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考研数学复习知识点，从高中数学开始

我的数学
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- 向量
  - 平面向量
    - $||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq|\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
      - a,b同向
        $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
        $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$
      - a,b反向
        $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$
        $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$
    - 减法
      - 共起点
        尾尾相接
        指向被减
    - 数量积
      - $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|a|\cdot|b|\cos\theta$
        $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$
        $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{同向}{=}|a||b|,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{异向}{=}-|a||b|,$
        $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|a|^2,|a|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$
        $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}$
        $|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leqq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$
      - 几何意义： $|a|与\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}方向上投影|b|\cos\theta的乘积$
      - 结果是个数量，不是向量
    - 坐标运算 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
      - $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\rightarrow\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$
      - $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
      - $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$
      - $\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$
      - $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$
        $|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
        $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$
        $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$
        $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$
        $(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)$
        $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$
    - 三角形内
      - 中线
        $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$
        重心： $\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A D}$
      - 角分线
        $\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}= λ \overrightarrow{AX}$
- 集合
  - 三个特点：确定性，互异性，无序性
  - $a\in A$ $a \notin A$
  - 常用集合
    - 非负整数集合N {0,1,2,3,4...}
    - 正整数集合 $N^+$ 或 $N^*$ {1,2,3,4...}
    - 整数集合Z {0,1,-1,2,-2...}
    - 有理数集合Q $\{x|x=\frac{p}{q},p,q\in Z\}$
    - 实数集合R {x|数轴上点的坐标}
    - 全集U
  - 子集 $A\subset B$
    - 若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ 则A=B
    - 若 $A \subset b$ $A \subset B$ 且 $A \neq B$ ，则A真包含于B， $A \subsetneqq B$
  - 有n个元素的合集 $\{a_1,a_2,a_3...a_n\}$ ,子集的个数为 $2^n$ 个，真子集的个数为 $2^n -1$ 个,非空真子集的个数为 $2^n-2$ 个
  - 补集 $\complement_U A$
    - $\complement_U (A\cap B)=\complement_U A \cup \complement_U B；\complement_U (A\cup B)=\complement_U A \cap \complement_U B$
      - $\overline{A\times B}=\overline{A}+\overline{B}；\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
    - 若A=B，则 $\complement_U A = \complement_U B$ ，反之也成立
  - Card(S):S的元素个数
    - $Card(A\cup B)=Card A + Card B - Card(A\cap B)$
- 排列组合
  - 排列
    - $A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$
  - 组合
    - $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
- 函数
  - 有界性
    - $f'(x)在(a,b)有界\Longleftrightarrow f(x)在(a,b)有界$
  - 单调性
    - $x_1>x_2且f(x_1)>f(x_2)\Longrightarrow增； x_1>x_2且f(x_1)<f(x_2)\Longrightarrow减$
      - $f(x)增\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$
        $f(x)减\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0$
    - 函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性
    - k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同
      k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反
    - 若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与 $\frac{1}{f(x)}$ 具有相反的单调性
    - 若f(x),g(x)都是增函数(减)，则f(x)+g(x)是增函数(减)
    - 若f(x),g(x)都是增函数(减)，则 $f(x)\cdot g(x)$ 当两者都恒大于零时，是增函数(减)；当两者都恒小于零时，是减函数(增)
    - 复合函数y=f(g(x))：同增异减
  - 奇偶性
    - 奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)
    - 奇函数f(x)如果在原点有定义，则f(0)=0；
      若一个函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0
    - 四则运算
      - 奇 $\pm$ 奇=奇，偶 $\pm$ 偶=偶
      - 奇x/奇=偶，偶x/偶=偶
      - 奇x/偶=奇
    - 复合
      - 奇【偶】=偶，偶【奇】=偶，偶【偶】=偶，非【偶】=偶
      - 奇【奇】=奇
    - 若f(x)为偶函数，则 $f(x)=f(|x|)$
    - 多项式 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ 的奇偶性:
      只有奇次幂，f(x)为奇函数
      只有偶次幂，f(x)为偶函数
      有奇有偶次幂，f(x)非奇非偶
      - 二次函数 $y=ax^2+bx+c(a \neq 0)$ 若为偶函数 $\Leftrightarrow$ b=0
    - $f(x)=奇函数g(x)+偶函数h(x)$ 的一般方法： $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2},h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
    - ※ $f(x)连续, \forall x和y,f(x+y)=f(x)+f(y)\Longrightarrow f(x)奇$
  - 对称性（自变量的和为常数）
    - 对称轴为 $a\Longleftrightarrow f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)$
    - 对称中心为 $(a,0)\Longleftrightarrow f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)$
  - 周期性（自变量的差为常数）
    - $f(x\pm T)=f(x)\Longleftrightarrow周期为T$
    - $f(x\pm T)=-f(x)\Longleftrightarrow反周期t=T,周期为2T$
    - $f(x+T)=\pm\frac{1}{f(x)} \Longleftrightarrow 倒周期t=T,周期为2T$
    - $若x_1-x_2=T，有f(x_1)=f(x_2)\Longleftrightarrow周期为T$
    - $若x_1-x_2=t，有f(x_1)=-f(x_2)\Longleftrightarrow反周期为t，周期为2t$
    - $f(x)关于直线x=a和x=b都对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=2|b-a|$
    - $f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=2|b-a|$
    - $f(x)关于点(a,0)和直线x=b都对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=4|b-a|$
  - 函数周期性、奇偶性、对称轴的关系
  - 凹凸性（分大下凸）
    - $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\Leftrightarrow向下凸 f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\Leftrightarrow向上凸$
    - $f''(x)>0 \Longleftrightarrow 向下凸，f''(x)<0\Longleftrightarrow 向上凸$
  - $隐函数f(x,y)=0平移\stackrel{按向量(a,b)平移}{\Longrightarrow}f(x-a,y-b)=0$
  - 部分初等函数
    - 指数函数
      - 基本性质
        $a^ra^s=a^{r+s}$
        $(a^r)^s=a^{rs}$
        $(ab)^r=a^sb^r$
    - 对数函数
      - 基本性质
        $\log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN$
        $\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$
        $\log_aM^n=n\log_aM$
        换底公式： $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}（一个应用：\log_ab\cdot \log_bc\cdot \log_ca=\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln c}{\ln b}\cdot\frac{\ln a}{\ln c}=1）$
        $\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_ab$
        $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$
      - some special
        $y=\ln(\frac{1+x}{1-x})$
        
