复变函数知识 |
解析函数的级数表示
复数项级数
复数序列的极限:设 为一复数列,其中 ,又设 为一确定的复数。若任意给定 ,存在正整数 ,使当 时,总有 成立,则称复数序列 收敛于复数 ,或称 以 为极限,记作: 或 。若序列 不收敛,则称 发散,或者说它是发散序列。
设 ,则 的充要条件是 ,
复数项级数:设 为一复数序列,表达式 称为复数项无穷级数。若它的部分和序列: 有极限 (有限复数),则称级数是收敛的, 称为级数的和;反之,就称级数是发散的。
级数收敛的充要条件是级数 和 都收敛
级数收敛的充要条件是
若 收敛,则 也收敛
复变函数项级数
复变函数项级数:设 为区域 内的函数,则称 为区域 内的复变函数项级数。该级数前 项的和 称为级数的部分和。
幂级数:形如 的复函数项级数称为幂级数,其中 及 均为复常数。
若幂级数在点 收敛,则级数在圆域 内绝对收敛
存在一个有限正数 ,使得 在 内绝对收敛,在圆周 的外部发散, 称为幂级数的收敛半径
对于一个幂级数,当 时,可能有
其中 为幂级数的收敛半径。
幂级数收敛半径 的求法:
泰勒级数
泰勒定理:设函数 在区域 内解析, 为 内的一点, 为 到 的边界上各点的最短距离,则当 时, 可展为幂级数 ,其中
函数在一点解析的充要条件是它在这点的领域内可以展开为幂级数
洛朗级数
洛朗定理:设函数 在圆环域 内处处解析,则 一定能在此圆环域中展开为 ,其中 ,而 为此圆环域内绕 的任一简单闭曲线
称为函数 在以 为中心的圆环域: 内的洛朗展开式,其右端的级数称为 在此圆环域内的洛朗级数。