微分方程-ZhiMap思维导图

微分方程
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- 基本概念
  - 微分方程
    - 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
  - 微分方程的阶
    - 未知函数的最高阶导数的阶数
  - 微分方程的解
    - 满足微分方程的函数
      - 通解
        函数满足微分方程
        函数中任意常数的个数=微分方程的阶数
      - 特解
        根据初始条件，确定了通解中的任意常数
- 一阶微分方程
  - 可分离变量的微分方程
    - 方程可化为 $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$
    - 分离变量 $\frac{1}{g(y)} dy=f(x)dx$
    - 两边同时积分 $\int \frac{1}{g(y)} dy=\int f(x)dx$
    - 写出通解
  - 齐次方程
    - $\frac{dy}{dx} =ϕ (\frac{y}{x} )$
      - $u=\frac{y}{x},y=ux, \frac{dy}{dx} =u+x\frac{du}{dx} ,$
      - $u+x\frac{du}{dx} =ϕ (u)$
      - 分离变量得到原方程的通解
    - $\frac{dx}{dy} =ψ (\frac{x}{y} )$
      - $v=\frac{x}{y} ,x=yv,\frac{dx}{dy} =v+y\frac{dv}{dy}$
      - $v+y\frac{dv}{dy} =ψ (v)$
      - 分离变量得到原方程的通解
  - 一阶线性微分方程
    - $y'+P(x)y=Q(x)$
      - $齐次Q(x)\equiv 0$
        $y'+P(x)y=0$
        分离变量
        $\int \frac{1}{y} dy=-\int P(x)dx$
        $通解y=Ce^{-\int_{}^{} P(x)dx}$
      - $非齐次Q(x)\ne 0$
        $y'+P(x)y=Q(x)$
        $常数变易，令C=u(x)$
        $y=u(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }$
        $y'=u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx } -u(x)P(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }$
        $代入原方程u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }=Q(x)$
        $u(x)=\int_{}^{} Q(x)e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)$
        通解
        $y=e^{-\int_{}{P(x)dx }} (\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)$
        或 $y=Ce^{-\int_{}{P(x)dx }} +e^{-\int_{}{P(x)dx }}\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx$
        物理应用 RLE串联电路
        回路方程 $\frac{di}{dt} +\frac{R}{L} i=\frac{E_{m} }{L} sinω t,i|_{t=0} =0$
        回路电流 $i(t)=\frac{ω LE_{m} }{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E_{m} }{\sqrt{{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}} } sin(ω t-ϕ )$
        物理意义：回路电流=暂态电流+稳态电流
- 可降阶的高阶微分方程
  - $n$ 阶
    - $y^{(n)} =f(x)$
      - 逐次积分，得到通解
  - 二阶
    - $y''=f(x,y')$
      - 步骤1. 令 $y'=p$
      - 步骤2. $p'=f(x,p)$
      - 步骤3. 求解关于 $p,x$ 一阶微分方程
      - 步骤4. 求不定积分
    - $y''=f(y,y')$
      - 步骤1. $y'=p$
      - 步骤2. $y''=p\frac{dp}{dy}$
      - 步骤3. $p\frac{dp}{dy} =f(y,p)$
      - 步骤4. 求解关于 $p,y$ 的一阶微分方程
      - 步骤5. 求不定积分
- 线性微分方程解的结构
  - 引例
    - 弹簧振子
      - 自由振动 $\frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2n\frac{dx}{dt} +k^{2} x=0$
        $n=0$ 无阻尼自由振动 $x=Asin(kt+ϕ )$
        $x=A sin(kt+ϕ )$
        运动状态
        正弦运动，周期
        $n<k$ 小阻尼情形 $x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )$
        $x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )$
        运动状态
        正弦运动，但振幅 $A\rightarrow 0$
        $n>k$ 大阻尼情形
        $x=C_{1} e^{-(n-\sqrt{n^{2}-k^{2} })t} +C_{2} e^{-(n+\sqrt{n^{2}-k^{2} })t}$
        $n=k$ 临界阻尼情形
        $x=(C_{1}+C_{2}t) e^{-nt}$
        运动状态
        当 $t\rightarrow 0,x\rightarrow 0$
        运动状态
        当 $t\rightarrow 0,x\rightarrow 0$
      - * 强迫振动 $\frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2n\frac{dx}{dt} +k^{2} x=hsinpt$