        $y=ln(x+\sqrt{1+x^2})$
        
        奇函数！！！
    - 绝对值
      - $y=|x-a|$
      - $y=|x-a|+|x-b|$
      - $U=\max\{f(x),g(x)\},V=\min\{f(x),g(x)\}$
        $U=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=\begin{cases} f(x),&f(x)\geqq g(x)\\ g(x),&f(x)\leqq g(x) \end{cases}$ $V=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=\begin{cases} g(x),&f(x)\geqq g(x)\\ f(x),&f(x)\leqq g(x) \end{cases}$
        $U+V=f(x)+g(x),U-V=|f(x)-g(x)|,UV=f(x)g(x)$
    - 幂函数
      - $y=x^{-2}$
        形如 $\frac{1}{x}$ 的图像，第一象限均类似，根据奇偶性判断二三象限的图像
      - $x^{\frac{2}{3}}$
      - $y=\frac{1}{x^2+1}$
      - $y=x^{\frac{1}{2}}$
      - $y=x^2$
        一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$
        $\Delta=b^2-4ac$ ：正有两个解，负无实数解，=0有一个解
        韦达定理
        $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
        $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$
        $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$
        二次函数 $y=ax^2+bx+c$
        对称轴: $x=-\frac{b}{2a}$
        最值: $\frac{4ac-b^2}{4a}$
      - $y=x^3$
        $三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d有极值\Longrightarrow导数函数y=3ax^2+2bx+c判别式\Delta大于0$
      - $y= \sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}$
    - $y=\frac{ax+b}{cx+d}$
      - $x\neq -\frac{d}{c},y\neq -\frac{a}{c},过(0,\frac{b}{d})点$
    - $y=ax+\frac{b}{x}$
      - a,b同号，双钩
      - a,b异号，双撇
    - 三角函数
      - 性质
        同角三角函数
        三角函数六边形
        
        $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha =1$
        $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$
        $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$
        $(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$
        $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2$
        $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
        $\sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha$
        $\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$
        诱导公式（任意角 $\Longrightarrow$ 锐角，奇变偶不变、符号看原来这个函数的象限）
        函数名不变，符号看象限
        $\sin(k\cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha,\cos(k\cdot2\pi+\alpha)=\cos\alpha,\tan(k\cdot2\pi+\alpha)=\tan\alpha$
        $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$
        $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$
        $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
        函数名改变，符号看象限
        $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha,\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha,\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}$
        $\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha,\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha,\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\frac{1}{\tan\alpha}$
        函数 $y=A\sin(\omega x+\phi)$ 的特征
        $振幅|A|,周期T=\frac{2\pi}{|\omega|},频率f=\frac{1}{T}=\frac{|\omega|}{2\pi},相位\omega x+\phi,初相\phi,对称轴方程x=\frac{k\pi}{\omega}+\frac{\pi}{2\omega}-\frac{\phi}{\omega},对称轴中心坐标(\frac{k\pi-\phi}{\omega},0)(k\in Z)$
        $y=\sin x \stackrel{横坐标变为\frac{1}{\omega}倍}{\longrightarrow}y=sin\omega x$
        $y=\sin x \stackrel{纵坐标变为A倍}{\longrightarrow}y=A\sin x$
        $y=|A\sin(\omega x+\phi)|,y=|A\cos(\omega x +\phi)| \longrightarrow T=\frac{\pi}{|\omega|}$
        两角和差的正弦、余弦、正切公式
        $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
        $\sin(\alpha+\beta)\pm\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta或2\cos\alpha\sin\beta$
        $\cos(\alpha+\beta)\pm\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta或-2\sin\alpha\sin\beta$
        $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
        $\cos(\alpha-\beta)\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)\sin\beta=\cos\alpha$
        $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$
        $\tan(\alpha+\beta)\cdot(1-\tan\alpha\tan\beta)=\tan\alpha+\tan\beta$
        $\tan\alpha+\tan\beta+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta=\tan(\alpha+\beta)$
        $\tan\alpha\tan\beta=1-\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)}$
        倍角公式
        $\sin2\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
        $1\pm\sin2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\pm2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2$
        $\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}$
        $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
        升降幂公式
        $1+\cos\alpha=2\cos^2{\frac{1}{2}\alpha},1-\cos\alpha=2\sin^2{\frac{1}{2}\alpha}$
        $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$
        半角公式
        $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
        $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
        $\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$
        $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
        万能公式
        $\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$
        $\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$
        $\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$
        和差化积
        $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
        $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
        积化和差
        $\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
        $\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$
        $\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$
        $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)]$
        辅助角公式
        $a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$ $(ab\neq0)$ ，其中 $\phi$ 满足 $\tan\phi=\frac{b}{a}$ 。注意：若将a框定在>0,则可将 $\phi$ 框定在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 内便于计算
        特殊锐角三角函数
        
