概率论-ZhiMap思维导图

概率论
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- 随机事件及其概率
  - 随机事件
    - 事件的集合表示
    - 事件的关系与运算
    - 事件的运算规律
  - 随机事件的概率
    - 频率及其性质
    - 概率公理化
    - 概率的性质
      - $P(\oslash)=0$
      - $(有限可加性)设A_1,A_2,\dotsb,A_n是两两互不相容的事件，则有\\ P(A_1\cup A_2\cup \dotsb\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dotsb +P(A_n)$
      - $P(\bar A)=1-P(A)$
      - $P(A-B)=P(A)-P(AB).若B\subset A则\\ (1)P(A-B)=P(A)-P(B)\\ (2)P(A)\geqslant P(B)$
      - $对任一事件A，P(A)\leqslant 1$
      - $对任意两个事件A,B有P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB);\\ 三个事件A,B,C,有P(A\cup B\cup C)=p(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P()ABC$
  - 古典概型
    - 特点
      - 结果有限
      - 结果等可能
    - 计算
      - $P(A)=p(\mathop\cup\limits_{j=1}^kA_{ij})=\sum\limits_{j=1}^kP(A_{ij})=\cfrac{k}{n}=\cfrac{A包含的基本事件数}{S包含的基本事件的总数}$
      - 基本技术原理
        加法原理
        乘法原理
      - 排列组合方法
        排列公式
        $n个元素取k个(1\leqslant k\leqslant n)的不同排列总数为\\ P_n^k=n(n-1)(n-2)\dotsb(n-k+1)=\cfrac{n!}{(n-k)!}$
        组合公式
        $n个元素取k个(1\leqslant k\leqslant n)的不同排列总数为\\ C_n^k=\cfrac{P_n^k}{k!}=\cfrac{n!}{(n-k)!k!},C_n^k有时记作\binom{n}{k},称为组合系数$
  - 条件概率
    - 定义
      - $P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}$
    - 性质
      - $0\leqslant P(B|A) \leqslant 1$
      - $P(S|A)=1$
      - $P(X_1\cup X_2 \cup \dotsb \cup A_n |A)=P(A_1|A)+P(A_2|A)+\dotsb+P(A_n|A)$
    - 乘法公式
      - $P(AB)=P(A)P(B|A) , (P(A)\gt 0)\\ P(AB)=P(B)P(A|B)$
    - 全概率公式
    - 贝叶斯公式
  - 事件的独立性
    - 有限事件的独立性
    - 伯努利概型
- 随机变量及分布
  - 离散型变量的分布
    - 0-1分布
      - $P\{X=x_1\}=p,P\{X=x_2\}=1-p(0\lt p \lt 1),\\ 称X服从x_1,x_2处参数为p的两点分布$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=0\ast(1-p)+1\ast p=p$
        $E(X^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p$
        方差
        $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$
    - 二项分布 $X\sim b(n,p)$
      - $P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\dotsb$
      - 数字指标
        期望
        $E(X_i)=P\{X_i=1\}=p,E(X_i^2)=p\\ D(X_i)=E(X^2)-[E(X_i)]^2=p-p^2=p(1-p),i=1,2,\dotsb$
        方差
        $由于X_1,X_2,\dotsb,X_n相互独立，于是\\ E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_i)=np\\ D(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}D(X_i)=np(1-p)$
    - 几何分布 $X\sim G(p),(0\lt p\lt 1)$
      - $P\{X=k\}p(1-p)^{k-1},(k=1,2,3,\dotsb)$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=\cfrac{1}{p}$
        方差
        $D(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$
    - 泊松分布 $X \sim P(\lambda)或X \sim \pi(\lambda)$
      - $P\{X=k \}=e^{-\lambda}\cfrac{\lambda ^k}{k!}$ $，\lambda \gt 0,k=0,1,2,\dotsb$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}k\cfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda e^{\lambda}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\cfrac{\lambda^{-k-1}}{(k-1)!}=\lambda e^{-\lambda}*e^\lambda=\lambda$
        $E(X^2)=E[X(X-1)+X]=E[X(X-1)]+E(X)\\ =\sum\limits_{k=0}^{\infty}k(k-1)\cfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}+\lambda=\lambda^2e^{-\lambda}\sum\limits_{k=2}^{\infty}\cfrac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda\\ =\lambda^2e^{-\lambda}e^\lambda+\lambda=\lambda^2+\lambda$
