力学量和三维运动问题

• ​守恒量与对称性

  • ​力学量随时间的演化

    • ​

      • ​守恒量：如果A不显含时间T，即 $\bar {\frac{\partial A}{\partial t}} = 0$ ,若 $[A,H] = 0$ ,则A为守恒量，在任何态下的平均值不随时间改变

        • ​在任何态下，A的概率分布也不随时间改变

      • ​定态：一切力学量的平均值和概率分布不随时间变化
        守恒量：任意状态下平均值和概率分布不随时间变化

      • ​自由粒子的守恒量： $[\vec p,H] ,[\hat P ,H]$ 

      • 粒子在中心势场中： $\hat L^2,\hat L_z$ 

  • ​能级简并与守恒量的关系

    • ​定理：如果体系具有两个互相不对易的守恒量，那么体系一般是简并的；
      推论：如果体系有一个守恒量F, 而体系的某条能级不简并(即对应于某能量本征值只有一个本征态), 则必为F的本征态.

  • ​守恒量完全集

    • ​三维各向同性谐振子

      • ​ $\{\hat H, \hat L_z,\hat L^2\}$ 

      • ​ $\{\hat H_x, \hat H_y,\hat H_z\}$ 

    • ​自由粒子

      •  $​ \{\hat H_x, \hat L_z,\hat L^2\}$ 

      • ​ $\{p_x, p_y,p_z\}$ 

• ​不确定度关系

  • 导出

    • ​偏差算符： $\Delta A = A - \bar A$  $\overline {\Delta A} = \overline {A - \bar A} = \bar A - \bar A = 0$  $\overline {(\Delta A)^2} = \overline {(A - \bar A)^2} = \overline {A^2} - \bar A ^2$ 
      

      • ​算符A的取值不确定度： $\Delta A= \sqrt{ \overline {A^2} - \bar A ^2}$ 

  • ​含义

    • ​

      • ​如果 $[A,B] = iC，则\overline{(\Delta A)^2}\cdot \overline{(\Delta B)^2} \geq 1/4 \overline {|i[A,B]|^2} = 1/4 \overline {C^2}$ 

        • ​ $\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \hbar/2$ 

        • ​ $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar/2$ 

  • 举例

    • ​谐振子的零点能

      •  $\overline E_{min} = 1/2 \hbar \omega$ 

• ​算符的运算和对易关系

  • 动量算符
    角动量算符
    非相对论动能算符
    势能算符
    系统总能量算符

  • ​算符运算规则

    • ​线性算符
      算符相等
      单位算符
      算符相加（交换律和结合律）
      算符之积（一般不满足交换律）

    • ​逆算符 $\hat A\hat A^{-1} = 1$ ，投影算符不存在逆算符

    • 算符的复共轭

    • ​算符的厄米共轭和厄米算符

      • ​ $\int\Psi^*(x)\hat A^+\Phi(x)dx = \int[\hat A\Psi(x)]^*\Phi(x)dx$ ， $\hat A^+ = \hat A$ 
        则为厄米算符

        • ​坐标、动量、角动量、哈密顿量、宇称算符均为厄米算符

      • ​运算规则

        • ​ $（\hat A^+）^+ = \hat A$ 

        • ​ $（\hat A^+\hat B)^+ = \hat A^++\hat B^+$ 

        • ​ $（\hat A \hat B)^+ =\hat B^+ \hat A^+$ 

      • ​定理：

        • ​厄米算符的本征值为实数

        • ​体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数

        • ​在任何状态下平均值为实数的算符必定为厄米算符

          • ​推论：若为厄米算符，则任意态之下，平均值大于等于0

    • ​幺正算符： $\hat A^+ = \hat A^{-1}$ 

  • ​算符的本征方程

    •  $\hat F\psi_\lambda = \lambda\psi_\lambda$ 

    • ​算符的本征值集合就是力学量的测量值集合，算符的本征函数代表力学量有确定值的状态

  • ​算符的对易关系

    • ​ $[ \hat A^,\hat B] = \hat A\hat B-\hat B\hat A$ ,若结果为0，则两算符对易

    • ​对易关系的运算

      • ​

        • ​坐标、动量的对易关系

          • ​

        • ​角动量的对易关系

          • ​

            • ​

        • 角动量算符：如果满足 $[\hat A_x,\hat A_y] = i\hbar\hat A_z$ 即为角动量算符，角动量算符的分量和角动量的平方对易

          • ​

          • 

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        • ​角动量和坐标、动量之间的对易关系

          • ​

            • ​

    • ​共同本征函数

      • ​定理：如果算符F和G有一组共同本征函数 $\phi_n$ ,且其组成完全系，则算符F和G对易 $\Phi$$\Phi_n$ 
        

      • ​逆定理：如果算符F和G对易，则其有共同本征函数，

      • ​共同本征函数描写的时几个力学量同时有确定值的状态

        • ​

• ​中心力场中粒子运动的一般性质

  • ​中心力场的特点:轨道角动量守恒，势能函数与方向无关

  • ​力学量完全集： $​ \{\hat H_x, \hat L_z,\hat L^2\}$ 

  • 波函数及其求解

    • 势函数球对称可分离变量： $\Psi(r,\theta,\phi) = R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$ ，径向方程和球谐函数