        分角的一个办法
      - 部分图像
        cot(x)
        
        sec(x)
        
        csc(x)
        
        arcsin(x)
        
        arccos(x)
        
        arctan(x)
        
        arccot(x)
        
        $\arctan x+arccot x=\frac{\pi}{2}$
        $sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
        
        $ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
        
        $th(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
        
        $coth(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$
        
        $\sin \frac{1}{x}$
    - 符号函数
      - $y=sgn x=\begin{cases} 1,&x>0\\ 0,&x=0\\ -1,&x<0 \end{cases}$
    - 取整函数—向左取整
      - $y=[x]$
        
        $x-1<[x]\leq x$
        $[x+n]=[x]+n$
        $n[x]\leq nx$
        n为正整数
        $[x]+[y]\leq [x+y]$
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}{[x]} } =0, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-}{[x]} } =-1$
      - $y=x-[x]$
        
        T=1
  - 阶乘
    - 双阶乘
      - $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)$
      - $(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6 \cdots (2n)=2^n\cdot n!$
- 几何
  - 直线
    - 直线点斜式 $y-b=k(x-a)$
  - 三角形
    - - $A+B+C=\pi$
      - 大边对大角，小边对小角
      - 构成条件
        可构成三角形： $a+b >c$
        直角： $a^2+b^2 = c^2$
        锐角： $a^2+b^2 > c^2$
        钝角： $a^2+b^2 < c^2$
      - 正余弦定理
        正弦定理
        $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ （外接圆半径）
        $S=\frac{1}{2}ab\sin C$
        余弦定理
        $C=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$
        $\cos C =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
      - 面积S
        $S=\frac{1}{2}底\cdot 高$
        $S=\frac{1}{2}两邻边积 \cdot \sin夹角$
        $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}　(p=\frac{a+b+c}{2})$
        $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)　(r是内切圆半径)$
      - 六心
        内心
        
        内切圆圆心
        角分线交点
        到三边等距
        $r=\frac{2S}{a+b+c}$
        外心
        
        外接圆圆心
        中垂线交点
        到三顶点等距
        $R=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sin A}$
        重心
        
        中线交点
        分中线2：1（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1）
        $G=\frac{A+B+C}{3}$ （在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均）
        到三个顶点距离平方和最小
        重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
        垂心
        三条垂线交点
        中心
        正三角形四心重合
        旁心
        角分线，外角分线的交点
        到三边等距
  - 多边形
    - 一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 $\frac{n(n-3)}{2}$
    - n边形内角和等于 $(n-2)\times180^\circ$
    - 多边形的外角和恒等于 $360^\circ$ ，与边数n无关
    - 正n边形的每个内角等于 $\frac{n-2}{n}\times180^\circ$ ，每个外角等于 $\frac{360^\circ}{n}$
    - 梯形面积：(上底+下底)X高/2
  - 圆
    - $y=\sqrt{1-x^2}的几何意义\Rightarrow半圆上半部分$
  - 扇形
    - $α$ 圆心角 $=\frac{l弧长}{R半径}$
    - 扇形弧长公式： $l=|\alpha|\cdot r$
    - $面积S=\frac{1}{2}l\cdot R=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi R^2$ $=\frac{1}{2}|\alpha|\cdot r^2$
  - 圆锥
    - 体积=同底等高圆柱的 $\frac{1}{3}$
- 极限
  - 数列极限
    - 定义—— $任意小的 ε ，都有n，使得|x_n-a|< ε \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} }=a$
      - 数列 ${a_n}$ ,子列 ${a_{n_k}}$ $\Leftrightarrow$
        子列极限相同： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{a_n} } =a \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{n_k}} }=a$
        判断发散的方法
        $\exists$ 发散子列
        两个子列极限不同
        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} } =a \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{2k}} }=a　且　{\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{2k-1}} }=a$
        注意这里是任意子列收敛于相同的极限才可以反推回去
      - 极限的存在，不考虑前有限项极限的情况，着重考虑极限时情况是怎么样的
      - 构造 $|x_n-a| \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}0$
        放缩法
        
