高等数学(上册) 同济大学应用数学系编 第七章 微分方程思维导图 |
微分方程
基本概念
微分方程
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
微分方程的阶
未知函数的最高阶导数的阶数
微分方程的解
满足微分方程的函数
通解
函数满足微分方程
函数中任意常数的个数=微分方程的阶数
特解
根据初始条件,确定了通解中的任意常数
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
分离变量
两边同时积分
写出通解
齐次方程
分离变量得到原方程的通解
分离变量得到原方程的通解
一阶线性微分方程
分离变量
通解
或
物理应用 RLE串联电路
回路方程
回路电流
物理意义:回路电流=暂态电流+稳态电流
可降阶的高阶微分方程
阶
逐次积分,得到通解
二阶
步骤1. 令
步骤3. 求解关于 一阶微分方程
步骤4. 求不定积分
步骤1.
步骤2.
步骤4. 求解关于 的一阶微分方程
步骤5. 求不定积分
线性微分方程解的结构
引例
弹簧振子
自由振动
无阻尼自由振动
运动状态
正弦运动,周期
小阻尼情形
运动状态
正弦运动,但振幅
大阻尼情形
临界阻尼情形
运动状态
运动状态
* 强迫振动
E-RLC串联电路
外接正弦电源
撤走外接电源后
可推广到n阶齐次方程
可推广到n阶齐次方程
二阶线性微分方程
条件1.
条件2.
结论:
条件1.
条件2.
结论:
二阶常系数线性微分方程
齐次方程
步骤1. 写出特征方程
步骤2. 解出特征根
步骤3. 写出通解
已知初始条件 及
根据初始条件确定通解中的两个任意常数
非齐次方程
步骤1. 写出齐次方程所对应的特征方程
步骤2.
步骤3. 将步骤2中的 代入原方程,求出 各待定系数
步骤4. 写出非齐次方程的特解
步骤1. 写出对应齐次方程的通解
步骤2. 写出非齐次方程的一个特解
步骤3. 写出非齐次方程的通解