        方差
        $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\lambda$
  - 连续型变量的分布
    - 均匀分布 $X \sim U(a,b)$
      - 密度函数
        $f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}$
      - 分布函数
        $F(x)=\begin{cases} 0,&x\lt a\\ \cfrac{1-a}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_a^b\cfrac{x}{b-a}dx=\cfrac{a+b}{2}$
        方差
        $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_a^bx^2\cfrac{1}{b-a}dx-(\cfrac{a+b}{2})^2=\cfrac{(b-a)^2}{12}$
    - 指数分布 $X \sim e(\lambda)$
      - 密度函数
        $f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\gt 0\\ 0,&其它 \end{cases},\lambda \gt 0$
      - 分布函数
        $F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x},&x\gt 0\\ 0,&其它 \end{cases},\lambda \gt 0$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_0^{^\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx=\cfrac{1}{\lambda}$
        $E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda x^2e^{-\lambda x}dx=\cfrac{2}{\lambda^2}$
        方差
        $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\cfrac{2}{\lambda^2}-\cfrac{1}{\lambda^2}=\cfrac{1}{\lambda^2}$
    - 标准正态分布 $X\sim N(\mu,\sigma^2),Y=\cfrac{X-\mu}{\sigma}$
      - 密度函数
        $\varphi(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\cfrac{x^2}{2}},-\infty \lt x \lt -\infty$
      - 分布函数
        $\varPhi(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\cfrac{t^2}{2}}dt,-\infty \lt x \lt -\infty$
      - 数字指标
        期望
        $E(Z)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-\cfrac{x^2}{2}}dx=\cfrac{-1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\cfrac{x^2}{2}}|_{-\infty}^{\infty}=0$
        方差
        $D(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-\cfrac{x^2}{2}}dx\\ =\cfrac{-1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}xd(e^{-\cfrac{x^2}{2}})=1$
    - 正态分布 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$
      - 密度函数
        $f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\cfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty \lt x\lt +\infty$
      - 分布函数
        $F(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{\infty}^xe^{-\cfrac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt,-\infty \lt x\lt +\infty$
      - 数字指标
        期望
        $E(X)=E(\mu+\sigma Z)=\mu$
        方差
        $D(X)=d(\mu+\sigma Z)=D(\mu)+D(\sigma Z)=\sigma^2D(Z)=\sigma^2$
  - 离散变量函数和连续型变量函数的分布
    - 离散型
    - 连续型
      - 定义
        $设已知X的分布函数F_X(x)或概率密度函数f_X(x),则随机变量函数的分布函数\\ F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}=P\{X\in C_y\}\\ 其中 C_y=\{x|g(x)\leqslant y\} 而P\{X\in C_y\} \\常常可由X的分布函数F_X(x)来表达或用其概率密度f_X(x)的积分来表达: F_Y(y)=P\{X\in C_y\}=\int_{C_y}f_X(x)dx,\\ 进而可通过Y的分布函数F_Y(y),求出Y的密度函数$
      - 定理
        $设随机变量X具有概率密度f_X(x),x\in (-\infty,+\infty),\\ 又设y=g(X)处处可导且恒有g'(x)\gt 0 (或恒有g'(x)\lt 0),\\ 且Y=(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为：\\ f_Y(y)=\begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|, & \alpha \lt y\lt \beta \\ 0,&其它 \end{cases}\\ 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，且\\ \alpha=min(g(-\infty),g(+\infty)),\beta=max(g(-\infty),g(+\infty))$