    - E-RLC串联电路
      - 外接正弦电源 $E=E_{m} sinω t$
        $LC\frac{d^{2} u_{c}}{dt^{2} } +RC\frac{du_{c} }{dt} +u_{c} =E_{m} sinω t$
        $β=\frac{R}{2L}$ $β=\frac{R}{2L} ,ω _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} }$
        $d2ucdt2+2βducdt+ω02uc=EmLCsinωt\frac{d^{2} u_{c}}{dt^{2} } +2β \frac{du_{c} }{dt} +ω _{0}^{2} u_{c} =\frac{E_{m} }{LC} sinωt dt 2 d$
      - 撤走外接电源后 $E=0$
        $LC\frac{d^{2} u_{c}}{dt^{2} } +RC\frac{du_{c} }{dt} +u_{c} =0$
        $y_{1} (x)、y_{2} (x)都是方程的解$
        $y=C_{1} y_{1} (x)+C_{2} y_{2} (x)$
        可推广到n阶齐次方程
        $当 y_{1} (x)、 y_{2} (x)线性无关时，y=C_{1} y_{1} (x)+C_{2} y_{2} (x)是方$
        可推广到n阶齐次方程
        $\frac{d^{2} u_{c}}{dt^{2} } +2β \frac{du_{c} }{dt} +ω _{0}^{2} u_{c} =0$
        $β=\frac{R}{2L} ,ω _{0} =\frac{1}{\sqrt{LC} }$
  - 二阶线性微分方程
    - $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$
    - $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$
      - 条件1. $条件1.Y(x)是y''+P(x)y'+Q(x)y=0的通解$
      - 条件2. $y^{*} (x)是y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特条件$
      - 结论： $y=Y(x)+y^{*} 是非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的通解$
    - $y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1} (x)+f_{2} (x)$
      - 条件1. $y_{1} ^{*} (x)是y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1} (x)的特解$
      - 条件2. $y_{2} ^{*} (x)是y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{2} (x)的特解$
      - 结论： $y_{1} ^{*} (x)+y_{2} ^{*} (x)是y''+P(x)y'+Q(x)y=f_{1} (x)+f_{2} (x)的特解$
    - $y''+P(x)y'+Q(x)y=0， y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$
      - 条件1. $y_{1}(x) 是 y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解$
      - 条件2. $y_{2}(x) 也是 y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的解$
      - 结论： $y_{1}(x)- y_{2}(x) 是 y''+P(x)y'+Q(x)y=0的解$
- 二阶常系数线性微分方程
  - 齐次方程
    - $y''+py'+qy=0$ 通解
      - 步骤1. 写出特征方程 $y''+py'+qy=f(x)$ $r^{2} +pr+q=0$
      - 步骤2. 解出特征根 $r_{1,2} =\frac{-p\pm \sqrt{p^{2} -4q} }{2}$
      - 步骤3. 写出通解
        情形1. $r_{1} \ne r_{2}\in R ,y=C_{1} e^{r_{1}x } +C_{2} e^{r_{2}x }$
        情形2. $r_{1}= r_{2}\in R，y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1} x}$
        情形3. $r_{1,2}=α\pm i β ，y=e^{α x} (C_{1}cosβx +C_{2}sinβ x)$
    - $y''+py'+qy=0特解$
      - 已知初始条件 $y|_{x=x_{0} }$ 及 $\frac{dy}{dx} |_{x=x_{0} }$
      - 根据初始条件确定通解中的两个任意常数 $C_{1} 及C_{2}$
  - 非齐次方程
    - $y''+py'+qy=f(x)特解$
      - $f(x)=e^{λ x} P_{m} (x)$ 特解
        步骤1. 写出齐次方程所对应的特征方程 $r^{2} +pr+q=0$
        步骤2.   $假设特解y^{*} (x)=Q(x)e^{λ x}$
        $λ 不是r^{2} +pr+q=0的根$    $,则Q(x)=Q_{m}(x)$
        $λ 是r^{2} +pr+q=0的单根$    $,则Q(x)=xQ_{m}(x)$
        $λ 是r^{2} +pr+q=0的重根$    $,则Q(x)=x^{2}Q_{m}(x)$
        步骤3. 将步骤2中的 $y^{*} (x)$ 代入原方程，求出 $Q_{m} (x)中$ 各待定系数
        步骤4. 写出非齐次方程的特解 $y^{*}(x)=Q (x)e^{λ x}$
      - $f(x)=e^{λ x} P_{m} (x)特解$
        步骤1. 写出对应齐次方程的通解 $Y(x)$
        步骤2. 写出非齐次方程的一个特解 $y^{*}(x)$
        步骤3. 写出非齐次方程的通解 $y=Y+y^{*}(x)$
      - * $f(x)=e^{λ x} (P^{(1)} _{l} (x)cosω x+P^{(2)} _{n} (x)sinω x)$