        寻找一个已知的极限形式
        阿格朗日法
        中值定理
        
        $见到f和f'$
        $f(b)-f(a)=f'( ξ )(b-a)$
        $f(x)-f(x_0)=f'( ξ )(x-x_0)$
    - 收敛数列性质
      - 唯一性
        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} } =a$ 存在，则a唯一
      - 有界性
        $\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n}$ 存在 $\Longleftrightarrow$ ${a_n}$ 有界
        表述方法： $有界\Longrightarrow A \leqq a_n \leqq B(在n\geqq N之后)$
        找界：找常数的界，不能带n，数列的首项也可以
      - 保号性
        保号性： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} }=a>0 \Longrightarrow \exists N,n>N时,a_n>0$
        $若\{a_n\}从某项起有a_n \geqq 0，且 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} }=a \Longrightarrow a \geqq 0$ (w是个数字)
    - 运算法则
      - $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n \pm y_n)} } = {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } \pm {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}$
        公比小于1的等比数列前n项和的极限, $|q|<1, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{S_n} }= {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a(1-q^n)}{1-q}} } =\frac{a}{1-q}$
      - $\lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n \cdot y_n)} } = {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } \cdot {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n}$
      - $\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}} } = \frac{ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } }{ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }$
    - 极限存在准则
      - $夹逼：y_n \leqq x_n \leqq z_n, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }=a, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }=a　\Longrightarrow　{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} }=a$
        注意： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(y_n-z_n)} } =0　\bigotimes　 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }和 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }存在$
        推论： $y_n \leqq a \leqq z_n, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(z_n-y_n)} }=0　\Longrightarrow　 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} } ={\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }=a$
        考法
        无穷项相加
        ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} }=u_1+u_2+...+u_n,n为\infty$
        $n\cdot u_{min}\leqq {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} } \leqq n\cdot u_{max}$
        
        注意是i，不是n
        老大老小合力才行
        有限项相加
        ${\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} }=u_1+u_2+...+u_n,n为\infty$
        $u_{max}\leqq {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} } \leqq n\cdot u_{max}$
        老大说了算
        $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f_1^n+f_2^n+f_3^n}}=老大f_i(分段看f_1,f_2,f_3图像谁大)$
        
        有提示
        
        题目中第一问给出提示 $B\leqq A\leqq C$ ,第二问求极限
        不验等号
      - ※单调有界数列必有极限
        $\{x_n\}单增且有上界，\{x_n\}单减且有下界\Longrightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n存在} }$
        ① $单调：做差x_{n+1}-x_n,做商\frac{x_{n+1}}{x_n}$
        
        数学归纳法
        
        ①代入n=1时证明成立
        ②设 $x_k>x_{k-1}$
        ③证明 $x_{k+1}是否>x_k$
        ④则当n为全体自然数时，结论成立
        ※不等式
        
        或许有提示
        ②上下界
    - 考点
      - ①恒等变形求极限
        变换后累加累乘用等比数列的公式再求极限
        递归
      - ②单调有界准则
        先证单调，再找界
        题目中有字眼：证明极限存在并求之，呵呵
      - ③定义法
        一般目标明确才用，a已知或者很明显
        这个题中，能猜出极限pi，但是如何去构造pi，tan x =0
        ①放缩
        注意：题目中定义域a<n<b，也是放缩！！！
        ②拉格朗日中值定理
        $见到f和f'$
      - ④夹逼准则
        求xxx，很直接
        放缩型①： $n和i不同幂，不能凑出\frac{i}{n}$
        动分子不行动分母
      - ⑤定积分定义
        
        $n和i幂次相同，能凑出\frac{i}{n}$
        $能凑出\frac{i}{n}$
        $基本型：n+i,an+bi,n^2+i^2,\frac{i}{n}$
        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}} } } } = \int_0^{1}f(x)dx 　（令\frac{i}{n}=x,\frac{1}{n}=dx）$
        
        变量型： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{f(\frac{x}{n}i)\cdot \frac{x}{n}} } } } =\int^x_0f(t)dt　（令a=0,b=x,\frac{x}{n}i=t,\frac{x}{n}=dt）$
        
