矩阵分析

• ​线性空间与线性变换

  • ​线性空间概念

    • ​线性相关 

      • ​向量组内至少有一个向量可以用其他向量线性表示

    • ​线性无关

      • ​向量组内任一向量都不能由组内其余向量线性表示

    • ​基

      • ​向量组构成线性空间V中的一个基的条件：

      • ​1：向量组线性无关

      • ​2：线性空间V中任一向量可由向量组线性表示

    • ​维数

      • ​线性空间V的一个基中的向量的个数n

    • ​集合 V 的加法和乘法运算满足八条规则，才能被称为 线性空间

  • ​基变换与坐标变换

    • 过渡矩阵

      • ​线性空间V有一组基 $α$ $α ：$ $α_{1},α_{2}...α_{n}$ 和另一组基 $β ：$ $β _{1},β_{2}...β_{n}$ ，若存在一矩阵A，使得 $β = α A$ ，则A被称为从α基到β基的过渡矩阵

      • ​若 $γ$ 向量在基 $α$ 和基 $β$ 中的表示为： $γ = α k=β l$  ，则 $k$ 和 $l$ 之间的关系为： $k=Al$ 

  • ​子空间与维数定理

    • ​子空间

      • ​相性空间V的非空子集W是子空间 $\Leftrightarrow$ 

        • ​W关于V中定义的两个运算是“封闭”的

        • ​1.若 $α , β \in W，则α + β \in W$ 

        • ​2.若 $α \in W,k\in P,则kα \in W$ 

      • ​零子空间

        • ​在线性空间V中，只有一个零向量组成的子集 $\left\{ 0 \right\}$ 是V的一个零子空间

      • ​平凡子空间

        • ​线性空间V本身也是V的一个子空间，这两个子空间被称为平凡子空间

      • ​生成子空间

        • 向量组α是线性空间V中的向量，                                                              若所有形如 $k_{1} α_{1}+ k_{2} α_{2}+ \cdot \cdot \cdot +k_{n} α_{n}$ 的线性组合构成的集合非空，形成线性空间V的一个子集，这个线性组合是向量组α生成的子空间，    记为 $L \left( α_{1},α_{2}, \cdot \cdot \cdot , α_{n} \right)$ 

    • ​直和

      • ​ $V_{1},V_{2}$ 是V的子空间，如果 $V_{1},V_{2}$ 的和 W 具有性质：对每个 $α \in W$ ，分解式 $α = α _{1} +α _{2} \left( 其中α _{1} \in V_{1} ,α _{2} \in V_{2} \right)$ 是唯一的，           则称W= $V_{1}+V_{2}$ 为直和，并记为W= $V_{1} \oplus V_{2}$ 

  • ​线性空间的同构

    • ​同构映射

      • ​如果数域P上的两个线性空间 $V$ 与 $V'$ 称为是同构的，那么：

      • ​如果 $V$ 与 $V'$ 之间有一个一一对应的映射$σ$ ，使得对于任何 $α , β \in V$ 及 $k \in P$ ,均满足：                                                                                    1. $σ \left( α + β \right) = σ \left( α \right) +σ \left( β \right)$                                                             2. $σ \left( λ α \right) = k σ \left( α \right)$                                                                                  $σ$ 就被成为从 $V$ 到 $V'$ 的同构映射

  • ​线性变换的概念

    • • ​数域P上的线性空间V的一个线性变换T，对任意 $α , β \in V及k \in P$ ，都有：                                                                                            $T \left( α + β \right) = T \left( α \right) + T \left( β \right),T \left( kα \right) = kT \left( α \right)$ 

      • ​零变换：把线性空间V的每个向量都映射到0向量的变换

      • ​单位变换：把V中每个向量都映射到自身的变换

      • ​线性变换的运算

        • ​线性变换的和

          • ​ $T \left( α \right) = T_{1} \left( α \right) + T_{2} \left( α \right)$ ，T称为线性变换 $T_{1}与 T_{2}$ 的和

        • ​线性变换的乘积

          • ​ $T \left( α \right) = k \left( T_{1} \left( α \right) \right)$ ,T称为数k与线性变换 $T_{1}$ 的数量乘法

