数学物理方程

• ​数学物理方程的建立

  • ​波动方程

    • ​ $\frac{ \partial ^2u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$ 

      • ​强迫振动

        • ​ $\frac{ \partial ^2u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+f(x,t)$ 

      • ​阻尼振荡

        • ​ $\frac{ \partial ^2u}{\partial t^2}-a^2 \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+2b \frac{\partial u}{\partial t}=0$ 

  • ​热传导方程

    • ​ $\frac{ \partial u}{\partial t}=a^2 \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}$ 

      • ​有源热传导方程

        • ​ $\frac{ \partial u}{\partial t}=a^2 \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+f(x,t)$ 

  • ​拉普拉斯方程

    • ​ $\nabla ^2u=0$ 

      • ​泊松方程

        • ​ $\nabla ^2u=f(\overrightharpoon{r})$ 

  • ​二阶偏微分方程

    • ​ $A \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+2B \frac{\partial ^2u}{\partial x \partial y}+C \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}+D \frac{\partial u}{\partial x}+E \frac{\partial u}{\partial y}+Fu=G$ 

      • ​ $\Delta=B^2-AC$ 

        • ​ $\Delta>0$ ，双曲形方程

          • ​ $\frac{\partial ^2u}{\partial x \partial y}=[…]$ 

          • ​ $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=[…]$ 

        • ​ $\Delta=0$ ，抛物线形方程

          • ​ $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=[…]$ 

          • ​ $\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=[…]$ 

        • ​ $\Delta<0$ ，椭圆形方程

          • ​ $\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2u}{\partial y^2}=[…]$ 

  • ​定解问题

    • ​泛定方程

    • ​初始条件

      • ​系统的时间行为，即 $u|_{t=0}、\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}$ 

    • ​边界条件

      • ​第一类边界条件

        • ​描述函数 $u$ 行为的边界条件，即 $u|_{x=0}$ 

      • ​第二类边界条件

        • ​描述导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 行为的边界条件，即 $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}$ 

      • ​第三类边界条件

        • ​描述函数 $u$ 与导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 组合行为的边界条件，即 $[u+\frac{\partial u}{\partial x}]|_{x=0}$ 

      • ​其他边界条件

        • ​衔接条件

        • ​周期性条件

        • ​自然边界条件

    • ​求解思路

      • ​1.如果自由项和边界条件不含时间，

        选取适当的辅助函数使方程和边界条件同时齐次化

      • ​2.如果不满足上述条件，

        选取适当的辅助函数使边界条件齐次化

      • ​3.选择适当的本征函数集，

        用“合二为一法”（本征函数法）一次性求解

      • ​4.用“一分为二法”（分离变量法与本征函数法）求解，

        再将二者相加

• ​分离变量法

  • ​将多变量的偏微分方程变成

    几个单变量的常微分方程

  • ​条件

    • ​泛定方程是齐次的

    • ​边界条件是齐次的

    • ​泛定方程是线性的

  • ​步骤

    • ​1.对泛定方程写出变量分离的

      形式解 $u(x,t)=X(x)T(t)$ 

    • ​2.代入泛定方程，

      得到空间函数 $X(x)$ 和时间函数 $T(t)$ 的

      常微分方程

    • ​3.求解 $X(x)$ 的

      常微分方程与相应的边界条件构成的本征值问题，

      得到本征值 $λ _n$ 和本征函数 $X_n(x)$ 

    • ​4.将 $λ _n$ 代入时间函数的方程解出 $T_n(t)$ ，

      与 $X_n(x)$ 相乘得到泛定方程的本征解

       $u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)$ 
      

    • ​5.利用叠加原理得到一般解 $u(x,t)= {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{u_n(x,t)} }$ ，

      并利用初始条件确定 $u_n(x,t)$ 中的系数

  • ​本征方程 $X''(x)+ λ X(x)=0$ 

    的本征值与本征函数

    • ​ $u|_{x=0}=0,u|_{x=L}=0$ 

      • ​ $λ _n=(\frac{n \pi}{L})^2,X_n(x)=B_n \sin\frac{n \pi}{L}x$ 

    • ​ $\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=0}=0, \frac{\partial u}{\partial x} |_{x=L}=0$ 

      • ​ $λ _n=(\frac{n \pi}{L})^2,X_n(x)=A_n \cos\frac{n \pi}{L}x$ 

    • ​ $u|_{x=0}=0, \frac{\partial u}{\partial x} |_{x=L}=0$ 

      • ​ $λ _n=[\frac{(2n+1) \pi}{2L}]^2,X_n(x)=B_n \sin\frac{(2n+1) \pi}{2L}x$ 

    • ​ $\frac{\partial u}{\partial x} |_{x=0}=0, u|_{x=L}=0$ 

      • ​ $λ _n=[\frac{(2n+1) \pi}{2L}]^2,X_n(x)=A_n \cos\frac{(2n+1) \pi}{2L}x$ 

  • ​曲线坐标系下的分离变量法

    • 拉梅系数

      • ​球坐标系下的拉普拉斯方程

      • ​柱坐标系下的拉普拉斯方程

• ​本征函数法

  • ​处理非齐次方程定解问题

  • ​对于非齐次边界条件的处理，

    采用选择适当的辅助函数，

    使得方程和边界条件同时齐次化

  • ​一分为二法

    • ​方程是非齐次的

    • ​将函数分为两个函数相加，

      一个用分离变量法求解，

      一个用本征函数法求解

  • ​合二为一法

• ​行波法

  • ​令 $\begin{cases} \zeta=x+at \\ \eta=x-at \end{cases}$ 

    • ​波动方程因此求解得：

       $u(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)$ 
      

  • ​无界线自由振动的

    达朗贝尔公式

    • ​ $u(x,t)=\frac{1}{2}[ ϕ (x+at)+ ϕ (x-at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}{ ψ (\zeta)d\zeta}$ 

      • ​ $\begin{cases} u|_{t=0}= ϕ (x) \\ \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}= ψ (x) \end{cases}$ 

• ​幂级数解法

  • ​施图姆-刘维尔型方程

    • ​ $\frac{d}{dx}[p(x)\frac{dy}{dx}]+[ λ ρ (x)-q(x) ]y=0$ 

      • ​ $p(x)$ 称为核函数

         $ρ (x)$ 称为权函数
        

      • ​ $p(x)$ ， $ρ (x)$ 及其导数连续，

         $q(x)$ 连续或在边界上有一阶极点，
        

         $ρ (x)>0,p(x) \geq 0,q(x) \geq 0$ 
        

        • ​存在定理，即

          存在无数个分立的实数特征值，

          构成一个单调递增序列

          同时对应有无穷个本征函数

        • ​非负定理，即

           $λ _n \geq 0$ 
          

        • ​正交性定理，即

           $\int_{a}^{b}{y^*_m(x)y_n(x) ρ (x)dx}=0$ 
          

          • ​ $y^*_m(x)$ 是 $y_m(x)$ 的复共轭

        • ​完备性定理，即

           $f(x)= {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{f_ny_n(x)} }$ 
          

          • ​ $f_n=\frac{\int_{a}^{b}{ ρ (x)f(x)y^*_n(x)dx}}{\int_{a}^{b}{ ρ (x)|y_n(x)|^2dx}}$ 

            • ​ $y_n(x)的模记为：N_n=\int_{a}^{b}{ ρ (x)|y_n(x)|^2dx}$

              $N_n={\int }_a^b\rho (x)|y_n(x){|}^{2}dx$ 

      • ​举例

        • ​ $p(x)=x, ρ (x)=x,q(x)= ν ^2/x^2$ 

          • ​ $\frac{d}{dx}(x\frac{dy}{dx})+( λ x-\frac{ ν ^2}{x^2})y=0$ 

            • ​ $ν$ 阶贝塞尔方程

              • 第一类​ $ν$ 阶贝塞尔函数

                • ​ $J_ν(x)= {\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}{\frac{(-1)^m}{m!\Gamma (m+ ν +1)}(\frac{x}{2})^{2m+ ν }} }$ 

                  • ​ $J_0(0)=1$ 

                  • ​ $J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x$ 

                  • ​ $J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$ 

                  • ​性质

                    • ​生成函数：

                       $e^{\frac{x}{2}(r-\frac{1}{r})}= {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}{J_n(x)r^n} }$ 
                      

                    • ​递推公式

                      • ​ $\frac{d}{dx}[x^ ν J_ ν (x)]=x^ νJ_{ ν -1}(x)$ 

                      • ​ $\frac{d}{dx}[x^ {-ν} J_ ν (x)]=-x^{- ν}J_{ ν +1}(x)$ 

                      • ​ $J'_ ν (x)=\frac{1}{2}[J_{ ν -1}(x)-J_{ ν +1}(x)]$ 

                      • ​ $J_{ ν -1}(x)+J_{ ν +1}(x)=\frac{2 ν }{x}J_ ν (x)$ 

                      • ​ $\int{x^{ ν +1}J_ ν (x)dx=x^{ ν +1}J_{ ν +1}(x)}$ 

                      • ​ $\int{x^{ -ν +1}J_ ν (x)dx=-x^{- ν +1}J_{ ν -1}(x)}$ 

              • ​第二类 $ν$ 阶贝塞尔函数

                • ​ $Y_ ν (x)=\frac{J_v(x) \cos ν \pi-J_{- ν }(x)}{\sin ν \pi}$ 

        • ​ $p(x)=x^2, ρ (x)=x^2,q(x)= (ν+1) ν /x^2$ 

          • ​ $\frac{d}{dx}(x^2\frac{dy}{dx})+[ λ x^2-\frac{ (ν+1) ν }{x^2}]y=0$ 

            • ​ $ν$ 阶球贝塞尔方程

        • ​ $p(x)=1-x^2, ρ (x)=1,q(x)=0$ 

          • ​ $\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+λ y=0$ 

            • ​勒让德方程

              • ​ $l$ 阶勒让德多项式

                • ​ $P_l(x)=\frac{1}{2^l} {\displaystyle \sum_{m=0}^{[l/2]}{(-1)^m\frac{(2l-2m)!}{m!(l-m)!(l-2m)!}x^{l-2m}} }$ 

                  • ​前5项

                    • ​ $P_0(x)=1$ 

                    • ​ $P_1(x)=x$ 

                    • ​ $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$ 

                    • ​ $P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$ 

                    • ​ $P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$ 

                    • ​ $P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$ 

                  • ​基本性质

                    • ​微分表示，即

                      罗德里格斯公式

                      • ​ $P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$ 

                    • ​积分表示

                      • ​ $P_l(x)=\frac{1}{2^l2\pi i}\oint_{C}{\frac{(\zeta^2-1)^l}{(\zeta-x)^{l+1}}d\zeta}$ 

                      • ​ $P_l(x)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(x+\sqrt{x^2-1}\cos \phi)^ld\phi$ 

                    • ​生成函数

                      • ​ $\frac{1}{\sqrt{1-2rx+r^2}}= {\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}{P_l(x)r^l} }, (|x| \leq 1,|r|<1)$ 

                    • ​递推公式

                      • ​ $(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$ 

                      • ​ $P_n(x)=P'_{n+1}(x)-2xP'_n(x)+P'_{n-1}(x)$ 

                      • ​ $xP'_n(x)-P'_{n-1}(x)=nP_n(x)$ 

                      • ​ $P'_{n+1}(x)-P'_{n-1}(x)=(2n+1)P_n(x)$ 

                      • ​ $nP'_{n+1}(x)+(n+1)P'_{n-1}(x)=(2n+1)xP'_n(x)$ 

                      • ​ $P'_{n+1}(x)=(n+1)P_n(x)+xP'_n(x)$ 

                      • ​……

                  • ​特殊取值

                    • ​ $P_l(1)=1$ 

                    • ​ $P'_l(1)=\frac{l(l+1)}{2}$ 

                    • ​ $P_l(-1)=(-1)^l$ 

                    • ​ $P'_l(-1)=(-1)^{l-1}\frac{l(l+1)}{2}$ 

                    • ​ $P_{2n+1}(0)=0$ 

                    • ​ $P_{2n}(0)=(-1)^n\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$ 

                    • ​ $P_{2n}(0)-P_{2n+2}(0)=(-1)^n(\frac{4n+3}{n+1})\frac{(2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2}$ 

                    • ​ $P'_{2n}(0)=0$ 

                    • ​ $P'_{2n+1}(0)=(-1)^n\frac{(2n+2)!}{2^{2n+1}n!(n+1)!}=(2n+1)P_{2n}(0)$ 

                    • ​ $\int_{0}^{1}{P_l(x)dx}=\begin{cases} 1&l=0 \\0&l=2n \\ (-1)^n\frac{(2n)!}{2^{2n+1}n!(n+1)!} & l=2n+1 \end{cases}$ 

