指能够判断真假的陈述句,如偶数是能被2整除的整数。
常用逻辑用语 |
常用逻辑用语
命题及其关系
命题的概念
指能够判断真假的陈述句,如偶数是能被2整除的整数。
简单命题
不含有逻辑连结词的命题。
简单命题的真假判断
直接判断
间接判断
四种命题及其相互关系
人教A版新教材已经删除了这个知识节点。
相互关系:互为逆否命题的两个命题,有相同的真假性,互为逆命题或互为否命题的两个命题,其真假性没有关联;
易混淆:否命题和命题的否定
人教A版新教材已经删除了这个知识节点。
否命题在四种命题中使用
命题的否定在反证法中使用
充分条件和必要条件
定义
主要研究讨论形如“若 p ,则 q ”的命题中的 p 与 q 的关系,若不是,我们常常可以将其改写为这种形式,如“对顶角相等”,
若两个角是对顶角(p),则这两个角相等(q)。
由这些定义引申出的判断 p 与 q 关系的方法就称之为 定义法。
如果 ,但是 ,则称 是 的充分不必要条件;
如果 ,但是 ,则称
如果
如果
对应的集合表达形式
由此衍生出的判断方法称为集合法。
前提条件:
若
若
若
若
注意表达语序
A 是 B 的充要条件,则
A是B的充分不必要条件,A的充分不必要条件是B。二者有区别;
A是B的充分不必要条件
人教版不再涉及这一点。
判断方法
定义法
集合法
等价转化法
由于教学内容的变化,人教版不再涉及这种方法。
几个关系
判定定理
性质定理
数学定义
简单的逻辑连接词
人教A版新教材已经删除了这个知识节点。
将简单命题组合为复合命题,从而能表达更多更复杂的数学内容
或
且
非
复合命题的真假判断[真值表]
全称量词与存在量词
常见量词及符号表示
全称量词
自然语言:所有的,任意一个,一切,每一个,任给,等等
符号语言(写法:倒写的 A,读法:任意):
存在量词
自然语言:存在一个,至少有一个,有些,有一个,对某些,有的,等等
符号语言(写法:反写的 E,读法:存在):
全称量词命题
北师大版本称为全称命题。
定义
含有全称量词的命题就称为全称量词命题。
真假判断
为真,则需要严格的逻辑证明
为假,举一反例即可
实例到抽象
所有的素数都是奇数
对任意一个无理数
每一个四边形的内角和都是
所有四边形的四个顶点都在同一个圆上
以上的这些命题能抽象浓缩能一个形式化的命题吗?
符号语言形式:
表示形式
自然语言形式:对
符号语言形式:
全称量词命题的否定(符号语言):
否定的方法和步骤:改量词,否结论
存在量词命题
北师大版本称为特称命题。
定义
含有存在量词的命题称为存在量词命题。
真假判断
为真,只需要在 M 中找到 x ,使 p(x) 成立;
为假,在 M 中 ,使 p(x) 成立的 x 找不到;
实例到抽象
存在一个
至少有一个
有些平行四边形是菱形 .
以上的这些命题能抽象浓缩能一个形式化的命题吗?
符号语言形式:
表示形式
自然语言形式:存在
符号语言形式:
存在量词命题的否定(符号语言):
否定的方法和步骤:改量词,否结论
几个特例
省略全称量词
省略了量词的命题的否定,我们需要先等价改写,恢复其量词,然后再按照全称(存在)量词命题的否定来操作。
原命题:平行四边形的对角线互相平分 ;(省略了全称量词)
等价改写:所有平行四边形的对角线互相平分;
省略存在量词
省略了量词的命题的否定,我们需要先等价改写,恢复其量词,然后再按照全称(存在)量词命题的否定来操作。
原命题:一元二次方程不总有实数根 ;(省略了存在量词)
等价改写:存在一个一元二次方程,它没有实数根 .
若 p 则 q 的否定
原命题:若
改写:对所有
否定: