高中数学字母内涵的思考

• ​复合函数

  • ​一次+指数

    • ​ $f(x)=k\cdot x+b (k\neq 0)$ 

    • ​ $g(x)=2^x$ 

    • ​复合后， $y=f(g(x))\\= k\cdot g(x)+b (k\neq 0)\\=k\cdot 2^x+b (k\neq 0)$ 

  • ​一次+对数

    • ​ $f(x)=k\cdot log_2x+b$ 

  • ​二次+指数

    • ​ $f(x)=(2^x)^2+3\cdot 2^x+3$ 

    • ​ $f(x)=2^{x^2-2x+1}$ 

  • ​二次+对数

    • ​ $f(x)=(log_2x)^2+3\cdot log_2x+3$ 

    • ​ $f(x)=log_2{(x^2-3x+2)}$ 

  • ​二次+三角

    • ​ $f(x)=a\cdot sin^2x+b\cdot sinx+c$ $(a\neq 0)$  

    • ​ $f(x)=sin(2x^2-3x+2)$ 

• ​赋值法

  • ​求值

    • ​已知 $f(xy)=xf(y)+yf(x)，(x,y\in R)$ 

    • ​令 $x=y=0，$ 得到 $f(0)=0$ 

    • ​令 $x=y=1，$ 得到 $f(1)=0$ 

  • ​判断奇偶性

  • ​判断单调性

  • ​求通项公式

• ​均值不等式

  • ​基本形式 $a+b\geqslant 2\sqrt{ab}，a>0，b>0$

  • ​内涵形式

    •  $a，b$ 为​分式形式

      • ​ $\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}\geqslant 2(xy>0)$ 

    • ​ $a，b$ 为多项式形式

      • ​ $x^2+1+\cfrac{1}{x^2+1}\geqslant 2$ 

    • ​指数形式

      • ​ $2^x+2^y\geqslant 2\sqrt{2^{x+y}}$ 

    • ​对数形式

      • ​ $log_ab+log_ba\geqslant 2(log_ab>0)$ 

    • ​无理式形式

      • ​ $\sqrt{x^2+1}+\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$ 

    • ​三角形式

      • ​ $sinx+\cfrac{1}{sinx}\geqslant 2(x\in (0，\cfrac{\pi}{2}])$ 

    • ​绝对值形式

      • ​ $|x+1|+\cfrac{1}{|x+1|}\geqslant 2(x\neq -1)$ 

    • 引申： $\cfrac{a^2+b^2}{ab}=\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b}$ 

• ​函数性质

  • ​周期性

    • ​基本形式

      •  $f(x+4)=f(x)$ 

    • ​内涵形式[等价形式]

      • ​ $f(x+3)=f(x-1)$ 

      •  $f(x+2)=f(x-2)$ 

      • ​ $f(-x+2)=f(-x-2)$ 

  • ​对称性[对称轴]

    • ​基本形式

      • ​ $f(x+2)=f(-x)$ 

    • ​内涵形式[等价形式]

      • ​ $f(-x+2)=f(x)$ 

      • ​ $f(x+1)=f(-x+1)$ 

• 十字相乘法

  • ​ $2x^2-ax-a^2$ 

    • ​ $\Large{_{2\cdot x}^{1\cdot x}\times_{\;\;\;a}^{-a}}$ 

    • ​ $2x^2-ax-a^2=(x-a)(2x+a)$ 

  • ​ $2(e^x)^2-a\cdot e^x-a^2$ 

    • ​ $\Large{_{2\cdot e^x}^{1\cdot e^x}\times_{\;\;\;a}^{-a}}$ 

    • ​ $2(e^x)^2-a\cdot e^x-a^2=(e^x-a)(2e^x+a)$ 

• ​等比数列

  • ​基本形式

    • ​ $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ ， $q$ 为常数

  • 
    内涵形式

    • ​ $a_n$为分式

      • ​ $\cfrac{\frac{n+1}{a_{n+1}}}{\frac{n}{a_n}}=2$  

      • ​数列 $\{\cfrac{n}{a_n}\}$ 为等比

    • ​ $a_n$为整式

      • ​ $\cfrac{(n+1)a_{n+1}}{na_n}=2$  

      • ​数列 $\{na_n\}$ 为等比

    • ​ $a_n$为平方式

      • ​ $a_{n+1}^2-a_n^2=2$ $\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=2$  