        • ​线性变换的数量乘法

          • ​ $T \left( α \right)=T_{1} \left( T_{2} \left( α \right) \right)$ T称为线性变换 $T_{1}与 T_{2}$ 的乘积

        • ​运算的性质

          • ​以上任意三个线性变换，结合律成立，有： $T_{1} \left( T_{2} T_{3} \right) = \left( T_{1} T_{2} \right) T_{3}$ 

          • ​线性变换的和 满足交换律及结合律

          • ​线性变换的乘法对加法的分配率成立

          • ​零变换以及任一线性变换T，满足：T+0=T,T+(-T)=0

          • ​线性变换的数量乘法满足以下式子：                                                   $(kl)T=k(lT),(k+l)T=kT+lT$                                                  $k(T_{1} +T_{2})=kT_{1}+kT_{2} ， 1T=T$ 

      • ​数域P上的线性空间V的全体线性变换组成的集合，对于线性变换的加法及数量乘法，也构成数域P的一个线性空间，用L(V)表示

      • ​设 T 是线性空间 V 的线性变换，则 $K= \left\{ α \in V|T α =0 \right\}$ 是 V 的一个子空间。这个子空间 K 成为线性变换 T 的核。并被记为： $T^{-1} \left( 0 \right)$ 

    • ​逆变换

      • 在线性空间V里，​设 $I$ 是单位线性变换，T 和 S 是两个线性变换，如果有： $TS=ST=I$ ,则称线性变换 T 是可逆的，S 称为 T 的逆变换，记为： $T^{-1}$ 

  • ​线性变换的矩阵

    • ​ $(Tα_{1},Tα_{2},...,Tα_{n})=(α_{1},α_{2},...,α_{n}) A$                                        矩阵 A 是线性变换 T 在 基 $α_{1},α_{2},...,α_{n}$ 下的矩阵

  • ​不变子空间

    • ​设 T 是线性空间 V  的一个线性变换， W 是 V  的一个子空间。若对任一  $α \in W$ ，都有 $Tα \in W$ ，即： $T(W) \in W$ ,则称 W 是线性变换 T 的不变子空间，也就是说子空间 W 对线性变换 T 是不变的。                        例如： 零空间 及 V 本身都是 T 的不变子空间

• ​内积空间

  • ​内积空间的概念

  • ​正交基于子空间的正交关系

  • ​内积空间的同构

  • ​正交变换

  • ​点到子空间的距离与最小二乘法

  • ​复内积空间（酉空间）

  • ​正规矩阵

  • ​厄米特二次型

  • ​力学系统的小震动

  • ​习题二

• ​矩阵的标准型

  • ​矩阵的相似对角型

  • ​矩阵的约旦标准型

  • ​哈密顿—开莱定理及矩阵的最小多项式

  • ​多项式矩阵与史密斯标准型

  • ​多项式矩阵的互质性和既约性

  • ​有理分式矩阵的标准形机器仿分式分解

  • ​系统的传递函数矩阵

  • ​舒尔定理及矩阵的QR分解

  • ​矩阵的奇异值分解

  • ​习题三

• ​矩阵函数及其应用

  • ​向量范数

  • ​矩阵范数

  • ​向量和矩阵的极限

  • ​矩阵幂级数

  • ​矩阵函数

  • ​矩阵的微分与积分

  • ​常用矩阵函数的性质

  • ​矩阵函数在微分方程组中的应用

  • ​线性系统的能控性与能观性

  • ​习题四

• ​定理

  • 一

    • ​1

      • ​设V是数域P上的n维线性空间， $α _{1} ,α _{2}, \cdot \cdot \cdot α _{n}$ 是V的一个基，则V中任一向量 $α$ 都可以表示为这个基的线性组合，而且表示式是唯一的。

    • ​2

      • ​设W是数域P上的线性空间V的非空子集，则W是V的线性子空间的充要条件是：                                                                                                          1.若 $α , β \in W$ ，则 $α + β \in W$                                                              2.若 $α \in W,k \in P,则k α \in W$                                                              换句话说，线性空间V的非空子集W是子空间的充要条件是：                     W关于V中定义的两个运算是“封闭”的

