高等数学（微积分为主）

• ​函数与极限

  • ​函数

    • ​函数的概念与分类

      • ​分段函数 隐函数 初等函数 反函数 复合函数

        • ​反函数：反三角函数，反余切函数， 反正切函数，反余弦函数，反正弦函数

        • ​基本初等函数：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

          • 初等函数：​基本初等函数经过有限四则运算和有限复合步骤得到可用一个解析式表示的函数叫做初等函数

    • ​函数的性质

      • ​有界性 单调性 奇偶性 周期性

    • ​函数的要素：对应规律和定义域，值域为派生要素

    • ​函数的定义，记号，三种表示法

      • ​表格法

      • ​图像法

      • ​公式法

  • ​极限

    • ​定义和性质

      • ​极限概念

      • ​数列极限的唯一性，有界性，保号性，收敛数列与其子数列之间的关系

      • ​函数极限的唯一性，局部有界性，局部保号性，函数极限与数列极限的关系

    • ​计算方法

      • ​四则运算法则，幂指运算法则

      • ​夹逼准则，单调有界准则

      • ​洛必达法则，泰勒公式

      • ​两个重要极限（1极限和e极限）等价无穷小因子替换

    • ​无穷小

      • ​无穷小与无穷大之间的定义和其之间的关系

      • ​无穷小的性质和运算，无穷小与极限的关系

      • ​无穷小阶的比较与确定

  • ​连续

    • ​定义

      • ​初等函数，分段函数，反函数，复合函数的连续性的判定

    • ​连续函数的性质

      • ​闭区间上连续函数的有界性与最大值最小值定理，零点定义与介值定理，一致连续性

    • ​间断点的分类

      • ​第一类间断点：左右极限皆存在：（包括可去间断点和跳跃间断点）

      • ​第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

• ​导数与微分

  • ​导数

    • ​概念：定义和几何意义

      • ​几何意义是切线的斜率

    • ​高阶导数

      • ​莱布尼茨公式

      • ​隐函数，参数方程的高阶导数

    • ​求导的方法

      • ​基本公式

      • ​四则运算

      • ​隐函数求导

      • ​参数方程求导

  • ​微分

    • ​概念

      • ​定义

        • ​函数可导  互推  函数可微

      • ​几何意义

        • ​切线的纵坐标的增量

    • ​应用

      • ​近似计算，误差分析

• ​微分中值定理与导数的应用

  • ​中值定理

    • ​罗尔定理

    • ​拉格朗日中值定理

    • ​柯西中值定理

    • ​泰勒公式

      • ​麦克劳林公式

  • ​洛必达法则

    • 零比零型，无限比无限型求极限

  • ​导数应用

    • ​函数的单调性

    • ​曲线的凹凸性

      • ​曲线凹凸的判别法

    • ​函数极值的判别方法

      • ​极值的定义

      • ​极值的第一充分条件

      • ​极值的第二充分条件

    • ​弧微分与曲率

      • ​曲率半径  曲率圆

      • ​曲率中心  渐曲线与渐伸线

• ​向量代数与空间解析几何

  • ​向量代数

    • ​向量的概念

      • ​表示方法

      • ​模，方向，方向角，方向余弦

    • ​向量的运算

      • ​线性运算

      • ​数量积，向量积

      • ​混合积（a×b）·c

    • ​向量的位置关系

      • ​两向量垂直，平行

      • ​三向量共面

  • ​解析几何

    • ​平面方程

      • ​点法式

      • ​一般式

      • ​截距式

    • ​直线方程

      • ​一般式

      • ​对称式

      • ​参数式

    • ​线面关系：夹角，平行，垂直

      • ​面面关系

      • ​线线关系

      • ​线面关系

    • ​曲面

      • ​旋转曲面

      • ​柱面

      • ​二次曲面

    • ​曲线

      • ​投影曲线

      • ​参数式，一般式方程

• ​不定积分

  • ​基本理论：

    • ​原函数概念，不定积分概念，积分曲线概念

    • ​基本公式

  • ​换元积分法：

    • ​第一类换元积分法

    • ​第二类换元积分法

  • ​分部积分法

  • ​有理函数的积分：两个多项式之比即有理函数的积分：用待定系数法把有理函数分解成简单形式之和，再积分

  • ​三角函数有理式的积分：用万能代换将积分化为有理函数的积分

  • ​简单无理函数的积分：用变量代换将无理式化为有理函数的积分

• ​多元函数微分学（一元函数微分学的推广）及其应用

  • ​基本概念

    • 多元函数

    • ​极限

    • ​连续

    • ​偏导数，方向导数，梯度

    • ​全微分

  • 性质

    • ​极限，偏导数，连续性及全微分之间的关系

    • ​闭区域上连续函数的性质

  • ​微分法

    • ​定义法

    • ​复合函数微分法

    • 隐函数微分法

      • ​一个方程情形

      • ​方程组情形

  • ​应用

    • ​极值

      • ​无条件极值

