求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

• ​次重点

  • ​利用数列的前有限项求通项公式

    • 储备常见数列​

    • ​方法：观察归纳法

    • 相应例题

    • ​说明：结果可能不唯一

• ​核心，注意 $a_n$ 内涵

  • ​ $a_n$为分式

    • ​ $\cfrac{n+1}{a_{n+1}}-\cfrac{n}{a_n}=2$ 

    • ​数列 $\{\cfrac{n}{a_n}\}$ 为等差

  • ​ $a_n$为整式

    • ​ $(n+1)a_{n+1}-na_n=2$ 

    • ​数列 $\{na_n\}$ 为等差

  • ​ $a_n$ 为根式

    • ​ $\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}=3$ 

    • ​数列  $\sqrt{a_{n}}$ 为等差数列

  • ​ $a_n$为平方式

    • ​ $a_{n+1}^2-a_n^2=2$ 

    • ​数列 $\{a_n^2\}$ 为等差

  • ​ $a_n$为对数式

    • ​ $log_2a_{n+1}-log_2a_{n}=2$ 

    • ​数列 $\{log_2a_{n}\}$ 为等差

  • ​ $a_n$为多项式

    • ​ $a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n$ 

    • ​数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ 为等差

  • ​数学抽象

    • ​ $a_{n+1}-a_n=d$ 

    • ​数列 $\{a_n\}$ 为等差

    • ​引申：上述表达式的减号变为除号，则对应数列变为等比数列

• ​重难点1

  • 利用 $S_n和a_n$关系求通项公式

    • ​关系说明

      • ​ $a_n=\left\{\begin{array}{l}{a_1=S_1，n=1}\\{S_{n}-S_{n-1}，n\geqslant 2}\end{array}\right.$ 

    • ​常见类型

      • ​ $S_n=f(n)型$

        • 例题： $S_n=2n^2+3n+1$ 

        • ​思路：构造 $S_{n-1}$ ，做差即可，注意验证 $n=1$ 的情形；

        • ​特例： $2a_1+2^2a_2+2^3a_3+\cdots+2^na_n=n,求a_n$ 

      • ​ $S_n=f(a_n)型$ 

        • ​角度Ⅰ：求 $a_n$； 

          • ​例题： $2S_n+a_n=1$ 

          • ​思路：构造 $S_{n-1}$ 做差消去 $S_{n}$类 即可，注意验证 n=1 的情形；

        • ​角度Ⅱ：求 $S_n$； 

          • ​例题： $a_1=1，a_{n+1}=3S_n$ 

          • ​思路：用 $S_n$ 类替换 $a_n$类，再变形即可

      • ​ $S_n=f(n,a_n)$ 

        • ​思路：构造 $S_{n-1}$ 做差，

          • ​若结果为 $a_n=pa_{n-1}+q$ 

            • ​例题： $a_n=2a_{n-1}-1$ 

            • ​思路：两边同加常数 $k=\cfrac{q}{p-1}$ ，构造等比数列求解；

          • ​若结果为 $a_n=pa_{n-1}+qn+k$ 

            • ​太难，暂不做介绍

• ​重难点2

  • 利用递推关系求通项公式

    • ​递推关系式

      • ​对照： $a_n=f(n)$ ，如果数列的 $a_n$ 与数列的项数 $n$ 之间存在对应关系，则此关系称为数列的通项公式；

      • ​概念： $a_n=f(a_{n-1}，a_{n+1}，\cdots)$ 如果数列的 $a_n$与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系，此关系称为递推关系式；

      • ​例子： $a_{n+1}=2a_n-3a_{n-1}$ 

      • ​针对递推关系式，主要是通过变形构造等差或等比数列

    • ​形如 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ 

      • ​例题： $a_{n+1}-a_n=2\cdot 3^n+1$ 

      • ​思路：累加法

      • ​注意：别忘记对 $n=1$ 的验证

    • ​形如 $\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$ 

      • ​例题： $(n+1)a_{n+1}-na_n=0$ 

      • ​思路：累乘法

      • ​注意：别忘记对 $n=1$ 的验证

    • $a_n=pa_{n-1}+q$ $p,q$ 为常数 

      • ​例题： $a_n=2a_{n-1}-1$ 

      • ​思路：两边同加常数 $k=\cfrac{q}{p-1}$ ，构造等比数列求解；

    • $a_n=pa_{n-1}+q$， $p,q$ 为常数

      • ​例题： $a_n=3\cdot a_{n-1}+2^n$ 

      • ​思路：两边同除以 $2^n$,变形为 $\cfrac{a_n}{2^n}=\cfrac{3}{2}\cdot \cfrac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+1$ 

    • ​形如 $a_{n+1}=\cfrac{p\cdot a_n}{a_n+q}$ ， $p,q$ 为常数

      • ​例题： $a_{n+1}=\cfrac{2\cdot a_n}{a_n+2}$ 

      • ​思路：两边取倒数，构造等差数列 $\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{1}{a_n}+\cfrac{1}{2}$ 

    • ​形如 $a_{n+1}-a_n=k\cdot a_{n+1}a_n$   $k$ 为常数

      • ​例题： $a_{n+1}-a_n=2\cdot a_{n+1}a_n$ 

      • ​思路：两边同除以 $a_{n+1}a_n$ ，构造等差数列 $\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=-2$ 

• ​非主流思路

  • 赋值法

    • ​例1，等差

      • ​题目： $a_{n+m}=a_n+a_m$ 

      • ​思路：令 $m=1$ ，则 $a_{n+1}=a_n+a_1$ 

    • ​例2，等比

      • ​题目： $a_{n+m}=a_n\cdot a_m$ 

      • ​思路：令 $m=1$则 $a_{n+1}=a_n\cdot a_1$ 

  • ​相邻两项的和积式

    • ​和式

      • ​题目： $a_{n+1}+a_{n}=2n$ 

      • ​思路：构造 $a_{n+2}+a_{n+1}=2(n+1)$  ，作差得到 $a_{n+2}-a_{n}=2$  ,即所有奇数项、偶数项各自成等差数列；

    • ​积式

      • ​题目： $a_{n+1}\cdot a_n=2^n$ 

      • ​思路：构造 $a_{n+2}\cdot a_{n+1}=2^{n+1}$ ，作商得到 $\cfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=2$ ,即所有奇数项、偶数项各自成等比数列；

  • ​取对数法

    • ​题目： $a_{n+1}=3a_n^2$ 

    • ​思路：两边取对数，得到 $lg a_{n+1}=2lga_n+lg3$ 

  • ​解方程法

    • ​题目： $a_n^2-2na_n-1=0，a_n>0$ 

    • ​思路：用求根公式求 $a_n$