      • 中心势场中粒子运动的哈密顿量：

      • 径向方程

        • 

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      • ​球谐函数

    • ​能级简并度：2l+1

    • ​宇称：宇称由 $Y_{lm}(\theta,\phi)$ 决定，因此本征态的宇称为 $(-1)^l$ 

    • ​解的渐进行为： $\lim_{r \rightarrow 0}R_l(r) \sim r^l$ 

  • 两体问题的求解：引入相对坐标和质心坐标，通过变换分离变量

    • ​

• ​算符与力学量之间的关系

  • ​分立谱和连续谱

    • 

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  • ​力学量完全集

    • ​定义：相互之间两两对易的能够对一个量子体系全部状态进行彻底分类标记的最少数目的力学量算符

      • ​氢原子： $\{\hat H,\hat L^2,\hat L_z\}$ 

      • 转动： $\{\hat L^2,\hat L_z\}$ 

      • ​动量：

         $\{\hat p_x,\hat p_y,\hat p_z\}$ 

      • 坐标： $\{x,y,z\}$ 

  • ​正交性定理

    • ​厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交

      • ​

  • ​本征函数系的完备性

    • ​任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数均可用这个函数系展开

      • ​完备性用封闭关系表示

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        • 

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  • ​力学量的测量

    • ​分立谱： $\sum_n|C_n|^2$ =1

    • ​连续谱： 测量值在区间$\lambda~ \lambda+d\lambda$ 

  • ​力学量的平均值

    • 

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      • ​

• ​氢原子

  • ​能量本征方程

    • ​势函数： $V(r) = -\frac{e^2}{r}$ 

    • 采用质心坐标和相对坐标，本征方程变为：

    • ​能量本征值：

    • 本征波函数：

    • ​能级简并度： $n^2(不考虑自旋),2n^2(考虑自旋）$

    • ​

  • ​氢原子的性质

    • ​能谱：混合谱

    • ​概率密度分布：

      • 径向概率分布：在 $r\sim r+dr$ 球壳内找到粒子的概率： $W_{nl}dr = R^2_{nl}(r)r^2dr$ 

      • ​角向概率分布： $在(\theta,\phi)方向立体角元d\Omega中的概率$ ： $W_{lm}(\theta,\phi)d\Omega = d\Omega|Y_{lm}(\theta,\phi)|^2$ 

      • ​

  • 本征态轨道电流分布和磁矩

    •  $j_r = j_\theta = 0$ , $j_ φ = \frac{m\hbar}{μ }\frac{1}{rsin\theta}|\Psi_{nlm}|^2$ ,电流密度矢量： $j_ e = \frac{m\hbar}{μ }\frac{1}{rsin\theta}|\Psi_{nlm}|^2\vec e_φ$ 

    • ​轨道磁矩： $\mu_z = -\frac{e\hbar}{2\mu c}m = \mu_B m$ 

      • ​玻尔磁子： $\mu_B$ 

      • 轨道磁矩算符： $\hat {\vec \mu_l} = -\frac{\mu_B}{\hbar}\hat{\vec L}$ 

      • ​轨道磁矩与外磁场的作用能

        • ​ $\hat W = -\hat{\vec \mu_l}\cdot \vec B = \frac{\mu_B}{\hbar}\hat {\vec L}\cdot \vec B$ 

  • 类氢离子

    • ​解离到只剩一个电子的离子

    • ​

      • ​

• ​动量算符和角动量算符

  • ​动量本征函数

    •  $\Psi_p(r) = Cexp(i\hbar p\cdot r)$ 

    • 归一化： $C= \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}$ 

    • ​箱归一化：满足周期性边界条件：

       $\frac{p_x}{\hbar}L = 2n_x\pi$ 
      L趋于无穷，离散谱变为连续谱

  • ​角动量算符

    • ​直角坐标表示

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        • ​球坐标表示

          • ​

    •  $\hat L_z$ 的本征函数

      • 

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    • ​ $\hat L^2$ 的本征函数

      • ​球谐函数：

        • ​球谐函数的基本性质

          • ​ $Y_{lm}(\theta,\psi)$ 是 $\hat L^2和\hat L_z$ 的共同本征函数

          • ​2l+1度简并

          • ​l为轨道角量子数，m为磁量子数

          • ​ $\hat L^2和\hat L_z$ 是描述转动的力学量完全集

    • ​定轴转动模型

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        • ​定点转动

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            • ​其他模型

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