                  • ​正交完备性

                    • ​ $\int_{-1}^{1}{P_l(x)P_m(x)dx}=\frac{2}{2l+1}\delta_{lm}$ 

                    • ​ $f(x)= {\displaystyle \sum_{l=0}^{\infty}{C_lP_l(x)} }$ 

                      • ​ $C_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1}{P_l(x)f(x)dx}$ 

        • ​ $p(x)=1-x^2, ρ (x)=1,q(x)= m^2 /(1-x^2)$ 

          • ​ $\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+(λ-\frac{m^2}{1-x^2}) y=0$ 

            • ​连带勒让德方程

              • ​ $m$ 阶连带勒让德函数

                • ​ $P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)$ 

                  • ​前3项

                    • ​ $P_1^1(x)=(1-x^2)^{1/2}$ 

                    • ​ $P_2^1(x)=3x(1-x^2)^{1/2}$ 

                      • ​ $P_2^2(x)=3(1-x^2)$ 

                    • ​ $P_3^1(x)=\frac32(5x^2-1)(1-x^2)^{1/2}$ 

                      • ​ $P_3^2(x)=15x(1-x^2)$ 

                        • ​ $P_3^3(x)=15(1-x^2)^{3/2}$ 

  • ​弗罗贝尼乌斯法

    • ​ $y= {\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{C_kx^{k+c}} }$ 

• ​ $\delta$ 函数

  • ​特征

    • ​ $\delta(x-x_0)=\begin{cases} 0&x{=}\mathllap{/\,}x_0 \\\infty&x=x_0 \end{cases}$ 

    • ​ $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(x-x_0)dx}=1$ 

  • ​性质

    • ​ $\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta(x-x_0)dx}=f(x_0)$ 

    • ​ $f(x)\delta(x-x_0)=f(x_0)\delta(x-x_0)$ 

      • ​ $x\delta(x-x_0)=x_0\delta(x-x_0)$ 

        • ​ $x\delta(x)=0$ 

    • ​ $\delta(-x)=\delta(x)$ 

      • ​ $\delta$ 函数是偶函数

    • ​ $\delta[\ φ (x)]= {\displaystyle \sum_{k=1}^{N}{\frac{\delta(x-x_k)}{| φ '(x_k)|}} }$ 

      • ​ $x_k$ 是 $φ (x)=0$ 的单根

  • ​导数

    • ​ $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta'(x)f(x)dx}=-f'(0)$ 

      • ​ $\int_{-\infty}^{\infty}{\delta^{(n)}(x)f(x)dx}=(-1)^nf^{(n)}(0)$ 

    • ​ $\delta'(-x)=-\delta'(x)$ 

    • ​ $\delta'(x)=0,(x{=}\mathllap{/\,}0)$ 

    • ​ $x\delta'(x)=-\delta(x)$ 

• ​积分变换法

  • ​傅立叶变换

    • ​傅立叶级数

      • ​ $f(x)=a_0+ {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n \cos nx+b_n \sin nx)} }$ 

        • ​ $a_0=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}{f(x)dx}$ 

        • ​ $a_n=\frac{1}{ \pi} \int_{0}^{2 \pi}{f(x) \cos nxdx}$ 

        • ​ $b_n=\frac{1}{ \pi} \int_{0}^{2 \pi}{f(x) \sin nxdx}$ 

      • ​ $f(x)=a_0+ {\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }{(a_n \cos \frac{n \pi}{L}x+b_n \sin \frac{n \pi}{L}x)} }$ 

        • ​ ${\displaystyle \sum_{n=1}^{ \infty }{\frac{\sin nx}{n}} }=\frac{1}{2}(\pi - x),0<x<2 \pi$ 

      • ​半幅傅立叶级数

        • ​ $ϕ (x)= {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{C_n \sin \frac{n \pi x}{L}} }$ 

          • ​ $C_n=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}{ ϕ (x) \sin \frac{n \pi x}{L}dx}$ 

        • ​ $ϕ (x)=D_0+ {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{D_n \cos \frac{n \pi x}{L}} }$ 

          • ​ $D_0=\frac{1}{L} \int_{0}^{L}{ ϕ (x)dx}$ 

          • ​ $D_n=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}{ ϕ (x) \cos \frac{n \pi x}{L}dx}$ 

    • ​傅立叶积分

      • ​ $f(x)= \int_{-\infty}^{\infty}{[A(\omega) \cos \omega x+B(\omega) \sin \omega x]dx}$ 