        $n和i不同幂，不能凑出\frac{i}{n}$
        放缩型②：放缩后再凑 $\frac{i}{n}$
  - 函数极限
    - 领域定义 $U(P_0, δ )$ $U(x_0, δ ) = \{x|x_0-δ<x<x_0+δ\}=|{x||x-x_0|<δ|}$
      - 开区间
      - 一维： $U(x_0, δ ) = \{x|x_0-δ<x<x_0+δ\}=|{x||x-x_0|<δ|}$
      - 二维： $U(P_0, δ )=\{P||PP_0|<δ\}=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<δ\}$
    - 函数极限定义
      - $\forall ε >0,\exists δ >0,当0<|x-x_0|< δ,有|f(x)-A|< ϵ \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=A } 　(f(x) \rightarrow A(x \rightarrow x_0))$
    - 性质
      - 唯一性
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }=a \Rightarrow a唯一$
        注意： $x\rightarrow \infty，意味着x\rightarrow +\infty,x\rightarrow -\infty$
        $x\rightarrow x_0,意味着x\rightarrow x_0^+且x\rightarrow x_0^-$
      - 局部有界性（仅是充分条件，非必要条件）
        $如果 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} } =A,则存在正常数M和 δ ，使得当0<|x-x_0|< δ ,有|f(x)|\leqq M$
        $f'(x)在(a,b)内有界\Longrightarrow f(x)在(a,b)内有界$
        有界函数与有界函数的和、差、积也有界
        $f(x)在[a,b]上连续\Longrightarrow 有界$
        $f(x)在开(a,b)内连续， {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x)} }与{\displaystyle \lim_{x \rightarrow b^-}{f(x)} }存在\Longrightarrow 有界$
      - 局部保号性
        $如果f(x)\rightarrow A (x \rightarrow x_0),且A>0(或<0)，那么存在常数 δ >0，使得当0<|x-x_0|< δ 时，有f(x)>0(或<0)$
    - 无穷大、小
      - 小
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =0$
      - 大
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =\infty$
      - 关系
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =0 \Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{\frac{1}{f(x)}} } =\infty$ ,反之亦然
      - 无穷小比阶
        
        高阶 $α (x)=o( β (x))$
        ${\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =0$
        等价 $α (x) \sim β (x)$
        ${\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =1$
        常用等价无穷小
        $\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x　\sim　x$
        导数： $(\sin x)'=\cos x,(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$
        $1-\cos x　\sim　\frac{1}{2}x^2$
        导数： $(\cos x)'=-\sin x$
        $a^x-1　\sim　x \ln a$
        导数： $(a^x)'=a^x\ln a$
        $e^x-1　\sim　x$
        $\log _a(1+x)　\sim　\frac{x}{\ln a}$
        导数： $(\log _a x)'=\frac{1}{x \ln a}$
        $\ln (1+x)　\sim　x$
        $(1+x)^ α -1　\sim　 α x$
        导数： $(x^n)'=nx^{n-1}$
        并不是任意两个无穷小都可以比阶
        $低阶 {\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =\infty$ ， $k阶 {\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ [β (x)]^k}} } =c$
        $低阶 {\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =\infty$ $同阶 {\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =c$
        $适度变形，上下乘x等方法\Longrightarrow 高阶、低阶$
        $c = 0或常数\Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \cdot}{g(x)} }母=0 \Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \cdot}{f(x)} }子=0$
        $c \ne 0\Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \cdot}{f(x)} }子=0 \Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow \cdot}{g(x)} }母=0$
      - 无穷小运算规则
        m,n正整数
        有限个无穷小的和是无穷小
        有限个无穷小的乘积是无穷小
        有界函数与无穷小的乘积是无穷小
        加减法——低阶吸收高阶
        $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^{min(m,n)})$
        $o_1（x^m）+o_2(x^n)=o_3(x^{min(m,n)})$
        乘法——阶数累加
        $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
        $x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
        非零常数不影响
        $o(x^m)=o(kx^m)=k\cdot o(x^m),k \ne 0$
    - 存在的充要条件
      - 左右极限存在且相等
        $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} } =A \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0^-}{f(x)=A} } 　且　{\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0^+}{f(x)=A}$
      - 脱帽法
        $若 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow }{f(x)} }=A，则f(x)=A+ α (x)，其中 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow }{ α (x)} }=0$
    - 运算规则
      前提是各自都存在！！！
      - $\lim_{}{[kf(x)\pm l g(x)]} } = k{\displaystyle \lim_{}{f(x)} }\pm l{\displaystyle \lim_{}{g(x)}$
      - $\lim_{}{[f(x)\cdot g(x)]} } ={\displaystyle \lim_{}{f(x)} }\cdot {\displaystyle \lim_{}{g(x)}$
      - ${\displaystyle \lim_{}{[f(x)]^n} }=[ {\displaystyle \lim_{}{f(x)} } ]^n$
      - $\lim_{}{\frac{f(x)}{g(x)}} } =\frac{ {\displaystyle \lim_{}{f(x)} } }{ {\displaystyle \lim_{}{g(x)} }$
    - 存在准则——夹逼准则
      - $g(x)\leqq f(x) \leqq h(x),\lim g(x)=A,\lim h(x)=A \Longrightarrow \lim f(x)=A$
        放缩
        注意：题目中给的定义域，a<x<b也是放缩！！！
    - $\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}$ 的计算——洛必达法则
      - $f(x)和g(x)都\rightarrow 0(或者都\infty)\Longrightarrow \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ $=\lim \frac{f''(x)}{g''(x)}=\cdots$
        