    • ​3

      • ​设 $V_{1} ，V_{2}$ 是数域P上线性空间V的两个子空间，                                    则他们的交 $W = V_{1} \cap V_{2}$ 也是V的子空间

    • ​4

      • ​设 $V_{1} ，V_{2}$ 是数域P上线性空间V的两个子空间，                                    则他们的和 $W = V_{1} + V_{2} = \left\{ α + β | α \in V_{1}， β\in V_{2} \right\}$ 也是V的子空间

    • ​5 必考

      • ​（维数公式）设V是数域P上的n维线性空间， $V_{1}$ ， $V_{2}$ 是它的两个子空间，则有维数公式：                                                                                     $dim V_{1} +dim V_{2} = dim \left( V_{1}+V_{2} \right) +dim \left( V_{1} \cap V_{2} \right)$                      或写作：                                                                                                        $dim \left( V_{1}+V_{2} \right) = dim V_{1} +dim V_{2} -dim \left( V_{1} \cap V_{2} \right)$ 

    • ​6 7

      • ​关于子空间的直和，下列命题是等价的：                                                    1. $V_{1} + V_{2}$ 中任一向量 $α$ 和0向量的分解式是唯一的。                              2. $V_{1} \cap V_{2}= \left\{ 0 \right\}$                                                                                      3. $dim \left( V_{1} + V_{2} \right) = dim V_{1}+dim V_{2}$ 

    • ​8

      • ​数域P上的任意两个n维线性空间 $V$ 与 $V'$ 都是同构的                               推论：数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同

    • ​9

      • ​设 T 是n维线性空间 V 的线性变换，则有维数关系：                                   $dim T \left( V \right) + dim T^{-1} \left( V \right) = n$ 

    • ​10

      • ​设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， $α _{1} , α _{2} ,... α _{n}$ 是 V 的一个基，        $β _{1} , β _{2} ,... β _{n}$ 是 V 的任意n个向量，则存在唯一的一个线性变换 T ，使得： $T( α_{1} ) =β _{1} , T( α_{2} ) =β _{2} ,... ,T( α_{n} ) =β _{n}$ 

    • ​11

      • ​数域 P 上 n 维线性空间 V 的所有线性变换构成的线性空间 L(V) ，在取定 V 的一个基之下，它与数域 P 上的一切 n×n 的矩阵构成的线性空间 $P^{n × n}$ 是同构的。                                                                                       推论： $dimL(V) = dim P^{n × n} =n^{2}$ 

    • ​12

      • ​设 $α_{1} , α_{2} ,..., α_{n}$ 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基，在这个基下，有：                                                                                                              1.线性变换的乘积对应矩阵的乘积。                                                           2.可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应于逆矩阵

    • ​13

      • ​设 V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间， $α_{1} , α_{2} ,..., α_{n}$ 及 $β _{1} , β _{2} ,..., β _{n}$ 是 V 的两个基，从 $α$ 基过渡到 $β$ 基的过渡矩阵是 C 。又设 T 是 V 的一个线性变换，T 在 $α$ 基下的矩阵是 A ,在$β$ 基下的矩阵是B，则有：            $B=C^{-1} AC$ 

• ​习题

  • ​习题一

    • ​1.在n维线性空间  $P^{n}$ 中，下列 n 维向量的集合 V ，是否构成 P 上的线性空间？

      • ​（1） $V= \left\{ (a,b,a,b,...,a,b)|a,b \in P\right\}$ 

        • ​构成线性空间

      • ​（2） $V= \left\{ (a_{1} ,a_{2},...,a_{n})| {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_{1} } }=1\right\}$ 

        • ​不构成线性空间，首先加法不封闭，例：（1,0）+（0,1）=（1,1），（1,1）不属于集合V。其次不包含0向量，不是线性空间。

      • ​（3） $V= \left\{ X = ( x_{1}, x_{2},..., x_{n},|AX=0,A \in P^{n × n} )\right\}$ 