  - 条件分布随机变量的的独立性
    - 条件分布
      - $F(x|A)=P\{X\leqslant x|A\}-\infty \lt x\lt -\infty,\\ 称F(x|A)为在A发生的条件下,X的条件分布函数$
- 随机变量的数字特征
  - 期望
    - 一维离散型数学期望
      - $设离散型随机变量X的概率分布为\\ P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\dotsb\\ 如果级数\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i绝对收敛，则定义X的数学期望(均值)为\\ E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i$
    - 一维连续型数学期望
      - $设X是连续随机变量，其密度函数为f(x),如果\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx绝对收敛，\\ 则定义X的数学期望为\\ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$
    - 随机变量函数的数学期望
      - 一维变量函数的数学期望
        一维离散函数
        $设X是一个随机变量，Y=g(X),且E(Y)存在，则有\\ 若X为离散型随机变量，其概率分布为\\ P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2\dotsb\\ 则Y的数学期望为i\\ E(Y)=E(g(x))=\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i)p_i.$
        一维连续函数
        $若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则Y的数学期望为\\ E(Y)=E(g(x))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$
      - 二维变量函数的数学期望
        二维离散函数
        $设(X，Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在\\ 若(X,Y)为离散型随机变量其概率分布为\\ P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{jj},(i,j=1,2,\dotsb)\\ 则Z的数学期望为\\ E(Z)=E(g(X,Y))=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}g(x_i,y_j)p_{ij}$
        二维连续函数
        $设(X，Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y),且E(Z)存在\\ 若(X,Y)为l连续型随机变量其概率密度为f(x,y)\\ 则Z的数学期望为\\ E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$
    - 数学期望的性质
      - 性质1
        $若C是常数，则E(C)=C$
      - 性质2
        $若C是常数，则E(CX)=C E(X)$
      - 性质3
        $E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$
      - 性质4
        $设X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)$
  - 方差
    - 方差的定义与简化公式
      - 定义
        $设X是一个随机变量，若E([X-E(X)]^2)存在，则称它为X的方差，记为D(X=E([X-E(X)]^2)$
      - 计算
        离散型
        $设X是离散型随机变量，且其概率分布为P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\dotsb\\ 则D(X)=\sum_{i=1}^{\infty}[x_i-E(X)]^2$
        连续型
        $设X是连续型随机变量，且其概率密度为f(x),\\ 则D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx$
      - 简化公式
        $D(X)=E([X-E(X)]^2)=E(X^2)-[E(X)^2]$
    - 方差的性质
      - 性质1
        $设C为常数，则D(C)=0$
      - 性质2
        $设X是随机变量，若C为常数，则D(CX)=C^2D(X)$
      - 性质3
        $若X,Y相互独立，则D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
      - 性质4
        $D(X\pm Y)=D(X)+ D(Y)\pm cov(X,Y)$
  - 协方差
    - 定义
      - $cov(X,Y)=\sum\limits_{i,j}[x_i-E(X)][y_j-E(Y)]·p_{ij}\\ cov(X,Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)][y-E(Y)]f(x,y)dxdy$
      - $设(X,Y)为二维随机变量，若E([X-E(X)][Y-E(Y)] )存在，则称其为随机变量X和Y的协方差记为cov(X,Y)\\ cov(X,Y)=E( [X-E(X)][Y-E(Y)])\\ =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)\\ =E(XY)-E(X)E(Y)\\ 特别，当X,Y相互独立时cov(X,Y)=0.$
    - 性质
      - 基本性质
        $cov(X,Y)=D(X)$
        $cov(X,Y)=cov(Y,X)$
        $covaa(aX,bY)=abcov(Y,X),其中a,b为常数$
        $cov(C,X)=0,C为任意常数$
        $cov(X_1+X_2,Y)=cov(X_1,Y)+cov(X_2,Y)$
        $当X与Y相互独立时，cov(X,Y)=0$
        $D(aX+bY)=cov(aX+bY,aX+bY)=a^2cov(X,X)+2abcov(X,Y)+b^2cov(Y,Y)\\ =a^2D(X)+2abcov(X,Y)+b^2D(Y)$