        不是 $\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}$ 不能用
        $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 也不一定存在
        此时洛必达失效，但是不能证明原式极限不存在
        右存在，左存在
        左存在，右不一定
        一直洛 $\lim \frac{f''(x)}{g''(x)}存在的话可以继续=\cdots$
    - 函数极限与数列极限——海涅定理
      存在的充要条件是：取定义域内的任意数列{ }，，且不等于，有
      - x数列化后,f(x)与f(xn)极限相同
        数列 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } =x_0, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }=A \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{f(x_n)} }=A$
    - some lim
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin x}{x}} }=1$
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} } =e \approx 2.7$
      - $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}x^\alpha\cdot \ln x}=0$
        $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}x^\alpha\cdot ln\frac{1}{x}}=0\cdot \infty =0$
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}{x^ α \cdot e^x} }=0$
      - ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} } =e \approx 2.7$
    - ※泰勒展开式
      - 任何可导 $f(x)= {\displaystyle \sum_{}^{}{a_nx^n} }$    $(x\rightarrow 0)$
        $\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)$    $= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}} }$
        $\arcsin x = x+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)$
        $狗-\sin 狗 \sim \frac{1}{6}狗^3$
        $\cos x =\sin' x = 1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)$    $= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}} }$
           $\tan x = x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$
        $\arctan x = x -\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$
        $e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+o(x^3)$    $= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}} }$
        $\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$     $= {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}} }$
        $\ln u \sim u-1,u\rightarrow 1$
        $(1+x)^ α =1+ α x+\frac{ α ( α -1)}{2}x^2+o(x^2)$    $+\cdots+\frac{ α ( α -1)\cdots( α -n+1)}{n!}x^n$
        $\frac{1}{1+x}= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^nx^n} }$
        $\frac{1}{1-x}= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{x^n} }$
      - 主部——第一项
      - 展开原则
        展开到几阶？
        $\frac{A}{B}$ 型
        上下同阶
        $若分母(分子)是x^k，则分子(分母)也展开至x^k$
        A-B型
        幂次最低
        将A,B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止
    - 考点
      - 求极限 $\lim_{x \rightarrow }{\frac{f(x)}{g(x)}}$
        
        七种未定型
        $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$
        $\infty\cdot 0=\frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$
        设置分母的原则，简单因式才下放： $x^ α ,e^{ β x}$
        复杂： $\ln x ,\arcsin x ,\arctan x,\sqrt{x}$
        
        $\infty-\infty:和差化积-倒代换$
        $\infty^0,0^0,1^{\infty}:幂指u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$
        $幂指 u^{v} = e^{v ln u}$
        $1^\infty$
        幂指   $\lim u^v=e^{\lim v\cdot (u-1)}$
        
        题型
        1.比阶题
        2.反问题，反求参数
        
        3.已知某一极限，求另一极限
        直接把f(x)求出来
        
        寻找两个极限之间的关系
        
        形式
        $\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}$ ——差函数 $x-\tan x ,e^x-e^{\tan x},\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}$
        $\lim_{x \rightarrow \infty}{\frac{f'(x)}{g(x)}}$ ——导函数
        $d(x^2)=2x\cdot dx$
        $\lim_{x \rightarrow }{\frac{ \int_0^{x}f(t)dt }{g(x)}}$ ——积分
        洛必达
        
        $\sum_{}^{}{a_nx^n}$
        方法
        恒等变形—化简
        ++--**//
        
        $x\longrightarrow\infty$    $\Longrightarrow$ 上下同除x
        
        $\sqrt{a}-\sqrt{b}\stackrel{有理化}{=}\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
        
        n=1+1+1+...+1（n个）
        
        换元
        
        $x<0或\rightarrow-\infty,则先t=-x换元$
        公式
        $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$
        
        $a^n+b^n$
        $在 n = 2 k + 1 时能分解为：$
        $（a+b）*[a^{2k}-a^{2k-1}*b+a^{2k-2}*b^2-…+a^2*b^{2k-2}-a*b^{2k-1}+b^{2k}]$
        $在 n = 2 k 时无法在实数域内分解$
        裂项向消
        
