电子自旋和全同粒子

• ​自旋算符

  • ​

  • ​对易关系

    • ​

  • ​S=1/2时

    • ​ $S_x，S_y，S_z的本征值为\frac{\hbar}{2}$ 

    • ​ $S^2 = \frac{3}{4}\hbar^2$ 

  • ​pauli算符

    • ​ $\hat {\vec S} = \frac{\hbar}{2}\hat{\vec \sigma}$ 

      • ​ $\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z的本征值为1$

      • ​ $\sigma_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta} + i \sum_\gamma{\epsilon_{\alpha\beta}}\sigma_\gamma$ 和 $\sigma^+ = \sigma$ 概括了 $\sigma$ 的全部代数性质

      • ​ $\sigma$ 的分量之间满足反对易关系

    • ​自旋算符的矩阵形式——pauli矩阵

      •  $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{pmatrix}$ ​ $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{pmatrix}$$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix}, \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\i & 0 \end{pmatrix}, \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1 \end{pmatrix}$ 

  • 电子自旋态

    • ​电子自旋磁矩

      • ​电子自旋磁矩等于一个玻尔磁子

        • ​ 电子自旋磁矩算符$\hat {\vec \mu_s} = - 2\cdot \frac{\mu_B}{\hbar}\hat {\vec S} = - \frac{e}{m_e}\hat {\vec S}$ 

        • ​轨道磁矩算符： $\hat {\vec \mu_l} = -\frac{\mu_B}{\hbar}\hat {\vec L}$ 

        • ​与外磁场的作用能

          • ​ $W = -(\hat {\vec \mu_l}+\hat {\vec \mu_s})\cdot \vec B$ 

    • ​规定第一行对应 $S_z = \frac{\hbar}{2}$ ,第二行对应 $S_z = -\frac{\hbar}{2}$ 

• 全同粒子体系

  • 全同粒子的全部内禀性质（静质量，电荷，自旋，磁矩，寿命）完全相同，全同粒子不可分辨

  • ​全同性假设：全同粒子体系中任意两个全同粒子的交换，都不改变体系的物理状态
    任意交换两个全同粒子，体系的波函数或者不变，或者只改变一个符号

    • ​交换算符 $\hat P_{ij}$ ，本征值为 $\pm 1$ 

    • 玻色子和费米子

      • ​玻色子：自旋为 $\hbar$ 的整数倍， $\pi$ 子（S=0），光子（S=1)，具有对称波函数
        玻色子满足对易规则，体系遵从玻色-爱因斯坦统计

      • ​费米子：自旋为 ℏ的半整数倍，电子、质子、中子（ $S=\frac{1}{2}$ ） ，具有反对称波函数
        费米子满足反对易规则，体系遵从费米-狄拉克统计

      • ​复合粒子

        • ​玻色子构成：玻色子

        • ​偶数个费米子构成：玻色子

        • ​奇数个费米子构成：费米子

    • ​全同性假设对哈密顿量的要求

      • ​任意交换两个全同粒子，体系的哈密顿量不变。

    • 交换对称和反对称波函数的构成

      • 单粒子： $\Psi(q_1,...,q_n) = \Psi_1(q_1)...\Psi_n(q_n)$ 

      • 二粒子体系：

        • ​两个独立的玻色子：

           $\Psi_{k_1k_2}(q_1,q_2) = 1/\sqrt{2}[\phi_{k_1}(q_1)\phi_{k_2}(q_2)+\phi_{k_1}(q_2)\phi_{k_2}(q_1)]$ 

        • 两个独立的费米子：
           $\Psi_{k_1k_2}(q_1,q_2) = 1/\sqrt{2}[\phi_{k_1}(q_1)\phi_{k_2}(q_2)-\phi_{k_1}(q_2)\phi_{k_2}(q_1)]$ 
          

      • ​N粒子体系

        • ​玻色子：

        • ​费米子：

    • Pauli不相容原理：不可能有两个或更多的费米子处于完全相同的量子状态中。

• ​自旋单态、三重态及纠缠态

  • 单体近似下两电子的自旋函数是每个电子自旋函数的积

    • ​

    • 由无耦合表象 $\{\hat s_1^2,\hat s_{1z}^2,\hat s_2^2,\hat s_{2z}^2\}$ 的基底可以构成四个具有确定对称性的自旋波函数
      
      
      

      • ​

  • 纠缠态

    • 可分离态

      • 由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的 量子态的乘积，则称为可分离态

    • ​纠缠态

      • ​由两个粒子组成的复合体系的量子态，不能表示为每个粒子的量子态的乘积，则称为纠缠态

• ​角动量合成

  • ​两角动量相互独立 $\vec J_1 ，\vec J_2$ ,则它们的分量相互对易，矢量和 $\vec J = \vec J_1 +\vec J_2$ 也是一个角动量算符，称为总角动量，它满足角动量的一半关系 $\vec J\times \vec J= i\hbar \vec J$ 

    • ​对易关系：

    • ​角动量体系的力学量完全集

      • ​耦合表象： $\{\hat J_1^2,\hat J_{1z},\hat J_2^2,\hat J_{2z} \}$ 

        • 基底： $|j_1j_2jm\rangle$ 

      • 非耦合表象： $\{\hat J_1^2,\hat J_2^2,\hat J^2,\hat J_{z} \}$ 

        • ​ $|j_1m_1j_2m_2\rangle = |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle$ 

      • ​对于总角动量的取值j，如果 $j_1和j_2确定$ ，则 $j = |j_1 - j_2|,|j_1-j_2| +1,…,j_1 + j_2$