      - 随机变量和的方差与协方差的关系
        $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2cov(X,Y)\\ 当X,Y相互独立时D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
        $推广到n维时\\ D\Big(\sum_{i=1}^{n}X_i \Big)=\sum_{i=1}^nD(X_i)+2\sum_{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}cov(X_i,Y_j)$
        $若X_1,X_2,\dotsb,X_n 两两独立\\ D\Big(\sum_{i=1}^{n}X_i \Big)=\sum_{i=1}^nD(X_i)$
        $如果X,Y方差存在，则\\ |cov(X,Y)\leqslant E|[(X-E(X))(Y-E(Y))]\leqslant \sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
  - 相关系数
    - 定义
      - $随机变量标准化\\ X^*=\cfrac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}},Y^*=\cfrac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}\\ 将cov(X^*,Y^*)作为X与Y之间相互关系的一种度量，而\\ cov(X^*,Y^*)=\cfrac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}.$
      - $设(X,Y)为二维随机变量，D(X)\gt 0,D(Y)\gt 0,称\\ \rho_{XY}=\cfrac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\\ 为随机变量X和Y的相关系数，有时也记为\rho_{XY}.特别地，当\rho_{XY}=0,称X与Y不相关$
    - 性质
      - $|\rho_{XY}|\leqslant1.$
      - $若X,Y相互独立，则\rho_{XY}=0,即X,Y不相关$
      - $若D(X)\gt 0,D(Y)\gt 0,则当且仅当存在常数a,b(a\ne0)使:P\{Y=aX+b\}=1$ $时，|\rho_{XY}|=1,而且当a\gt 0时，\rho_{XY}=1;当a\lt 0时，\rho_{XY}=-1$
        $相关系数\rho_{XY}刻画了随机变量Y和X之间的“线性相关”程度。|\rho_{XY}|的值越接近1，\\Y与X的相关程度越高；|\rho_{X,Y}|的值越接近0，Y与X的线性相关度越弱。当|\rho_{XY}|=1时，Y与X的变化可完全由X的线性函数给出。当\rho_{XY}=0时，Y与X之间不是线性关系。$
        $当\rho_{XY}=0时，只能说明Y与X没有线性关系，并不能说明Y与X之间没有其他函数关系，从而不能推出Y与X独立$
      - $设e=E([Y-(aX+b)]^2),称为用aX+b来近似Y的均方误差，则有x以下结论：\\ 设D(X)\gt 0,D(Y)\gt 0,则\\ a_0=\cfrac{cov(X,Y)}{D(X)},b_0=E(Y)-a_0E(X),\\ 使均方误差达到最小$
  - 矩的概念
    - $k$ 阶原点矩
    - $k$ 阶中心距
    - $k$ 阶绝对原点矩
    - $k$ 阶绝对中心距
    - $k$ $k+l$ 阶混合矩
    - $k$ $k+l$ 阶中心矩
  - 大数定律
    - 切比雪夫不等式
      - $设随机变量X的期望E(X)=\mu,方差D(X)=\sigma^2,则对任意给定的整数\varepsilon,有\\ P\{|X-\mu|\geqslant \varepsilon\}\leqslant\cfrac{\sigma^2}{\varepsilon}，该式称为切比雪夫不等式$ $也可写成：P\{|X-\mu|\lt \varepsilon\}\geqslant1-\cfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
      - $切比雪夫不等式表明：随机变量X的方差越小，则事件\\\{|X-\mu|\lt \varepsilon\}发生的概率越大,即X的取值基本上集中\\在他的期望\mu附近。即方差刻画了随机变量取值的离散程度$
    - 大数定律
      - $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb相互独立，且具有相同的期望和方差: \\ E(X_i)=\mu,D(X_i)=\sigma^2,i=1,2,\dotsb\\ 记Y_n=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,则对任意\varepsilon \gt 0,有\\ \lim_{n\to\infty}P\{|Y_n-\mu|\lt \varepsilon\}=1$
        $对任意\varepsilon\gt0,事件\{|Y_n-\mu|\lt \varepsilon\}发生的概率很大，从概率意义上\\ 指出了当n很大时，Y_n逼近\mu的确切含义。在概率论中，我们把\\大数定律表示的收敛性成为随机变量序列Y_1,Y_2,\dotsb,Y_n,\dotsb 依概\\率收敛于\mu,记为Y_n\xrightarrow{P}\mu$
        $大数定律表明随机变量X_1,X_2,\dotsb ,X_n的算数平均值序列\{Y_n\}依概率收敛于数学期望\mu$
      - 推论
        $设n_A是n重伯努利试验中试验A发生的次数，p是事件A在每次试验中A发生\\ 的概率,则对任意的\varepsilon \gt0,有\\ \lim\limits_{n\to\infty}P\{|\cfrac{n_A}{n}-p|\lt \varepsilon\}=1$
  - 中心极限定理
    - 定义
      - $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb,相互独立，服从同一分布，e且E(X_i)=\mu,\\ D(X_i)=\sigma^2(i=1,2,\dotsb),则\\ \lim\limits_{x\to\infty}P\{\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leqslant x\}=\int_{-\infty}^{x}\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\cfrac{-t^2}{2}}dt$
      - 推论
