函数与导数$\\$核心内容与研究工具

• ​函数与基本初等函数

• ​导数相关概念

  • ​相关概念

    • ​函数上的两种线

      • ​函数的割线

        • ​割线的斜率就是平均变化率

        • ​割线的极限位置就是函数的切线

      • ​函数的切线

        • ​切线的斜率就对应函数的导数

    • ​函数值的平均变化率

      • ​类比平均速度理解

    • ​函数值的瞬时变化率

      • ​类比瞬时速度理解

      • ​在数学上，称之为导数；

        • ​其他方面

          • ​物理：位移对时间的导数是速度

          • ​物理：速度对时间的导数是加速度

          • ​经济学：

  • ​相关表示

    • ​平均变化率

      • ​ $\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

      • ​也就是割线的斜率 $k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

    • ​瞬时变化率

      • ​就是平均变化率的极限

      • ​即  $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

      • ​叫法：函数在 $x_0$ 这一点处的导数

      • ​记法： $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 

  • ​易混淆概念

    • ​导数

      • ​是常数，记为 $f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_{0}}$ 

    • ​导函数

      • ​是个函数，记为 $f'(x)$ 

    • ​不是所有的函数都有导数，一个函数在其定义域上有些点处没有导数

  • ​切线概念的变化

    • ​初中

      • ​直线和曲线的交点个数

    • ​高中及大学

      • ​切线是由割线变化得到的

      • ​直线和曲线有两个或两个以上的交点，其位置关系可能是相切

      • ​直线和曲线一个交点，其位置关系可能是相交

    • ​解题思路的变化

      • ​直曲线相切

      • ​曲线和曲线相切

      • ​设切点，求切点

        • ​列方程组

          • ​ $k_{l}=f'(x_0)$ 

          • ​切点在直线上

          • ​切点在曲线上

• ​以前的相关数学思想，仍然可以使用

  • ​函数与方程

  • ​数形结合

  • ​转化划归

• ​导数相关运算

  • ​求函数的导数

    • ​定义法

    • ​导数公式法

      • ​我们常用的，注意复合函数的求导和分式函数的求导

        • ​ $[sin(2x+1)]'=cos(2x+1)\cdot (2x+1)'=2cos(2x+1)$ 

        • ​ $(\cfrac{lnx+1}{e^x})'=\cfrac{(lnx+1)'\cdot e^x \textcolor{red}{ - }(lnx+1)\cdot e^x}{(e^x)^2}\\=\cfrac{\frac{1}{x}\cdot e^x-(lnx+1)\cdot e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{\frac{1}{x}-lnx-1}{e^x}$ 

    • ​求导原则和策略

      
      

      

  • ​求导公式

    • ​基本初等函数求导公式[8组]

      • ​ $f(x)=C(C为常数)，f'(x)=0$ [常函数]

      • ​ $f(x)=x^\alpha (\alpha\in Q)，f'(x)=\alpha\cdot x^{\alpha-1}$ [幂函数]

      • ​ $f(x)=sinx，f'(x)=cosx$ [三角函数]

      • ​ $f(x)=cosx，f'(x)=-sinx$ [三角函数]

      • ​ $f(x)=e^x，f'(x)=e^x$ [指数函数]

      • ​ $f(x)=a^x(a>0,a\neq 1)，f'(x)=a^x\cdot lna$ [指数函数]

      • ​ $f(x)=lnx，f'(x)=\cfrac{1}{x}$ [对数函数]

      • ​ $f(x)=log_ax，f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot lna}$ [对数函数]

  • ​四则运算法则

    • ​[ 加法] $[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)$ 

    • ​[减法] $[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)$ 

    • ​[数乘] $[c\cdot f(x)]'=c\cdot f'(x) (c为常数)$ 

    • ​[乘法] $[ f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)\cdot g(x) \textcolor{red}{+}f(x) \cdot g'(x)$ 

    • ​[除法] $\Big[\cfrac{f(x)}{g(x)}\Big]'=\cfrac{f'(x)\cdot g(x) \textcolor{red}{-}f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$ 

• ​二者关系举例说明

• ​导数的应用

  • ​求函数的切线

    • ​单切线

      • ​ $y=f(x)$ 在点  $x=x_0$ 处的切线

        • ​思路：点斜式 $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ 

      • ​过点处的切线

        • ​设切点，求得切点，转化为上例

          难点

          • ​ $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ 

          • ​ $y_0=f(x_0)$ 

          • ​ $(x，y)$ 是所过点的坐标

      • ​模型：

    • ​公切线

      • ​涉及一条直线和两条曲线

  • ​原函数与导函数

    • ​原函数

      • ​其增与减

    • ​导函数

      • ​值的正与负

    • ​导函数的图像应用

  • ​函数的单调性

    • ​导数与单调性的关系

      •  $f'(x)>0$ ，则函数 $f(x)$ 单调递增​，注意不是 $f'(x)\geqslant 0$ 

      • ​ $f'(x)<0$ ，则函数 $f(x)$ 单调递减，注意不是 $f'(x)\leqslant 0$ 

      • ​说明：常函数没有单调性；

      • ​函数单增

        • 则​ $f'(x)\geqslant 0$ 恒成立，且不为常函数[验证，排除多解]

      • ​函数单减

        • 则​ $f'(x)\leqslant 0$ 恒成立，且不为常函数[验证，排除多解]

    • ​判断函数的单调性

      • ​系数不含参数的函数

        • ​解不含参数的不等式【或利用形】

      • ​系数含有参数的函数

        • ​解含参数的不等式【或利用形】

      • ​导数法判断函数单调性策略[从形入手]

