复变函数的积分

• ​复变函数的概念

  • ​复积分的定义： $\int_c f(z){\rm d}z=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^n f(\zeta_k)\Delta z_k$ 
    

    • ​设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，则复积分 $\int_C f(z){\rm d}z$ 存在

    • ​复积分的基本性质：四则运算

• ​柯西积分定理

  • ​柯西积分定理：设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，则 $f(z)$ 在 $D$ 内沿任意一条简单闭曲线 $C$ 的积分： $\int_C f(z){\rm d}z=0$ 

    • ​当 $f$ 为 $D$ 的解析函数时积分与路线无关，而仅由积分路线的起点

       $z_0$ 与终点 $z_1$ 来确定，即 $\int_{C_1}f(z){\rm d}z=\int_{C_2}f(z){\rm d}z$ 

    • ​设 $C_1$ 与 $C_2$ 是两条简单闭曲线， $C_2$ 在

       $C_1$ 的内部。 $f(z)$ 在 $C_1$ 与 $C_2$ 所围的多连通域 $D$ 内解析，而在 $\overline{D}=D+C_1+C_2^-$ 上连续，则 $\oint_{C_1}f(z){\rm d}z=\oint_{C_2}f(z){\rm d}z$  $\\$ 推论： $\oint_Cf(z){\rm d}z=\sum_{k=1}^n \oint_{C_k}f(z){\rm d}z$ 

    • ​如果 $f(z)$ 是单连通区域 $D$ 内的解析函数，那么由变上限的积分所确定的函数 $F(z)=\int_{z_0}^{z}f(\zeta){\rm d}\zeta$ 也是 $D$ 内的解析函数，而且 $F'(z)=f(z)$ 

    • 设在单连通区域 $D$ 内，函数 $F'(z)=f(z)$ ，则称 $F(z)$ 是 $f(z)$ 的原函数

    • ​设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析， $G(z)$ 为 $f(z)$ 的一个原函数，则 $\int_{z_0}^{z_1}f(z){\rm d}z=G(z_1)-G(z_0)$ ，其中 $z_0,z_1$ 为 $D$ 内的点

• ​柯西积分公式

  • 柯西积分公式：​设 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 所围成的区域 $D$ 内解析，在 $D=D\cup C$ 上连续， $z_0$ 是 $D$ 内任一点，则 $f(z_0)=\cfrac1{2\pi i}\oint_{C}\cfrac{f(z)}{z-z_0}{\rm d}z$ 

    • ​平均值公式：设 $f(z)$ 在 $|z-z_0|<R$ 内解析，在 $|z-z_0|\leq R$ 上连续，则 $f(z_0)=\cfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i θ }){\rm d} θ$ 

    • 最大模原理： $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，又 $f(z)$ 不是常数，则 $|f(z)|$ 在 $D$ 内没有最大值

    • ​解析函数的导数仍然是解析的