        $\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}\sim N(0,1),即\cfrac{\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i-\mu}{\sigma\sqrt n}\sim N(0,1)\\ \bar{X}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
    - 棣利佛-拉普拉斯定理
      - $设随机变量X_1,X_2,\dotsb,X_n,\dotsb相互独立，并且服从参数为p的两点分布，\\则对任意实数x，有\\ \lim\limits_{x\to \infty}P\{\cfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant x\}=\int_{-\infty}^x\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\cfrac{t^2}{2}}dt=\Phi(x)$
      - $该定理证明了无论随机变量X_i(i=1,2,\dotsb)服从什么样的分布，当n\to\infty时，\\ n个随机变量的和\sum\limits_{i=1}^nX_i的极限分布是正态分布$
- 二维随机变量及其分布
  - 二维随机变量及其分布
    - 定义
      - $设(X,Y)是二维随机变量，对任意二维随机变量x,y，二元函数 \\ F(x,y)=P\{(X\leqslant x)\cap(Y\leqslant y)\}\xlongequal{记为}P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}$
    - 性质
    - 二维连续型随机变量及其概率密度
      - 分布函数
        $设(X,Y)为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，\\若存在非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数x,y，有：\\ F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(s,t)dsdt\\ 则称(X,Y)为二维连续随机型变量，并称f(x,y)为(X,Y)的\\概率密度(密度函数) 或X,Y的联合概率密度(联合密度函数)$
      - 边缘分布函数
        $设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为\\ P\{(x,y)\in D\}=\iint_Df(x,y)dxdy\\ 特别地，边缘分布函数\\ F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y\leqslant +\infty\}\\ =\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dsdt=\int_{-\infty}^xds[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dt]$
      - X的边缘概率密度函数
        $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$
      - Y的边缘概率密度函数
        $f_Y(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$
    - 二维离散型随机变量及其概率分布
      - 联合概率分布
  - 随机变量的独立性
    - 定义
      - $P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=P\{X\leqslant x\}P\{Y\leqslant y\} \\ 即F(x,y)=F_X(x)F_Y(y), \\ 则称随机变量X和Y相互独立$
    - 离散型随机变量的独立性
    - 连续型随机变量的条件密度与独立性
      - 条件密度
        $设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),\\ 边缘概率密度f_X(x),f_Y(y),则对一切使f_X(x)\gt 0得x, 定义X=x得条件Y得条件密度函数为\\ f_{Y|X}(y|x)=\cfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\\ 类似地，对一切使f_Y(y)\gt 0的y，定义Y=y的条件下X的条件密度函数为 \\ f_{X|Y}(x|y)=\cfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$
      - 独立性
        $设(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合概率密度。\\f_X(x) f_Y(y)分别为X与Y的边缘概率密度。若对任意的x,y,有\\ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\\ 几乎处处成立，则称X,Y相互独立$
  - 二维随机变量函数的分布
    - Z=X+Y的分布
      - 求偏导
        $设Z的分布函数为F_Z(z),则\\ F_Z(z)=P\{Z\leqslant z\}=P\{(X+Y)\leqslant z\}=\iint_Df(x,y)dxdy$
      - $Z=X+Y的概率密度$
        $f_Z(z)=F'(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$
        $f_Z(z)=F'(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-y)dx$
      - 卷积公式计算
        $f_Z(z)=F'(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy$
        $f_Z(z)=F'(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$
    - M=max{X,Y}的分布
      - $F_M(z)=P\{M\leqslant z\}=P\{X\leqslant z,Y\leqslant z\}\\ =P\{X\leqslant z\}P\{Y\leqslant z\}=F_X(z)F_Y(z)$
    - N=min{X,Y}
      - $F_N(z)=P\{N\leqslant z\}=1-P\{N\leqslant z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]$

