二维随机变量(X,Y)

• • ​设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数x,y，称二元函数 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$  为随机变量(X,Y)的联合分布函数

• ​离散型

  • ​联合分布律

    • ​设(X,Y)的所有可能的取值为 $(x_i,y_i)$ ，则(X,Y)的联合分布律： $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$           i,j=1,2,… $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$

  • ​边缘分布律

  • ​独立性

    • ​对任意的i,j，均有 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\cdot P\{Y=y_i\}$          即 $p_{ij}=p_j\cdot p_j$     i,j=1,2,3…

  • ​函数的分布  $Z=g(X,Y)$ 

    • ​(X,Y)是离散的，则Z也是离散的。设(X,Y)的联合分布律为 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij}$  $P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}$$g(x_i,y_j)$ 

• ​连续型

  • ​ $F(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$      f(x,y)为概率密度

    • ​ $f(x,y)\ge0$ 

    • ​ $\int^{+\infty}_{-\infty} \int^{+\infty}_{-\infty} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$ 

    • 由一维随机变量与分布函数可推出

    • ​随机点(x,y)落在区域D内的概率为 $P\{(X,Y)\subset D\}=\underset{D}{\int\int}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 

• ​边缘分布

  • • ​ $F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)$ 

    • ​ $F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X\le +\infty,Y<y\}=F(+\infty,y)$ 

  • • ​ $F_X(x)=\underset{y\to +\infty}{\lim}F(x,y)$ 

    • ​ $F_Y(y)=\underset{x\to +\infty}{\lim}F(x,y)$