        • ​ $A(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos \omega t dt}$ 

        • ​ $B(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin \omega t dt}$ 

        • ​ $\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\frac{\sin \omega \cos \omega x}{\omega}d\omega}=\begin{cases} 1 & |x|<1 \\ \frac{1}{2} & |x|=1 \\0 & |x|>1 \end{cases}$ 

          • ​ $x=0时,\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin \omega}{\omega}d\omega}=\frac{\pi}{2}$ 

            • ​狄利克雷积分

        • ​ $\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\frac{\cos (\omega \pi /2)}{1-\omega^2} \cos \omega x d\omega}= \begin{cases} \cos x & |x|<\pi/2 \\ 0 & |x|>\pi/2 \end{cases}$ 

          • ​ $x=0时, \int_{0}^{\infty}{\frac{\cos (\omega \pi /2)}{1-\omega^2} d\omega}= \frac{\pi}{2}$ 

    • ​傅立叶变换

      • ​ $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-i \omega x}dx}$ 

        • ​象函数

      • ​ $f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty}{F(\omega)e^{i \omega x}d\omega}$ 

        • ​原函数

      • ​性质

        • ​线性变换：

           $\mathcal{F}\{C_1f_1+C_2f_2\}=C_1 \mathcal{F}\{f_1\}+ C_2 \mathcal{F}\{f_2\}$ 

        • 微分定理一：

           $\frac{df(x)}{dx} \leftrightarrow i \omega F(\omega)$ 
          

          • ​ $f^{(n)}(x) \leftrightarrow (i \omega)^n F(\omega)$ 

        • ​微分定理二：

           $xf(x) \leftrightarrow i \frac{d}{d \omega}F(\omega)$ 
          

          • ​ $x^nf(x) \leftrightarrow i^n \frac{d}{d \omega}F(\omega)$ 

        • ​积分变换：

           $\int_{x_0}^{x}{f(x)dx} \leftrightarrow \frac{F(\omega)}{i \omega}$ 
          

        • 位移定理：

           $f(x+\zeta) \leftrightarrow e^{i \omega \zeta}F(\omega)$ 
          

        • ​卷积定理：

           $f_1(x)*f_2(x) \leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)$ 
          

          • ​卷积定义：

             $f_1(x)*f_2(x) =\int_{-\infty}^{\infty}{f_1(\zeta)f_2(x-\zeta)d\zeta}$ 
            

      • ​一些变换

        • ​ $\mathcal{F} \{\frac{1}{|x|}\}=\frac{\sqrt{2\pi}}{\omega}$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{\frac{1}{a^2+x^2}\}=\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{e^{-a|x|}\}=\frac{2a}{a^2+\omega^2},a>0$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{\delta(x)\}=1$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{e^{ax}\}=2\pi \delta(\omega+ia)$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{\sin ax\}=i\pi[ \delta(\omega+a)-\delta(\omega-a)]$ 

        • ​ $\mathcal{F} \{\cos ax\}=i\pi[ \delta(\omega+a)+\delta(\omega-a)]$ 

      • ​一些积分

        • ​ $\int_{0}^{\infty}{\frac{\cos \omega x}{1+\omega^2}d\omega}=\frac{\pi}{2}e^{-|x|}$ 

          • ​ $x=0时，\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{1+\omega^2}d\omega}=\frac{\pi}{2}$ 

        • ​ $\int_{0}^{\infty}{e^{-\omega} \cos \omega xd\omega}=\frac{1}{1+x^2}$ 

        • ​ $\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{ax^2}{2}}dx}= \sqrt{\frac{2 \pi}{a}}$ 

        • ​ $\int_{0}^{\infty}{\frac{\sin ^2 \omega}{\omega ^2}d\omega}= \frac{\pi}{2}$ 

        • ​ $\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\frac{\beta \cos \omega t}{\beta ^2 + \omega ^2}d\omega}= e^{-\beta|t|}$ 

        • ​ $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\frac{\beta \cos \omega t+\omega \sin \omega t}{\beta ^2 + \omega ^2}d\omega}= \begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/2 & t=0 \\ e^{-\beta t} & t>0 \end{cases}$ 

          • ​ $\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\beta ^2+\omega ^2}d\omega}=\frac{\pi}{2 \beta}$ 

        • ​ $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\frac{\sin \omega x}{\omega}d\omega}=\begin{cases} -1 & x<0 \\ 0 & x=0 \\1 &x>0 \end{cases}$ 

