留数及其应用

• ​孤立奇点

  • ​孤立奇点： $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，但在 $z_0$ 的某一个去心邻域 $0<|z-z_0|< δ$ 内处处解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

    • ​​根据洛朗级数展开式中主要部分的系数取零值的不同情况，将孤立奇点进行分类： $\begin{cases}(1)可去奇点：若对一切n<0有C_n=0，\\则称z_0是函数f(z)的可去奇点\\ (2)极点：如果只有有限个(至少一个)整数n<0，使得C_n\neq0，\\则称z_0是函数f(z)的极点;\\ 设对于正整数m，C_{-m}\neq0；而当n<-m时，C_n=0，\\则称z_0是f(z)的m阶极点，一阶极点又被称为简单极点\\ (3)本性奇点：如果有无限个整数n<0，使得C_n\neq0，\\则称z_0是f(z)的本性奇点 \end{cases}$ 

    • ​设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|< δ (0< δ \leq +\infty)$ 内解析，那么 $z_0$ 是 $f(z)$ 的可去奇点的充要条件是存在极限 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} } =C_0\neq\infty$ 

    • ​设 $z_0$ 是 $f(z)$ 的一孤立奇点，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的可去奇点的充要条件是 $f(z)$ 在 $z_0$ 的一个领域内有界

    • 设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|< δ (0< δ \leq+\infty)$ 内解析，那么 $z_0$ 是 $f(z)$ 的极点的充要条件是 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{} } f(z)=\infty$ ； $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点的充要条件是 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0} } (z-z_0)^mf(z)=C_{-m}$ ，在这里 $m$ 是一个正整数， $C_{-m}$ 是一个不等于零的复常数

    • ​设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|< δ (0< δ \leq +\infty)$ 内解析，那么 $z_0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点的充要条件是 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{} } f(z)\neq C_0$ （有限数）且不等于 $\infty$ ，即 ${\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} }$ 不存在

  • ​ $m$阶零点：若 $f(z)=(z-z_0)^m φ (z)$ ， $φ (z)$ 在 $z_0$ 处解析，且 $φ (z_0)\neq0$ ， $m$ 为某一正整数，那么称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$阶零点

    • ​若 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析，那么 $z_0$ 解析，那么 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点的充要条件是 $f^{(n)}(z_0)=0(n=0,1,\cdots,m-1),f^{(m)}(z_0)\neq0$ 

    • ​一个不恒为零的解析函数的零点是孤立

    • ​如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，那么 $z_0$ 就是 $\cfrac1{f(z)}$ 的 $m$ 阶零点，反之亦然

  • ​孤立奇点：设函数 $f(z)$ 在无穷远点的邻域 $R<|z|<+\infty$ 内为解析，则无穷远点就称为 $f(z)$ 的孤立奇点

    • ​在 $R<|z|<+\infty$ 内， $f(z)$ 有洛朗级数展开式 $f(z)={\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty}C_nz^n(R<|z|<+\infty)$ 

      • ​如果当 $n=1,2,\cdots$ 时， $C_n=0$ ，那么 $z=\infty$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点

      • ​如果只有有限个（至少一个）整数 $n>0$ ，使得 $C_n\neq0$ ，那么 $z=\infty$ 是函数 $f(z)$ 的极点。设对于正整数 $m$ ， $C_m\neq0$ ；而当 $n>m$ 时， $C_n=0$ ，那么 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点

      • ​如果有无穷个整数 $n>0$ ，使得 $C_n\neq0$ ，那么 $z=\infty$ 是函数 $f(z)$ 的本性奇点

    • ​设函数 $f(z)$ 在区域 $R<|z|<+\infty(R\geq 0)$ 内解析，那么 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的可去奇点、极点或本性奇点的充要条件是 $\\{\displaystyle \lim_{z\rightarrow \infty}}f(z)=C_0\neq\infty$ 或  ${\displaystyle \lim_{z\rightarrow \infty}}f(z)$ 不存在

• ​留数

  • ​留数：设 $z_0$ 是解析函数 $f(z)$ 的孤立奇点，我们把 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数 $C_{-1}$ 称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的留数，记作 ${\rm Res}[f(z),z_0]$ ，显然，留数 $C_{-1}$ 就是积分 $\cfrac{1}{2\pi i}\oint_Cf(z){\rm d}z$ 的值，其中 $C$ 为解析函数 $f(z)$ 的 $z_0$ 的去心邻域内绕 $z_0$ 的闭曲线

    • ​设函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内除有限个孤立奇点 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 外处处解析， $C$ 是 $D$ 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 $\\\oint_Cf(z){\rm d}z=2\pi i{\displaystyle \sum_{k=1}^n}{\rm Res}[f(z),z_k]$ 

      • ​如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的可去奇点，那么 ${\rm Res}[f(z),z_0=0$ 

      • ​如果 $z_0$ 是本性奇点，那就往往只能用将 $f(z)$ 在 $z_0$ 展开成洛朗级数的方法求 $C_{-1}$ 

      • ​如果 $z_0$ 是极点，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数

        • ​法则 $Ⅰ$  若 $z_0$ 为 $f(z)$ 的简单极点，则 ${\rm Res }[f(z),z_0]={\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_0}}(z-z_0)f(z)$ 

        • ​法则 $Ⅱ$ 设 $f(z)=\cfrac{P(z)}{Q(z)}$ ，其中 $P(z),Q(z)$ 在 $z_0$ 处解析，若 $\\P(z_0)\neq0$ ， $z_0$ 为 $Q(z)$ 的一阶零点，则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的一阶极点，且 ${\rm Res}[f(z),z_0]=\cfrac{P(z_0)}{Q'(z_0)}$ 

        • ​法则 $Ⅲ$ 如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，则 ${\rm Res}[f(z),z_0]=\cfrac1{(m-1)!}{\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_0}}\cfrac{{\rm d}^{m-1}}{{\rm d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]$