        对幂的处理
        ln
        除一下，统一到一个带幂函数
        
        a^n-b^n因式分解
        等价无穷小替换（主部）
        洛必达
        
        泰勒公式
        
        夹逼准则
        当常规的洛必达、泰勒等不行的时候
        
        单调有界准则
        综合
- 不等式
  - 性质
    - $a>b,c>d 　\Longrightarrow 　a+c>b+d$
    - $a>b>0,c>d>0 　\Longrightarrow 　ac>bd$
    - $a>b>0 　\Longrightarrow 　a^n>b^n(n \in N,n \geqq 1)$
    - $a>b>0 　\Longrightarrow 　\sqrt[n]{a} >\sqrt[n]{b}(n \in N,n \geqq 2)$
  - 线性规划
    - 直线 $Ax+By+C=0　(A>0)$
      - >0 右侧
      - <0 左侧
    - $z=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$
      - 圆，圆心(a,b)
    - $z=\frac{y-b}{x-a}$
      - 过(x,y)和(a,b)直线的斜率
  - 一些常用
    - 均值不等式
      - $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqq \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2} \leqq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
        $H_n \leqq G_n \leqq A_n \leqq Q_n$
        调和平均数 $H_n=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$
        几何平均数 $G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
        算术平均数 $A_n=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}=\frac{x_1 +x_2 +\cdots +x_n}{n}$
        平方平均数 $Q_n=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$
        变形
        $4ab\leq (a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)　(a,b\in R)$
        $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2 \geq ab+bc+ca　(a,b,c \in R)$
        $|\frac{b}{a}+\frac{a}{b}| \geq 2$
      - 条件：一正二定三相等
        ①a,b两数都是正数
        ②ab乘积必须是定值，不能有变量ab
        ③两数能相等a=b
      - 积定和最小，和定积最大
        两正数，和一定，越接近，积越大
        两正数，积一定，越接近，和越小
    - 绝对值不等式
      - $||a|-|b||\leqq |a\pm b|\leqq|a|+|b|$
    - $\sin x < x <\tan x$ $(0<x<\frac{\pi}{2})$
    - $e^x>x+1$
    - $x-1 \geqq \ln x$
- 连续
  - 定义——极限与值相等
    - 表达方法1： ${\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\Delta y} } = {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]} } =0$
    - 表达方法2： ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }=f(x_0)$
      - ※ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{f(a_n)} } \stackrel{连续}{=}f( {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} } )$
      - $设f(x)在x=0处连续，且\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A}存在　\Longrightarrow$ $f(0)=\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}x\cdot\frac{f(x)}{x}}=0\cdot A=0$ $,f'(0)=\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=A}$
  - 间断点
    - 第一类
      - 可去
        $\lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} } =A \ne f(x_0),{\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^-_0}{f(x)} }={\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^+_0}{f(x)}$
      - 跳跃
        $\lim_{x \rightarrow x^-_0}{f(x)} }\ne{\displaystyle \lim_{x \rightarrow x^+_0}{f(x)}$
    - 第二类
      - 无穷
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }=\infty$
      - 振荡
        例如 $\sin \frac{1}{x}$ 在0处振荡
- 数列
  - 求 $a_n$ 通项
    - 已知递推项
      - ①化简（因式分解）
        $若为a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+19的形式$
        $设a_{n+1}+C=\frac{1}{2}(a_n+C)$
        解C
        $x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}x_n},两边ln$
        $a_{n+2}=\frac{2a_na_{n+1}}{a_n+a_{n+1}},两边除以a_na_{n+1}求倒数$
      - ②直接展开
        $a_{n+1}-a_n=f(n),累加$
        $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n),累乘$
      - ③同形异角（辅助数列）
      - ④转化为同形异角
      - ⑤找规律
    - $已知S_n=f(n)$
      - $a_n=S_n-S_{n-1}$
    - $已知f(S_n,S_{n-1})=0$
      - $先求S_n，再求a_n$
    - $已知f(S_n,a_n)=0$
      - 求首项（ $a_1=S_1$ ）
        求递推
        解递推
  - 等差数列
    - 通项公式: $a_n=a_1+(n-1)d$
      - $a_n=a_m+(n-m)d$
      - $m+n=p+q \Longrightarrow a_m+a_n=a_p+a_q$
        $\frac{m+n}{2}=k \Longrightarrow a_m+a_n=2a_k$
        $仅当a_1=d \Longrightarrow a_m+a_n = a_{2k}，否则不成立$
        距离首末两项等距的两项和相等， $a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots=a_i+a_{n+1-i}$
      - $数列\{ λ a_n+b\} \Longrightarrow 公差 λ d$
