初中数学

• ​代数

  • ​数与式

    • ​数系的扩张（实数）

      • ​有理数

        • ​整数

        • ​分数（整数之比）

      • ​无理数

        • ​无限不循环小数（无法表示为整数之比）

    • ​代数式

      • ​整式

        • ​单项式、多项式

        • ​整式的运算

          • ​幂的运算

            • ​ $a^m× a^n=a^{m+n}$ 

            • ​ $(a^{m)^{n} } =a^{m× n}$ 

            • ​ $a^m× b^m=(ab)^m$ 

            • ​ $a^{-n} =\frac{1}{a^{n} }$ 

          • ​乘法公式

            • ​ $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 

            • ​ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 

      • 分式

        • ​成立条件：分母不为零

          • ​注意：结尾检查是否为最简分式

      • 二次根式

        • ​两个非负： $\sqrt{a}$ 中， ${a} \geq 0$ ， $\sqrt{a} \geq 0$ 

          • ​注意：结尾检查是否为最简二次根式

        •  $\sqrt{a^2} =|a|$ ， $\sqrt{a} ^{2} =a$ 

  • ​方程

    • ​解方程的依据是等式的基本性质

      • ​一次方程（组）

      • ​分式方程

        • ​注意：增根

      • ​一元二次方程 $(a\neq 0)$ 

        • ​解法

          • • ​直接开方

            • ​配方

              • ​公式法（求根公式： $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$ ) 拓展：罗氏求根法

            • ​​因式分解（目的：降次）

        • ​韦达定理

          • ​和： $x_{1}+ x_{2} =-\frac{b}{a}$ ，积： $x_{1} x_{2} =\frac{c}{a}$ 

  • 不等式

    • ​一元一次不等式

      • ​求解依据：不等式的基本性质（注意：不等号两边同时乘（除）以一个相同的负数，不等号改变方向

    • 一元一次不等式组

      • ​每一个不等式解集的公共部分组成不等式组的解集（工具：数轴）

  • ​函数

    • ​函数的概念：一个量随另一个量变化而变化的对应关系

      • ​一次函数 $y=kx+b (k\neq 0)$ 

        • ​图像为直线（ $k$  斜率， $b （0,b）$ ）

        • ​增减性： $k$ 的符号决定

        • ​正比例函数： $b=0$ 时

      • ​反比例函数  $y=\frac{k}{x}$ ( $k\ne 0$， $x\ne 0$  )

        • ​图像为双曲线（ $k$ 的几何意义）

        • ​增减性（强调每一支上，间断）

        • ​对称性（关于坐标原点中心对称）

      • ​二次函数  $y=ax^{2} +bx+c$ （ $$a̸=0a\neq 0 )

        • 图像为抛物线（开口方向、对称轴、顶点坐标 $（-\frac{b}{2a} ,\frac{4ac-b^{2} }{4a} )$ ）

        • 增减性（开口方向+对称轴）

        • ​最值（开口方向+顶点坐标）

        • 对称性（对称轴）

• ​几何

  • ​平行与相交

    • ​平行线的判定：同位角、内错角、同旁内角

    • ​相交线

      • ​特殊：垂直

        • ​垂线段最短

  • ​三角形

    • ​一般三角形

      • ​内角和： $α +β +γ =180°$ 

      • 外角和：360°

      • 三边关系： $a+b＞c$ 

    • ​特殊三角形

      • ​等腰三角形

        • ​判定：等角对等边

        • ​性质：等边对等角，三线合一

      • ​直角三角形

        • ​角关系： $∠A+∠B=90°$ 

        • ​边关系： $a^{2}+ b^{2}=c^{2}$ 

          • ​（勾股定理）

        • ​边角关系

          • ​正弦： $sinA=\frac{a}{c}$ 

          • ​余弦： $cosA=\frac{b}{c}$ 

          • ​正切： $tanA=\frac{a}{b}$ 

        • ​易忘：直角三角形斜边中线等于斜边一半

        • ​判定：勾股定理逆定理

  • ​四边形

    • ​一般四边形

      • ​内角和： $180°（n-2）$ 

      • ​外角和：360°

    • ​特殊四边形

      • ​梯形（//×1）

      • ​平行四边形（//×2）

        • ​判定

          • ​边

            • ​//×2（定义）

            • ​//+=

            • ​=×2

          • ​对角线

            • ​相互平分

        • ​性质

          • ​边：//×2+=×2

          • ​角：对=邻补

          • ​对角线：相互平分

        • ​特殊平行四边形

          • ​矩形

            • ​平四+90°

            • ​平四+对角线等

            • ​90°×3

          • ​菱形

            • ​平四+邻边等

            • ​平四+对角线⊥

            • ​边等×4

          • ​正方形：矩形+菱形

  • ​圆

    • ​定义：一中同长（两个要素：圆心与r)

    • ​点与圆的位置关系（内、上、外）比较d与r

    • ​直线与圆位置关系（交、切、离）比较d与r

      • ​切线（⊥+r）

        • ​切线长定理

          • ​圆外切三角形

    • ​垂径定理（体现圆的轴对称性）

    • ​圆心角定理（弧、弦、圆心角的对应关系，体现圆的中心对称性）

      • ​圆周角定理

        • 特例：直径所对圆周角为直角

    • ​圆内接三角形

      • ​圆内接四边形（对角互补，外角=内对角）

        • ​圆内接正多边形（圆+等腰△）

    • ​圆相关的计算（搞清楚部分和整体的关系： $\frac{n}{360°}$ ）

      • ​圆锥侧面积万能公式： $\frac{n}{360} =\frac{r}{R}$ 

    • ​技巧：与圆相关的3个⊥：垂径、直径、切线

  • ​图形的变化

    • ​全等变化

      • ​平移、旋转、翻折

        • ​全等就是相似比为1的相似

    • ​相似变化

      • ​位似

    • ​图形的投影

      • 三视图

  • ​直角系中点的变化

    • ​点与点距离

      • ​ $A(m,n),B(s,t),AB=\sqrt{(m-s)^{2}+(n-t)^{2} }$ 

    • ​两直线垂直

      • ​ $l_{1} ⊥l_{2}，k_{1} \cdot k_{2}=-1$ 

    • 对称点坐标特点  $A(m,n)$ 

      • ​关于 $x$ 轴对称

        • ​ $A' (m,-n)$ 

      • ​关于 $y$ 轴对称

        • ​ $A' (-m,n)$ 

      • ​关于原点对称

        • ​ $A' (-m,-n)$ 

      • ​关于直线 $y=x$ 对称

        • ​ $A' (n,m)$ 

• ​概率统计

  • ​统计

    • ​数据的收集

      • ​普查、抽查、总体、样本、样本容量

        • ​统计图表（条形、折线、扇形）

    • ​数据的整理

      • ​集中趋势

        • ​平均数、中位数、众数

      • ​离散程度

        • ​极差、方差

      • ​数据的分布情况（合格率、优分率）和发展前景等描述角度

  • ​概率

    • ​古典概型

      • ​有限+等可能

        • ​ $P_{(A)} =\frac{m}{n}$ (注意：结果、有限、等可能、共几种、占几种）

    • ​几何概型

      • ​无限+等可能

        • ​ $P_{(A)} =\frac{S_{m} }{S_{n} }$