微分方程

​基本概念

微分方程

​表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程

​微分方程的阶

​未知函数的最高阶导数的阶数

​微分方程的解

​满足微分方程的函数

​通解

​函数满足微分方程

​函数中任意常数的个数=微分方程的阶数

​特解

​根据初始条件，确定了通解中的任意常数

一阶微分方程

​ 可分离变量的微分方程

方程可化为 dydx=f(x)g(y)\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)dxdy​=f(x)g(y)

​分离变量 1g(y)dy=f(x)dx\frac{1}{g(y)} dy=f(x)dxg(y)1​dy=f(x)dx

​两边同时积分 ∫1g(y)dy=∫f(x)dx\int \frac{1}{g(y)} dy=\int f(x)dx∫g(y)1​dy=∫f(x)dx

​写出通解

​ 齐次方程

​ dydx=ϕ(yx) \frac{dy}{dx} =ϕ (\frac{y}{x} )dxdy​=ϕ(xy​)

u=yx,y=ux,dydx=u+xdudx,u=\frac{y}{x},y=ux, \frac{dy}{dx} =u+x\frac{du}{dx} ,u=xy​,y=ux,dxdy​=u+xdxdu​

​ u+xdudx=ϕ(u)u+x\frac{du}{dx} =ϕ (u)u+xdxdu​=ϕ(u)

分离变量得到原方程的通解

​ dxdy=ψ(xy) \frac{dx}{dy} =ψ (\frac{x}{y} )dydx​=ψ(yx​)

v=xy,x=yv,dxdy=v+ydvdyv=\frac{x}{y} ,x=yv,\frac{dx}{dy} =v+y\frac{dv}{dy} v=yx​,x=yv,dydx​=v+ydydv​

​ v+ydvdy=ψ(v)v+y\frac{dv}{dy} =ψ (v)v+ydydv​=ψ(v)

分离变量得到原方程的通解

​ 一阶线性微分方程

​ y′+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x)y′+P(x)y=Q(x)

​ 齐次Q(x)≡0齐次Q(x)\equiv 0齐次Q(x)≡0

​ y′+P(x)y=0y'+P(x)y=0y′+P(x)y=0

​分离变量

∫1ydy=−∫P(x)dx\int \frac{1}{y} dy=-\int P(x)dx∫y1​dy=−∫P(x)dx

​ 通解y=Ce−∫P(x)dx通解y=Ce^{-\int_{}^{} P(x)dx} 通解y=Ce−∫​P(x)dx

​ 非齐次Q(x)̸=0非齐次Q(x)\ne 0非齐次Q(x)̸=0

​ y′+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x)y′+P(x)y=Q(x)

常数变易，令C=u(x)常数变易，令C=u(x)常数变易，令C=u(x)

​ y=u(x)e−∫P(x)dxy=u(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx } y=u(x)e−∫​P(x)dx