      • ​数列 $\{a_n^2\}$ 为等比

    • ​ $a_n$为对数式

      •  $\cfrac{log_2a_{n+1}}{log_2a_n}=2$  

      • ​数列 $\{log_2a_{n}\}$ 为等比

    • ​ $a_n$为多项式

      • ​  $\cfrac{a_{n+2}-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_n}=1$ 

      • ​数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ 为等比

    • ​数学抽象

      •  $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ ， $q$ 为常数​ $a_{n+1}-a_n=d$$\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$ 
        

      • ​数列 $\{a_n\}$ 为等比

• ​等差数列

  • ​基本形式

    • ​ $a_{n+1}-a_n=d$ ， $d$ 为常数

  • 
    内涵形式

    • ​ $a_n$为分式

      • ​ $\cfrac{n+1}{a_{n+1}}-\cfrac{n}{a_n}=2$ 

      • ​数列 $\{\cfrac{n}{a_n}\}$ 为等差

    • ​ $a_n$为整式

      • ​ $(n+1)a_{n+1}-na_n=2$ 

      • ​数列 $\{na_n\}$ 为等差

    • ​ $a_n$为平方式

      • ​ $a_{n+1}^2-a_n^2=2$ 

      • ​数列 $\{a_n^2\}$ 为等差

    • ​ $a_n$为对数式

      • ​ $log_2a_{n+1}-log_2a_{n}=2$ 

      • ​数列 $\{log_2a_{n}\}$ 为等差

    • ​ $a_n$为多项式

      • ​ $a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n$ 

      • ​数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ 为等差

    • ​数学抽象

      • ​ $a_{n+1}-a_n=d$ 

      • ​数列 $\{a_n\}$ 为等差

• ​三角变换

  • ​ $sinx+\sqrt{3}cosx=2sin(x+\cfrac{\pi}{3})$ 

  • ​如何化简 $sin(\omega x+\phi)+\sqrt{3}cos(\omega x+\phi)$ 

    • ​ $\omega x+\phi \Rightarrow x$ 

    • ​ $sin(\omega x+\phi)+\sqrt{3}cos(\omega x+\phi)=2sin[(\omega x+\phi)+\cfrac{\pi}{3}]$ 

• ​二次不等式求解

  •  $x$ 的​基本形式

    • ​例子： $x^2-3x+2\leqslant 0$ 

    • ​结果： $1\leqslant x\leqslant 2$ 

  • ​ $x$的内涵形式

    • ​指数式

      • ​例子： $(2^x)^2-3\cdot 2^x+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant 2^x\leqslant 2$ 

    • ​对数式

      • ​例子： $(log_2x)^2-3\cdot log_2x+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant log_2x\leqslant 2$ 

    • ​多项式

      • ​例子： $(x^2-1)^2-3\cdot (x^2-1)+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant x^2-1\leqslant 2$ 

    • ​三角式

      • ​例子： $(sinx+1)^2-3\cdot (sinx+1)+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant sinx+1\leqslant 2$ 

    • ​分式

      • ​ $(\cfrac{1}{x}+2)^2-3\cdot (\cfrac{1}{x}+2)+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant \cfrac{1}{x}+2\leqslant 2$ 

    • ​绝对值式

      • ​ $(|x|-2)^2-3\cdot (|x|-2)+2\leqslant 0$ 

      • ​结果： $1\leqslant |x|-2\leqslant 2$ 

• ​ $a_{n+1}-a_n=3$ ( $n\geqslant 1$ )

  •  $a_2-a_1=3$ 

  • ​ $a_3-a_2=3$ 

  • ​ $a_4-a_3=3$ 

  • ​ $\cdots,\cdots$ 

  • ​ $a_{n+1}-a_n=3$ 

  • ​ $\cdots,\cdots$