概率论

​随机事件及其概率

随机事件

​事件的集合表示

​事件的关系与运算

​事件的运算规律

​随机事件的概率

​频率及其性质

​概率公理化

​概率的性质

​ P(⊘)=0P(\oslash)=0P(⊘)=0

​ P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar A)=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)

​ P(A−B)=P(A)−P(AB).若B⊂A则(1)P(A−B)=P(A)−P(B)(2)P(A)⩾P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB).若B\subset A则\\ (1)P(A-B)=P(A)-P(B)\\ (2)P(A)\geqslant P(B)P(A−B)=P(A)−P(AB).若B⊂A则(1)P(A−B)=P(A)−P(B)(2)P(A)⩾P(B)

​ 对任一事件A，P(A)⩽1对任一事件A，P(A)\leqslant 1对任一事件A，P(A)⩽1

​古典概型

特点

​结果有限

​结果等可能

​计算

​基本技术原理

​加法原理

​乘法原理

​排列组合方法

​排列公式

​组合公式

​条件概率

​定义

​ P(B∣A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(AB)​

​性质

​ 0⩽P(B∣A)⩽10\leqslant P(B|A) \leqslant 10⩽P(B∣A)⩽1

​ P(S∣A)=1P(S|A)=1P(S∣A)=1

P(X1∪X2∪⋯∪An∣A)=P(A1∣A)+P(A2∣A)+⋯+P(An∣A)P(X_1\cup X_2 \cup \dotsb \cup A_n |A)=P(A_1|A)+P(A_2|A)+\dotsb+P(A_n|A)P(X1​∪X2​∪⋯∪An​∣A)=P(A1​∣A)+P(A2​∣A)+⋯+P(An​∣A)

乘法公式

​ P(AB)=P(A)P(B∣A),(P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A∣B)P(AB)=P(A)P(B|A) , (P(A)\gt 0)\\ P(AB)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B∣A),(P(A)>0)P(AB)=P(B)P(A∣B)

全概率公式

​贝叶斯公式

​事件的独立性

​有限事件的独立性

​伯努利概型

随机变量及分布

离散型变量的分布

0-1分布

P{X=x1}=p,P{X=x2}=1−p(0<p<1),称X服从x1,x2处参数为p的两点分布P\{X=x_1\}=p,P\{X=x_2\}=1-p(0\lt p \lt 1),\\ 称X服从x_1,x_2处参数为p的两点分布P{X=x1​}=p,P{X=x2​}=1−p(0<p<1),称X服从x1​,x2​处参数为p的两点分布

​数字指标

​期望

​ E(X)=0∗(1−p)+1∗p=pE(X)=0\ast(1-p)+1\ast p=pE(X)=0∗(1−p)+1∗p=p

E(X2)=02∗(1−p)+12∗p=pE(X^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=pE(X2)=02∗(1−p)+12∗p=p

​方差

​D(X)=E(X2)−[E(X)]2=p−p2=p(1−p)

二项分布 X∼b(n,p)X\sim b(n,p)X∼b(n,p)

P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\dotsbP{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯

​数字指标

​期望

​ E(Xi)=P{Xi=1}=p,E(Xi2)=pD(Xi)=E(X2)−[E(Xi)]2=p−p2=p(1−p),i=1,2,⋯E(X_i)=P\{X_i=1\}=p,E(X_i^2)=p\\ D(X_i)=E(X^2)-[E(X_i)]^2=p-p^2=p(1-p),i=1,2,\dotsbE(Xi​)=P{Xi​=1}=p,E(Xi2​)=pD(Xi​)=E(X2)−[E(Xi​)]2=p−p2=p(1−p),i=1,2,⋯

​方差

​几何分布 X∼G(p),(0<p<1)X\sim G(p),(0\lt p\lt 1)X∼G(p),(0<p<1)

​ P{X=k}p(1−p)k−1,(k=1,2,3,⋯ )P\{X=k\}p(1-p)^{k-1},(k=1,2,3,\dotsb)P{X=k}p(1−p)k−1,(k=1,2,3,⋯)

​数字指标

​期望

​ E(X)=1pE(X)=\cfrac{1}{p}E(X)=p1​

​方差

​ D(X)=1−pp2D(X)=\cfrac{1-p}{p^2}D(X)=p21−p​

泊松分布 X∼P(λ)或X∼π(λ)X \sim P(\lambda)或X \sim \pi(\lambda)X∼P(λ)或X∼π(λ)

​ P{X=k}=e−λλkk!P\{X=k \}=e^{-\lambda}\cfrac{\lambda ^k}{k!}P{X=k}=e−λk!λk​ ，λ>0,k=0,1,2,⋯，\lambda \gt 0,k=0,1,2,\dotsb，λ>0,k=0,1,2,⋯

​数字指标

​期望

​方差

​ D(X)=E(X2)−[E(X)]2=λD(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\lambdaD(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ

连续型变量的分布

均匀分布 X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b)

​密度函数

​ f(x)={1b−a，a<x<b0,其它f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}f(x)=⎩⎨⎧​b−a1​，0,​a<x<b其它​