​ y′=u′(x)e−∫P(x)dx−u(x)P(x)e−∫P(x)dxy'=u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx } -u(x)P(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }y′=u′(x)e−∫​P(x)dx−u(x)P(x)e−∫​P(x)dx

​ 代入原方程u′(x)e−∫P(x)dx=Q(x)代入原方程u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }=Q(x)代入原方程u′(x)e−∫​P(x)dx=Q(x)

u(x)=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)u(x)=\int_{}^{} Q(x)e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)u(x)=∫​Q(x)e∫​P(x)dxdx+C)

通解

y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)y=e^{-\int_{}{P(x)dx }} (\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)y=e−∫​P(x)dx(∫​Q(x)e∫​P(x)dxdx+C)

​或 y=Ce−∫P(x)dx+e−∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dxdxy=Ce^{-\int_{}{P(x)dx }} +e^{-\int_{}{P(x)dx }}\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dxy=Ce−∫​P(x)dx+e−∫​P(x)dx∫​Q(x)e∫​P(x)dxdx

​ 物理应用 RLE串联电路

​回路方程 didt+RLi=EmLsinωt,i∣t=0=0\frac{di}{dt} +\frac{R}{L} i=\frac{E_{m} }{L} sinω t,i|_{t=0} =0dtdi​+LR​i=LEm​​sinωt,i∣t=0​=0

​回路电流 i(t)=ωLEmR2+ω2L2e−RLt+EmR2+ω2L2sin(ωt−ϕ)i(t)=\frac{ω LE_{m} }{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E_{m} }{\sqrt{{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}} } sin(ω t-ϕ )i(t)=R2+ω2L2ωLEm​​e−LR​t+R2+ω2L2​Em​​sin(ωt−ϕ)

​物理意义：回路电流=暂态电流+稳态电流

​ 可降阶的高阶微分方程

​ nnn 阶

​ y(n)=f(x)y^{(n)} =f(x)y(n)=f(x)

​逐次积分，得到通解

​二阶

y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')y′′=f(x,y′)

​步骤1. 令y′=py'=py′=p，

步骤2.p′=f(x,p)p'=f(x,p) p′=f(x,p)

​步骤3. 求解关于 p,xp,xp,x 一阶微分方程

​步骤4. 求不定积分

​ y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')y′′=f(y,y′)

​步骤1. y′=p(y)y'=py′=p(y)

​ 步骤2. y′′=pdpdyy''=p\frac{dp}{dy} y′′=pdydp​

步骤3. pdpdy=f(y,p)p\frac{dp}{dy} =f(y,p)pdydp​=f(y,p)

​步骤4. 求解关于 p,yp,yp,y 的一阶微分方程

​步骤5. 求不定积分

线性​微分方程解的结构

​引例

弹簧振子

​自由振动 d2xdt2+2ndxdt+k2x=0\frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2n\frac{dx}{dt} +k^{2} x=0dt2d2x​+2ndtdx​+k2x=0

​ n=0n=0n=0 无阻尼自由振动 x=Asin(kt+ϕ)x=Asin(kt+ϕ )

x=Asin(kt+ϕ)x=A sin(kt+ϕ )x=Asin(kt+ϕ)

​运动状态

​正弦运动，周期

n<kn<kn<k 小阻尼情形 x=Ae−ntsin(kt+ϕ)x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )

​ x=Ae−ntsin(kt+ϕ)x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )x=Ae−ntsin(kt+ϕ)

​运动状态

​正弦运动，但振幅 A→0A\rightarrow 0A→0

​ n>kn>kn>k 大阻尼情形

x=C1e−(n−n2−k2)t+C2e−(n+n2−k2)tx=C_{1} e^{-(n-\sqrt{n^{2}-k^{2} })t} +C_{2} e^{-(n+\sqrt{n^{2}-k^{2} })t}x=C1​e−(n−n2−k2​)t+C2​e−(n+n2−k2​)t