        • ​必要条件，充分条件

      • ​条件极值

        • ​定义法

        • 拉格朗日乘数法

    • ​几何应用

      • ​求曲线的切线与法平面

      • ​求空间曲线的切平面与法线

• ​多元函数积分学

  • ​重积分

    • ​二重积分

      • ​概念

      • ​性质

      • ​计算方法

        • ​直角坐标法

          • ​先x后y积分法

          • ​先y后x积分法

        • ​极坐标法

          • ​先r后 $θ$ 积分法

          • ​先 $θ$ 后r积分法

    • ​三重积分

      • ​概念

      • ​性质

      • ​计算方法

        • ​直角坐标法

        • 柱面坐标法

        • ​球面坐标法

    • ​重积分的应用

      • ​几何

        • ​求面积

        • ​求体积

      • ​物理

        • ​求质量

        • ​求质心

        • ​求转动惯量

        • ​求引力

    • ​含参变量的积分

      • 概念

      • ​性质→应用

  • ​曲线面积分

    • ​曲线积分

      • ​对弧长的（第一类）曲线积分

        • ​概念

        • ​性质

        • ​计算

        • ​应用

          • ​几何应用

          • ​物理应用

      • ​对坐标的（第二类）曲线积分

        • ​概念

        • ​性质

        • 计算

      • ​两类曲线积分之间的关系

      • ​格林公式

      • ​平面曲线积分与路径无关

    • ​曲面积分

      • ​对面积的（第一类）曲面积分

        • ​概念

        • ​性质

        • ​计算

        • ​应用

          • ​几何应用

          • ​物理应用

      • ​对坐标的（第二类）曲面积分

        • ​概念

        • ​性质

        • ​计算

      • ​高斯公式

      • ​斯托克斯公式

    • ​应用

      • ​通量

      • ​散度

      • ​环流度

      • ​旋度

• ​无穷级数

  • ​常数项级数

    • ​概念

      • ​部分和，和，收敛，发散

      • ​两个重要级数

    • ​性质

      • ​收敛级数的和与差也收敛

      • ​零乘以非零常数级数敛散性不变

      • ​收敛级数任意加括号仍收敛

      • ​增减有限项不改变级数的敛散性

      • ​收敛的必要条件：等式右边等于0

    • ​正项级数审敛法

      • ​比较审敛法

      • ​比较审敛法的极限形式

      • ​比值审敛法

      • ​根值审敛法

    • ​交错级数审敛法

      • ​莱布尼茨审敛法

    • ​任意项级数审敛法

  • ​函数项级数

    • ​概念

    • ​幂级数

    • ​傅里叶级数

• ​定积分

  • • ​基本概念

      • ​定义以及几何意义

    • ​基本性质

      • ​线性性质

      • ​对区间可加性

      • ​被积函数为1的积分

      • ​保号性性质

      • ​估值性质

      • ​绝对值性质

      • ​积分第一中值性质

    • ​积分上限函数及其导数

    • ​定积分计算方法

      • ​基本积分形式

      • ​牛顿-莱布尼茨公式

      • ​换元积分法

        • ​三换

          • ​积分变量

          • ​积分函数

          • ​积分上下限

      • ​分部积分法

• ​反常积分

  • ​定义

    • ​无穷限的反常积分

    • ​无界函数的反常积分

  • ​收敛判别法

    • ​收敛定义判别法

    • ​比较判别法

    • ​阿贝尔判别法

• ​定积分的应用

  • ​定积分的概念

    • ​元素法

  • ​几何应用

    • ​求面积

      • ​直角坐标下计算面积

      • ​极坐标下计算面积

    • ​求体积

      • ​旋转体的体积

      • ​平行截面面积已知的立体的体积

    • ​求弧长

      • ​利用参数方程求弧长

      • ​直角坐标系下计算弧长

      • ​极坐标下计算弧长

  • ​物理应用

    • ​变力做功计算

    • ​液体压力计算

    • ​引力计算

• 微分方程

  • ​微分方程基本概念

    • ​阶，通解，特解

  • ​一阶微分方程

    • ​可分离变量的方程

    • ​齐次微分方程

    • ​一阶线性微分方程

    • ​伯努利方程

  • ​可降阶微分方程

    • ​可降阶简单n阶微分方程

    • ​y''=f(x,y')型方程

    • ​y''=f(y,y')型方程

  • ​二阶常系数线性微分方程

    • ​二阶常系数线性齐次微分方程

    • ​二阶常系数线性非齐次微分方程

  • ​高阶微分方程

    • ​高阶线性微分方程：常数变易法

    • ​高阶常系数齐次线性方程

    • ​欧拉方程