特斯积分 $\frac{2h}{45}(7f_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)$

龙贝格递推公式：从辛普森积分和科斯特积分到更高的精度

傅里叶变换、FFT

$\hat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ikx}dx$

一般遇到的数据都为离散数据、引入离散傅里叶变换： $c_k=\Sigma_{j=0}^{N-1}a_je^{-jk\frac{2\pi i}{N}}$

插值

定义：已知函数在某些点的函数值，构造函数经过所有点

方法：

拉格朗日插值

牛顿插值

分段插值

分段Hermite插值

二重Hermite插值

样条插值

常微分方程

欧拉法 $y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)$

(隐格式）梯度法 $y_{n+1}=y_n+hf(x_{n+1},y_{n+1})$

多步法 $y_{n+1}=\frac{h}{12}(23f_n-16f_{n-1}+5f_{n-2})$

预估-校正公式

龙格-库塔方法

四阶龙格-库塔方法是工程上的标准方法

微分方程组求解 $y'=f(x,y)$

二阶微分方程组 $y''=f(x,y)$

拟合

定义：构造函数尽可能逼近给定的离散数据点（数据点有噪声、数据点很多）

为了抑制高阶多项式回归抖动，发明了岭回归和套索回归，他们的区别在于损失函数中加入的正则项不同

岭回归： $α \Sigma_{i=0}^n\theta^2_i$

套索回归： $α \Sigma_{i=0}^n|\theta_i|$

机器学习

蒙特卡洛法

定义：不停的随机抽样以或得数值结果的计算方法使用随机性来解决原则上可能是确定性的问题

逆变换采样

舍选采样

重要性采样

马尔可夫链蒙特卡罗法

在一系列随机事件中，每个事件的概率分布函数仅仅取决于前一事件

metropolis-hastings算法