​ n=kn=kn=k 临界阻尼情形

基本概念

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程

微分方程的阶

未知函数的最高阶导数的阶数

微分方程的解

满足微分方程的函数

通解

函数满足微分方程

函数中任意常数的个数=微分方程的阶数

特解

根据初始条件，确定了通解中的任意常数

可分离变量的微分方程

方程可化为 $\frac{dy}{dx} =f(x)g(y)$

分离变量 $\frac{1}{g(y)} dy=f(x)dx$

两边同时积分 $\int \frac{1}{g(y)} dy=\int f(x)dx$

写出通解

齐次方程

$\frac{dy}{dx} =ϕ (\frac{y}{x} )$

$u=\frac{y}{x},y=ux, \frac{dy}{dx} =u+x\frac{du}{dx} ,$

$u+x\frac{du}{dx} =ϕ (u)$

$\frac{dx}{dy} =ψ (\frac{x}{y} )$

$v=\frac{x}{y} ,x=yv,\frac{dx}{dy} =v+y\frac{dv}{dy}$

$v+y\frac{dv}{dy} =ψ (v)$

一阶线性微分方程

$y'+P(x)y=Q(x)$

$齐次Q(x)\equiv 0$

$y'+P(x)y=0$

分离变量

$\int \frac{1}{y} dy=-\int P(x)dx$

$通解y=Ce^{-\int_{}^{} P(x)dx}$

$非齐次Q(x)\ne 0$

$y'+P(x)y=Q(x)$

$常数变易，令C=u(x)$

$y=u(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }$

$y'=u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx } -u(x)P(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }$

$代入原方程u'(x)e^{-\int_{}^{}P(x)dx }=Q(x)$

$u(x)=\int_{}^{} Q(x)e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)$

$y=e^{-\int_{}{P(x)dx }} (\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx+C)$

或 $y=Ce^{-\int_{}{P(x)dx }} +e^{-\int_{}{P(x)dx }}\int_{}^{}Q(x) e^{\int_{}^{}P(x)dx }dx$

物理应用 RLE串联电路

回路方程 $\frac{di}{dt} +\frac{R}{L} i=\frac{E_{m} }{L} sinω t,i|_{t=0} =0$

回路电流 $i(t)=\frac{ω LE_{m} }{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}e^{-\frac{R}{L}t}+\frac{E_{m} }{\sqrt{{R^{2}+ω ^{2}L^{2}}} } sin(ω t-ϕ )$

物理意义：回路电流=暂态电流+稳态电流

可降阶的高阶微分方程

$n$ 阶

$y^{(n)} =f(x)$

逐次积分，得到通解

二阶

$y''=f(x,y')$

步骤1. 令 $y'=p$

步骤2. $p'=f(x,p)$

步骤3. 求解关于 $p,x$ 一阶微分方程

步骤4. 求不定积分

$y''=f(y,y')$

步骤1. $y'=p$

步骤2. $y''=p\frac{dp}{dy}$

步骤3. $p\frac{dp}{dy} =f(y,p)$

步骤4. 求解关于 $p,y$ 的一阶微分方程

步骤5. 求不定积分

线性微分方程解的结构

引例

自由振动 $\frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2n\frac{dx}{dt} +k^{2} x=0$

$n=0$ 无阻尼自由振动 $x=Asin(kt+ϕ )$

$x=A sin(kt+ϕ )$

运动状态

正弦运动，周期

$n<k$ 小阻尼情形 $x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )$

$x=Ae^{-nt} sin(kt+ϕ )$

运动状态

正弦运动，但振幅 $A\rightarrow 0$

$n>k$ 大阻尼情形

$x=C_{1} e^{-(n-\sqrt{n^{2}-k^{2} })t} +C_{2} e^{-(n+\sqrt{n^{2}-k^{2} })t}$

$n=k$ 临界阻尼情形

$x=(C_{1}+C_{2}t) e^{-nt}$

运动状态

当 $t\rightarrow 0,x\rightarrow 0$

运动状态

当 $t\rightarrow 0,x\rightarrow 0$

* 强迫振动 $\frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2n\frac{dx}{dt} +k^{2} x=hsinpt$

E-RLC串联电路