        • ​构成线性空间

    • ​2.按照 通常矩阵 的 加法 及 数 与 矩阵的 乘法 ，判断下列数域 P 上的方阵集合是否构成线性空间

      • ​（1）全体形如 $\begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & b \end{bmatrix}$ 的集合

        • • ​是线性空间

      • ​（2）全体 n 阶对称（或反对称，上三角）矩阵的集合

        • ​是线性空间

      • ​（3） $V= \left\{ X|AX=0，X \in P^{n × n} \right\}$ ,A为给定的n阶方阵，        $A \in P^{n × n}$ 

        • ​是线性空间

    • ​3.证明：线性空间定义中，第（3）个条件的第（1）个条件: $α , β \in V, α + β = β + α$ 不是独立的，它可以由其他七个条件推出。

      • ​ $①2( α + β ) \rightarrow 性质8 \rightarrow 2 α +2 β \rightarrow 性质七：(1+1)α +(1+1) β= α+ α+ β+ β$                                                                             $②2( α + β ) \rightarrow 性质7 \rightarrow (1+1)(α + β)=(α +β)+( α + β) = α+ β + α + β$                                                                                $①②得： α + α+ β + β = α + β + α + β$                                      -α + α + α + β + β - β = -α + α + β + α + β - β                                             性质2： α + β = β + α$=：- α +α + α+ β + β - β =- α + α + β + α + β - β$性质4：−α+α+α+β+β−β=−α+α+β+α+β−β 

    • ​4.证明：对于有限维的线性空间，规则“1a=a”是可以证明的而不必在定义中给出。

      • ​ $设 β_{1}... β_{n}是一组基， α=k_{1}β _{1}+... +k_{n}β _{n}$                                     $1 α =1(k_{1}β _{1}+... +k_{n}β _{n} )=1k_{1}β _{1}+...+1k_{n}β _{n}= α$ 

    • ​5.证明，若V中每个向量都可由V中的n个向量 $α _{1},... , α _{n}$ 线性表出，而且有一个向量的表示法唯一，则 V 必定是 n 维线性空间，这组向量是它的基$α _{1}+... + α _{n}$

      • ​假设 V 中有向量 $β _{0}=k_{1} α _{1} +...+k_{n} α _{n}$ ，它的表示法唯一。             如有: $c_{1} α _{1} +...+c_{n} α _{n}=0$ ,则有：                                                       $(k_{1} +c_{1}) α _{1} +...+(k_{n}+c_{n}) α _{n}= β _{0}$ ,因为 $β _{0}$ 的表示法唯一，若 $c_{1},...,c_{n}$ 不为0，则矛盾，因此 $c_{1}=...=c_{n}=0$ ，所以 $α _{1},..., α _{n}$ 线性无关。是 V 的基 $c_{1}...c_{n}$

    • ​6.在三维空间中，求向量 $α$ 在基 $ε_{1} ,ε_{2},ε_{3}$ 下的坐标 

      • (​1) $α =(1,2,1),ε_{1}=(1,1,1) ,ε_{2}=(1,1,-1),ε_{3}=(1,-1,-1)$ $α ( \begin{bmatrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ε_{3} \end{bmatrix} )$ =  $(1,2,1) \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\\ 1 & -1&-1 \end{bmatrix} ^{-1} =(1, \frac{1}{2} ,- \frac{1}{2} )$ 

      • ​(2) 答案：（33，-82,154）

    • ​有两个基 α  基, β 基，1.求 $α$ 基到 $β$ 基的过渡矩阵 2.求向量 $γ$ 对 $β$ 基的坐标 3.求对两个基有相同向量的非零向量

      • ​ $α 基： ( α_{1},..., α_{n} ) β 基： ( β _{1},..., β _{n} )$                                                   $β = α A$$β = α A$  $β = α A$ 
        

      • 1.​ $α基：(α 1 ​ ,...,α n ​ )β基：(β 1 ​ ,...,β n ​ )$ = $( β_{1},...,β_{n} )$ 

      • ​2. $( γ_{1},..., γ_{n} )= γ ( β _{1},..., β _{n})^{-1}$