函数与导数   核心内容与研究工具

• ​函数与基本初等函数

• ​以前的相关数学思想，仍然可以使用

  • ​函数与方程

  • ​数形结合

  • ​转化划归

• ​二者关系举例说明

• ​导数相关概念

  • ​相关概念

    • ​函数上的两种线

      • ​函数的割线

        • ​割线的斜率就是平均变化率

        • ​割线的极限位置就是函数的切线

      • ​函数的切线

        • ​切线的斜率就对应函数的导数

    • ​函数值的平均变化率

      • ​类比平均速度理解

    • ​函数值的瞬时变化率

      • ​类比瞬时速度理解

      • ​在数学上，称之为导数；

        • ​其他方面

          • ​物理：位移对时间的导数是速度

          • ​物理：速度对时间的导数是加速度

          • ​经济学：

  • ​相关表示

    • ​平均变化率

      • ​ $\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

      • ​也就是割线的斜率 $k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

    • ​瞬时变化率

      • ​就是平均变化率的极限

      • ​即  $\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 

      • ​叫法：函数在 $x_0$ 这一点处的导数

      • ​记法： $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\cfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 

  • ​易混淆概念

    • ​导数

      • ​是常数，记为 $f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_{0}}$ 

    • ​导函数

      • ​是个函数，记为 $f'(x)$ 

    • ​不是所有的函数都有导数，一个函数在其定义域上有些点处没有导数

  • ​切线概念的变化

    • ​初中

      • ​直线和曲线的交点个数

    • ​高中及大学

      • ​切线是由割线变化得到的

      • ​直线和曲线有两个或两个以上的交点，其位置关系可能是相切

      • ​直线和曲线一个交点，其位置关系可能是相交

    • ​解题思路的变化

      • ​直曲线相切

      • ​曲线和曲线相切

      • ​设切点，求切点

        • ​列方程组

          • ​ $k_{l}=f'(x_0)$ 

          • ​切点在直线上

          • ​切点在曲线上

• ​导数相关运算

  • ​求导公式

  • ​运算法则

  • ​求函数的导数

    • ​定义法

    • ​导数公式法

      • ​我们常用的，注意复合函数的求导和分式函数的求导

        • ​ $[sin(2x+1)]'=cos(2x+1)\cdot (2x+1)'=2cos(2x+1)$ 

        • ​ $(\cfrac{lnx+1}{e^x})'=\cfrac{(lnx+1)'\cdot e^x \textcolor{red}{ - }(lnx+1)\cdot e^x}{(e^x)^2}\\=\cfrac{\frac{1}{x}\cdot e^x-(lnx+1)\cdot e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{\frac{1}{x}-lnx-1}{e^x}$ 

    • ​求导原则和策略