近独立粒子系统的统计分布

• ​u空间

  • ​定义：以广义坐标 和广义动量为直角坐标基矢的2r维空间
    相点：相空间的一个点
    相轨道：相空间的一条直线
    相体积：粒子运动状态代表点在u空间充斥的范围

    • ​三维准自由粒子

      • 

        ​

    • ​一维线性谐振子

      • ​

    • ​转子

      • ​

• ​分布与微观状态数

  • ​ ${设 \varepsilon }_i{是单粒子的第}i\text{（}=1,2,3...\text{）个能级，在这个能级上有}n_i\text{个粒子占据着，那么这些}n_i\text{的集合称为一个分布，记为\{}n_i\}\text{。} \text{如果系统的粒子数}N\text{、能量}E\text{与体积}V\text{具有固定值，则给定的分布\{}n_i\}\text{必须满足条件：} \left\{ \begin{array}{l} N=\sum_i{n_i}\\ E=\sum_i{n_i\varepsilon _i}\\ \end{array} \right.$ 

  • ​玻尔兹曼系统的微观状态数

    • ​ $W_{M,B}\left\{ n_i \right\} =\frac{N!}{\prod_i{n_i!}}\prod_i{g_i^{n_i}}$ 

    • ​粒子可分辨，一个量子态可容纳的粒子数不受限制

  • ​玻色系统的微观状态数

    • ​由不可分辨的全同的近独立玻色子组成的系统，不受泡利不相容原理的约束

    • ​ $W_B\left\{ n_i \right\} =\prod_i{\frac{\left( n_i+g_i-1 \right)}{n_i!\left( g_i-1 \right) !}}$ 

  • ​费米系统的微观状态数

    • ​由不可分辨的全同近独立费米子组成的系统，受泡利不相容原理的约束

    • ​ $W_F\left\{ n_i \right\} \prod_i{\frac{g_i!}{n_i!\left( g_i-n_i \right) !}}$ 

  • ​分布

    • ​玻尔兹曼分布

      • ​ $n_i=g_ie^{-\alpha -\beta \varepsilon _i}$ 

    • ​费米分布

      • ​ $n_i=\frac{g_i}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _i}+1}$ 

    • ​玻色分布

      • ​ $n_i=\frac{g_i}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _i}-1}$ 

    • ​ $\alpha \left( T,u \right) \text{是温度和化学势的函数}，\\ \beta \text{（}T\text{）是温度的函数}$ 

• ​几率和统计平均值

  • ​相对几率： $\rho _i=\lim _{m\rightarrow \infty}\frac{m_i}{m}$ 

  • ​随机变量的统计平均值： $\bar{u}=\sum_i{u_i\rho _i\left( \sum_i{\rho _i=1} \right)}$ 

  • ​理想气体的内能是气体分子的总动能的统计平均值

  • ​气体的压强是气体分子碰撞器壁其动量改变的矢量和的统计平均值

  • ​没有显然的微观量与宏观量相对应:温度和熵

  • ​体积：外参量，是一种外部条件

• ​近独立粒子系统

  • ​如果系统的粒子间的相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，则该系统称为近独立粒子系统
    例如：理想气体

  • ​总能量：等于单粒子能量之和