分布函数

F(x)={0,x<a1−ab−a，a<x<b0,其它F(x)=\begin{cases} 0,&x\lt a\\ \cfrac{1-a}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}F(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​0,b−a1−a​，0,​x<aa<x<b其它​

​数字指标

​期望

​ E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx=∫abxb−adx=a+b2E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_a^b\cfrac{x}{b-a}dx=\cfrac{a+b}{2}E(X)=∫−∞+∞​xf(x)dx=∫ab​b−ax​dx=2a+b​

​方差

​ D(X)=E(X2)−[E(X)]2=∫abx21b−adx−(a+b2)2=(b−a)212D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_a^bx^2\cfrac{1}{b-a}dx-(\cfrac{a+b}{2})^2=\cfrac{(b-a)^2}{12}D(X)=E(X2)−[E(X)]2=∫ab​x2b−a1​dx−(2a+b​)2=12(b−a)2​

​指数分布 X∼e(λ)X \sim e(\lambda) X∼e(λ)

随机事件及其概率

事件的集合表示

事件的关系与运算

事件的运算规律

随机事件的概率

频率及其性质

概率公理化

概率的性质

$P(\oslash)=0$

$P(\bar A)=1-P(A)$

$P(A-B)=P(A)-P(AB).若B\subset A则\\ (1)P(A-B)=P(A)-P(B)\\ (2)P(A)\geqslant P(B)$

$对任一事件A，P(A)\leqslant 1$

古典概型

结果有限

结果等可能

计算

基本技术原理

加法原理

乘法原理

排列组合方法

排列公式

组合公式

条件概率

定义

$P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}$

性质

$0\leqslant P(B|A) \leqslant 1$

$P(S|A)=1$

$P(X_1\cup X_2 \cup \dotsb \cup A_n |A)=P(A_1|A)+P(A_2|A)+\dotsb+P(A_n|A)$

$P(AB)=P(A)P(B|A) , (P(A)\gt 0)\\ P(AB)=P(B)P(A|B)$

贝叶斯公式

事件的独立性

有限事件的独立性

伯努利概型

$P\{X=x_1\}=p,P\{X=x_2\}=1-p(0\lt p \lt 1),\\ 称X服从x_1,x_2处参数为p的两点分布$

数字指标

期望

$E(X)=0\ast(1-p)+1\ast p=p$

$E(X^2)=0^2(1-p)+1^2p=p$

方差

$D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)$

二项分布 $X\sim b(n,p)$

$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\dotsb$

数字指标

期望

$E(X_i)=P\{X_i=1\}=p,E(X_i^2)=p\\ D(X_i)=E(X^2)-[E(X_i)]^2=p-p^2=p(1-p),i=1,2,\dotsb$

方差

几何分布 $X\sim G(p),(0\lt p\lt 1)$

$P\{X=k\}p(1-p)^{k-1},(k=1,2,3,\dotsb)$

数字指标

期望

$E(X)=\cfrac{1}{p}$

方差

$D(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

泊松分布 $X \sim P(\lambda)或X \sim \pi(\lambda)$

$P\{X=k \}=e^{-\lambda}\cfrac{\lambda ^k}{k!}$ $，\lambda \gt 0,k=0,1,2,\dotsb$

数字指标

期望

方差

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\lambda$

均匀分布 $X \sim U(a,b)$

密度函数

$f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}$

$F(x)=\begin{cases} 0,&x\lt a\\ \cfrac{1-a}{b-a}， &a \lt x\lt b\\ 0,&其它 \end{cases}$

数字指标

期望

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_a^b\cfrac{x}{b-a}dx=\cfrac{a+b}{2}$

方差

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_a^bx^2\cfrac{1}{b-a}dx-(\cfrac{a+b}{2})^2=\cfrac{(b-a)^2}{12}$

指数分布 $X \sim e(\lambda)$

密度函数

$f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\gt 0\\ 0,&其它 \end{cases},\lambda \gt 0$

分布函数

$F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x},&x\gt 0\\ 0,&其它 \end{cases},\lambda \gt 0$

数字指标

期望

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_0^{^\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx=\cfrac{1}{\lambda}$

$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\lambda x^2e^{-\lambda x}dx=\cfrac{2}{\lambda^2}$

方差

$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\cfrac{2}{\lambda^2}-\cfrac{1}{\lambda^2}=\cfrac{1}{\lambda^2}$