        • ​分析导函数 $f'(x)$ 形式

          • ​二次式，如 $f'(x)=x^2-3x+2$ ，解不等式【数】或做二次函数图像

          • ​分式，如 $f'(x)=\cfrac{x^2-3x+2}{e^x}$ ，只需要做分子函数的图像【形】 $f'(x)=\cfrac{x^2-3x+2}{x^2}$$f'(x)=\cfrac{x^2-3x+2}{e^x}$ 
            

          • ​因式乘积形式，如 $f'(x)=(x^2-3x+2)e^x$ ，只需要做因子函数 $y=x^2-3x+2$ 的图像【形】

          • ​因式乘积形式，如 $f'(x)=(x-1)(e^x+2a)$ ，一静一动两个图像做在同一个坐标系上，【形】

          • ​共零点的和式形式，如 $f'(x)=\cfrac{(x-1)e^x+lnx}{x^2}$ ，将两个和式的图像做在同一个坐标系上，【形】

        • ​数+形失效后，考虑二阶导

          • ​原函数 $f(x)$ 

          • ​一阶导数  $f'(x)=g(x)$ 

            •  $f'(x)>0$ $\Rightarrow f(x)$ 单增

            •  $f'(x)<0$  $\Rightarrow f(x)$ 单减

          • ​二阶导数 $f''(x)=g'(x)$ 

            • ​ $g'(x)>0 \Rightarrow f'(x)$ 单增

              • ​往往再结合端点值，从而知道 $f'(x)$ 的正负

            • ​ $g'(x)<0 \Rightarrow f'(x)$ 单减

              • ​往往再结合端点值，从而知道 $f'(x)$ 的正负

    • ​函数单调性的应用[难点，易错]

      • ​已知函数的单调性，求参数的取值范围

        • ​函数单增

          • 则​ $f'(x)\geqslant 0$ 恒成立，且不为常函数[验证，排除多解]

        • ​函数单减

          • 则​ $f'(x)\leqslant 0$ 恒成立，且不为常函数[验证，排除多解]

      • ​已知函数存在单调区间，求参数的取值范围[容易多解]

        • ​存在单增区间

          • ​则 $f'(x)> 0$ 能成立 

        • ​存在单减区间

          • ​则 $f'(x)< 0$ 能成立

  • ​求函数的极值

    • ​求解步骤

      • ​①求解函数的定义域

      • ​②求导 $f'(x)$  ，注意复合函数的求导[易错]$f'(x)$

      • ​③求解导函数方程 $f'(x)=0$ 的根

      • ​④求单调区间

        • ​或列函数值 $f'(x)和f(x)$ 升降表

          • ​[由表格形式]解读表格，得到单调区间

        • ​或解函数不等式[简单形式]

          • 由数的形式，​得到单调区间

        • ​或做导函数图像[或部分图像][复杂情形]

          • ​[由形的形式]解读图像，得到单调区间

      • ​⑤接上，写出极值点和极值

    • ​注意事项

      • ​题目所给的区间可能是开区间，也可能是闭区间

      • ​由上述方法求解，函数可能有极值，也可能没有极值

      • ​当题目让求解极值，则应该包含极大值和极小值两种情况，若某一种不存在，应该特别说明；

  • ​求函数的最值

    • ​求解步骤

      • ​Ⅰ.按照求极值的方法的①--⑤操作

      • ​Ⅱ.比较区间端点处的函数值和函数的极值的大小，从而得到函数的最值

    • ​注意事项

      • ​题目所给的一般是闭区间 $[a，b]$ 

        • ​连续函数在闭区间上的最大最小值定理

        • ​内容：闭区间上的连续函数，必然有最大值和最小值。

        • ​比较：

          • ​开区间[含半开区间]上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。如函数 $f(x)=x^3$ 

          • ​区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。如函数 $f(x)=\cfrac{1}{x}$ 

      • ​当函数在定义域内只有一个极大(小)值时，则此极大(小)值会升级为最大(小)值

      • ​极值与最值区别与联系

  • 零点和极值点

    • ​函数的零点和极值点都是针对原函数而言的

    • 原​函数 $f(x)$ 的极值点又是导函数 $f'(x)$ 的零点

  • 导数与函数的综合应用[高阶难点]

    • ​利用导数证明不等式

      • ​常用做差法构造新函数

        • ​如 $f(x)>g(x)$ ，构造 $h(x)=f(x)-g(x)$ ，证明 $h(x)>0$ 恒成立

        • ​易错： $f(x)_{min}>g(x)_{max}$ ；反例： $e^x\geqslant x+1$ 

      • ​或变形为不等式左右是相同结构的表达式，从而构造不等式，说明此不等式单增或单减，接下来就是证明 $f'(x)\geqslant 0$ 恒成立或 $f'(x)\leqslant 0$ 恒成立；

    • ​关联方法

      • 分离参数法

      • ​构造函数法

    • ​不等式恒成立求参数的取值范围

      • ​二次不等式恒成立

        • ​恒成立

          • ​ $\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.$ 

          • ​ $\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta <0}\end{array}\right.$ 

        • ​ $f(x)=ax^2+bx+c>0在[a，b]上$ 恒成立

          • ​或分离参数法

          • ​或利用二次函数数形结合求解

        • ​ $f(x)=ax^2+bx+c>0在[a，+\infty)上$ 恒成立

          • ​或分离参数法

          • ​或数形结合法

        • ​变换主元法，求谁谁才是参数

      • ​非二次不等式恒成立

        • ​绝对值型恒成立

        • ​完全分离参数法

        • 不完全分离参数法​

        • ​或用倒数法分离参数，能避免分类讨论

    • ​不等式能成立求参数的取值范围

    • ​方程有解求参数的取值范围

    • ​利用导数研究函数的零点

    • ​利用导数研究生活中的优化问题【实际应用题】