常用逻辑用语

• 命题及其关系

  • ​命题的概念

    指能够判断真假的陈述句，如偶数是能被2整除的整数。

    • ​简单命题

      不含有逻辑连结词的命题。

    • ​简单命题的真假判断

      • ​直接判断

      • ​间接判断

  • ​四种命题及其相互关系

    人教A版新教材已经删除了这个知识节点。

    • ​

    • ​相互关系：互为逆否命题的两个命题，有相同的真假性，互为逆命题或互为否命题的两个命题，其真假性没有关联；

  • 易混淆：否命题和命题的否定

    人教A版新教材已经删除了这个知识节点。

    • ​否命题在四种命题中使用

    • ​命题的否定在反证法中使用

• ​充分条件和必要条件

  • ​定义

    主要研究讨论形如“若 p ，则 q ”的命题中的 p 与 q 的关系，若不是，我们常常可以将其改写为这种形式，如“对顶角相等”，

    
    

    若两个角是对顶角（p），则这两个角相等（q）。

    
    

    由这些定义引申出的判断 p 与 q 关系的方法就称之为 定义法。

    • ​如果 $p \Rightarrow q$ ，但是 $q \not\Rightarrow p$ ，则称 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件；

    • ​如果 $p \Rightarrow q$ $p\not\Rightarrow q$ ，但是 $q\Rightarrow p$ ，$q\Rightarrow p$则称 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件；

    • ​如果 $p \Rightarrow q$ ，且  $q\Rightarrow p$ ，则称 $p$ 是 $q$ 的（互为）充要条件；

    • ​如果 $p \Rightarrow q$ $p\not\Rightarrow q$  ，且 $q \not\Rightarrow p$ ，则称 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件；

  • ​对应的集合表达形式

    由此衍生出的判断方法称为集合法。

    • ​前提条件： $A=\{x\mid p(x)\}，B=\{x\mid q(x)\}，$ 

    • ​若 $A\subsetneqq B$ ，则  $p$ 是  $q$ 的充分不必要条件；

    • ​若 $A\subsetneqq B$ $B\subsetneqq A$  ，则  $p$ 是  $q$ 的必要不充分条件；

    • ​若 $A\subsetneqq B$ ，则  $p$ 是  $q$ 的充要条件（互为）；

    • ​若 $A\subsetneqq B$ $A\not \subseteq B，B\not \subseteq A$ ，则  $p$ 是  $q$ 的既不充分也不必要条件；

  • ​注意表达语序

    • ​A 是 B 的充要条件，则 $A\Rightarrow B$ 是充分性， $B\Rightarrow A$ 是必要性； A 的充要条件是 B ，则  $B\Rightarrow A$ 是充分性， $A\Rightarrow B$ 是必要性

    • ​A是B的充分不必要条件，A的充分不必要条件是B。二者有区别；

    • ​A是B的充分不必要条件 $\neg$ $\Leftrightarrow$   $\neg$ B是 $\neg$ A $\neg$的充分不必要条件

      人教版不再涉及这一点。

  • ​判断方法

    • ​定义法

    • ​集合法

    • ​等价转化法

      由于教学内容的变化，人教版不再涉及这种方法。

  • 几个关系

    • ​判定定理 $\leftrightarrow$ 充分条件

    • ​性质定理 $\leftrightarrow$ 必要条件

    • ​数学定义 $\leftrightarrow$ 充要条件

• ​​简单的逻辑连接词

  人教A版新教材已经删除了这个知识节点。

  • 将简单命题组合为复合命题，从而能表达更多更复杂的数学内容

    • ​或 $\vee$ 

      • ​ $p \vee q$ 

    • ​且 $\wedge$ 

      • ​ $p \wedge q$  

    • ​非 $\neg$ 

      • ​ $\neg p$ 

    • ​复合命题的真假判断[真值表]

      • ​

• ​全称量词与存在量词

  • ​常见量词及符号表示

    • ​全称量词

      • ​自然语言：所有的，任意一个，一切，每一个，任给，等等

      • ​符号语言(写法：倒写的 A，读法：任意)： $\forall$ 

    • ​存在量词

      • ​自然语言：存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的，等等

      • ​符号语言(写法：反写的 E，读法：存在)：  $\exists$  

  • ​全称量词命题

    北师大版本称为全称命题。

    • 定义

      • ​含有全称量词的命题就称为全称量词命题。

    • ​真假判断

      • ​为真，则需要严格的逻辑证明

      • ​为假，举一反例即可

    • ​实例到抽象

      • ​所有的素数都是奇数

      •  $\forall \; x\in R，|x|+1\geqslant 1$ $\forall \; x\in R，|x|+1\geqslant 1$

      • ​对任意一个无理数 $x$ ， $x^2$ 也是无理数.

      • 每一个四边形的内角和都是 $360^{\circ}$ 

      • ​所有四边形的四个顶点都在同一个圆上

      • ​以上的这些命题能抽象浓缩能一个形式化的命题吗？

        • 符号语言形式： $\forall x \in M，p(x) .$ 

    • 表示形式

      • ​自然语言形式：对  $M$ 中任意一个  $x$ ， $p(x)$ 成立 .

      • 符号语言形式： $\forall x \in M，p(x) .$ 

    • ​全称量词命题的否定(符号语言)： $\exists x \in M， \neg p(x) .$ 

    • ​否定的方法和步骤：改量词，否结论

  • 存在量词命题

    北师大版本称为特称命题。

    • 定义

      • ​含有存在量词的命题称为存在量词命题。

    • ​真假判断

      • ​为真，只需要在 M 中找到 x ，使 p(x) 成立；

      • ​为假，在 M 中 ，使 p(x) 成立的 x 找不到；

    • ​实例到抽象

      • ​存在一个 $x\in R，$ 使 $2x+1=3$ 

      • ​至少有一个 $x\in Z，$  $x$ 能被 2 和 3 整除 .

      • 有些平行四边形是菱形 .

      • ​ $\exists\; x \in R ，x+1\geqslant 0 .$ 

      • ​以上的这些命题能抽象浓缩能一个形式化的命题吗？

        • 符号语言形式： $\exists\; x\in M，p(x) .$ 

    • 表示形式

      • ​自然语言形式：存在  $M$ 中的元素 $x$ ， $p(x)$ 成立；

      • 符号语言形式： $\exists\; x\in M，p(x) .$ 

    • ​存在量词命题的否定(符号语言)：$\forall$ 

    • ​​否定的方法和步骤：改量词，否结论

• ​几个特例

  • ​省略全称量词

    省略了量词的命题的否定，我们需要先等价改写，恢复其量词，然后再按照全称（存在）量词命题的否定来操作。

    • ​原命题：平行四边形的对角线互相平分 ；(省略了全称量词)

    • 等价​改写：所有平行四边形的对角线互相平分；

  • ​省略存在量词

    省略了量词的命题的否定，我们需要先等价改写，恢复其量词，然后再按照全称（存在）量词命题的否定来操作。

    • ​原命题：一元二次方程不总有实数根 ；(省略了存在量词)

    • ​等价改写：存在一个一元二次方程，它没有实数根 .

  • ​若 p 则 q 的否定

    • ​原命题：若  $x>1$ ，则  $2x+1>5$ （假命题）

    • ​改写：对所有 $x>1$ ，都有  $2x+1>5$ 成立；

    • ​否定： $\exists x\in R，$ 满足  $x>1$ ，但  $2x+1\leqslant 5$ .（真命题）