        • ​ $\int_{0}^{\infty}{e^{-\omega} \sin \omega xd\omega}=\frac{x}{1+x^2}$ 

    • ​ $\mathcal{F} \{u(x,t)\}=U(\omega,t)=\int_{-\infty}^{\infty}{u(x,t)e^{-i \omega x}dx}$ 

      • ​ $u(x,t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\Phi(\omega)e^{-a^2\omega^2t}e^{i\omega x}dx}$ 

        • ​无限长热传导定解问题：

           $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} & -\infty<x<\infty,t>0 \\ u|_{t=0}= ϕ (x) & -\infty<x<\infty \end{cases}$ 
          

      • ​ $u(x,t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}{[\Phi(\omega)\cos (a\omega t)+\frac{\Psi(\omega)}{a \omega}\sin (a\omega t)]e^{i\omega x}d\omega}$ 

        • ​无边界波动方程：

           $\begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} & -\infty<x<\infty,t>0 \\ u|_{t=0}= ϕ (x),\frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}= ψ (x) & -\infty<x<\infty \end{cases}$ 
          

        • ​ $\begin{cases} u_1(x,t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\Phi(\omega)\cos (a\omega t)e^{i\omega x}d\omega} \\ u_2(x,t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{\Psi(\omega)}{a \omega}\sin (a\omega t)e^{i\omega x}d\omega}\end{cases}$ 

          • ​ $\begin{cases} u_1(x,t)=\frac{1}{2}[\phi(x+at)+\phi(x-at)] \\u_2(x,t)=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}{\psi(\zeta)d\zeta} \end{cases}$ 

  • ​拉普拉斯变换

    • ​ $F(p)=\int_{0}^{\infty}{f(t)e^{-pt}dt}$ 

    • ​性质

      • ​线性变换：

         $\mathcal{L}\{C_1f_1+C_2f_2\}=C_1 \mathcal{L}\{f_1\}+ C_2 \mathcal{L}\{f_2\}$ 
        

      • ​微分定理一：

         $\frac{df(t)}{dt} \leftrightarrow pF(p)-f(0)$ 
        

        • ​ $\frac{d^2f(t)}{dt^2} \leftrightarrow p^2F(p)-pf(0)-f'(0)$ 

      • ​微分定理二：

         $tf(t) \leftrightarrow -\frac{d}{dp}F(p)$ 
        

        • ​ $t^nf(t) \leftrightarrow (-1)^n\frac{d^n}{dp^n}F(p)$ 

      • ​积分定理：

         $\int_{0}^{t}{f(t)dt}=\frac{F(p)}{p}$ 
        

      • ​位移定理一：

         $e^{\alpha t}f(t) \leftrightarrow F(p-\alpha)$ 
        

      • ​位移定理二：

         $u(t-a)f(t-a) \leftrightarrow e^{-ap}F(p)$ 
        

      • ​卷积定理：

         $f_1(t)*f_2(t) \leftrightarrow F_1(p)F_2(p)$ 
        

        • ​ $f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^{t}{f_1( τ )f_2(t- τ )d τ }$ 

    • ​一些变换

      • ​ $\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{p},p>0$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{p^2},p>0$ 

        • ​ $\mathcal{L}\{ t^n\}=\frac{n!}{p^{n+1}}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}=\frac{1}{p-\alpha},p>\alpha$ 

        • ​ $\mathcal{L}\{ e^{-\alpha t}\}=\frac{1}{p+\alpha}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{\frac{1}{\sqrt{t}}\}=\sqrt{\frac{\pi}{p}}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{ \cos kt\}=\frac{p}{p^2+k^2}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{ \sin kt\}=\frac{k}{p^2+k^2}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{ t\sin kt\}=\frac{2pk}{(p^2+k^2)^2}$ 

      • ​ $\mathcal{L}\{ t \cos kt\}=\frac{p^2-k^2}{(p^2+k^2)^2}$ 

      • ​ $\mathcal{L} \{\sinh kt\}=\frac{k}{p^2-k^2}$ 

      • ​ $\mathcal{L} \{\cosh kt\}=\frac{p}{p^2-k^2}$ 

    • ​ $\mathcal{L}\{u(x,t)\}=U(x,p)=\int_{0}^{\infty}{u(x,t)e^{-pt}dt}$