      - $数列\{a_k,a_{k+m},a_{k+2m} \cdots \} \Longrightarrow 公差 m d$
      - $若\{b_n \}等差 \Longrightarrow \{a_n+b_n\},\{ka_n+b_n\}也是等差$
      - 连续等长片段和仍是等差： $a_1+a_2+a_3,a_4+a_5+a_6,a_7+a_8+a_9....$
        ？？公差
      - 对称设项方法
        n为奇数
        设成：a-d,a,a+d
        n为偶数
        设成：a-2d,a-d,a+d,a+2d
    - 证明方法
      - 公差d常数
      - 通项公式 $a_n=pn+q$
      - 等差中项： $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$
      - 前n项和： $S_n=An^2+Bn$
    - 前n项和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$
      - 前n个奇数的和是 $n^2：1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$
      - $S_k,S_{2k}-S_k,S_{3k}-S_{2k}为等差，公差为k^2d$
      - 按项数分类情况
        项数为偶2n
        $S_{2n}=n(a_1+a_{2n})=\cdots=n(a_n+a_{n+1})(a_n,a_{n+1}为中间两项)$
        $S_偶-S_奇=nd$
        $\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$
        项数为奇2n-1
        $S_{2n-1}=(2n-1)a_n(a_n为中间项)$
        $S_奇-S_偶=a_n$
        $\frac{S_偶}{S_奇}=\frac{n-1}{n}$
        $S_奇=na_n,S_偶=(n-1)a_n$
      - $b_n也为等差，S'为其前n项目和$
        $\frac{a_m}{b_m}=\frac{S_{2n-1}}{S'_{2n-1}}$
  - 等比数列
    - 通项公式： $a_n=a_1r^{n-1}$
      - $a_n=a_mq^{n-m}$
      - $m+n=p+q\Longrightarrow a^ma^n=a^pa^q$
        $m+n=2p \Longrightarrow a_ma_n=a_p^2$
        $仅当a_1=q \Longrightarrow a_ma_n=a_{2p}$ ,否则不成立
        距离首末两项等距的两项积相等, $a_1a_n=a_2a_{n-1}=\cdots=a_ma_{n-m+1}$
      - $\{ λ a_n\}\Longrightarrow 公比= λ q$
      - $\{b_n\}公比q'\Longrightarrow \{a_nb_n\}公比qq'$
      - $\{\frac{1}{a_n}\}\Longrightarrow 公比=\frac{1}{q}$
      - $\{|a_n|\}\Longrightarrow 公比=|q|$
      - $隔k取出一项\Longrightarrow 公比q^{k+1}$
      - $若a_n均为正\Longrightarrow \{\lg a_n\}等差，d=\lg q$
      - 连续相邻k项
        和：等比公比 $q^k$
        积：等比公比 $q^{k^2}$
      - $n,m,p等差\Longrightarrow a_n,a_m,a_p等比$
      - 对称设项方法
        如果为奇数个项数，则可以设 $\frac{a}{q},a,aq$
        但是如果是四个，不要设 $\frac{a}{q^2},\frac{a}{q},aq,aq^2$ ,因为此时公比 $q^2$ 恒正，漏解
    - 证明方法
      - 公比q常数
      - $a_n=cq^n$
      - $a^2_{n+1}=a_na_{n+2}$
    - 前n项和： $s_n=\begin{cases} na_1,&r=1\\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},&r\neq1 \end{cases}=\begin{cases} na_1,&r=1\\ \frac{a_1-a_nq}{1-r},&r\neq1 \end{cases}$
      - $S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}等比$ $公比q^n$
      - $S_n=a^n-1 \Longrightarrow a_n等比=a^n(1-\frac{1}{a})$
      - 按项数分类情况
        项数为偶2n
        $\frac{S_偶}{S_奇}=q$
        项数为奇2n+1
        $\frac{S_奇-a_1}{S_偶}=q$
      - $S_{n+m}=S_n+q^n\cdot S_m$
  - 差比互换
    - $\{a_n\}等差\Longrightarrow \{e^{a_n}\}等比$
    - $\{a_n\}等比\Longrightarrow \{\ln a_n\}等差$
  - 中项
    - $等差：a_{n-1}+a_{n+1}=2_n$
      $等比：a_{n-1}\cdot a_{n+1}=a_n^2$
      - 若m+n=i+j
        $n+a_m=a_i+a_j$
        $比：a_na_m=a_ia_j$
  - 错位相减-差比数列
    - $a_n等差，b_n等比$
      - $\{a_nb_n\}通项，各项乘以公比q，再错位与次项相减$
  - 裂项相消
    - $\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$
      - $\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$
        $S_n=\frac{n}{n+1}$
    - $a_n等差，公差为d \Longrightarrow \frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}})$
    - $\frac{1}{\sqrt{n+k}+\sqrt{n}}=\frac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})$
  - 一些数列
    - 平方、立方数列
      - $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$
        $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
        $1\times2+2\times3+3\times4+\cdots+n(n+1)$
        $S_n$
      - $1^3+2^3+\cdots+n^3$
        $S_n=[\frac{n(n+1)}{2}]^2=(1+2+3+\cdots+n)^2$
- 微积分
  - 牛顿莱布尼茨公式： $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$
    - sinx一个拱的面积是2
      - $\int_0^{\pi}\sin xdx =2$
      - $\int_\frac{\pi}{4}^{\frac{3\pi}{4}}\sin xdx =\sqrt{2}$
  - f(x)微分和积分奇偶性互换，微积分后周期性不变
    - 注意积分是0下限的
  - $函数y=f(x) 反函数x=f^{-1}(y)$
- some tips
  - $(1+x)^n\approx 1+nx (当x \ll 1)$
  - 二元一次方程组 $\left\{ \begin{aligned} Ax+By+C=0 \\ Dx+Ey+F=0 \end{aligned} \right.$ 解的情况
    - 当 $\frac{A}{D}\neq\frac{B}{E}$ 时，方程组有唯一一组解
    - 当 $\frac{A}{D}= \frac{B}{E} = \frac{C}{F}$ 时，方程组有无数组解
    - 当 $\frac{A}{D}= \frac{B}{E} \neq \frac{C}{F}$ 时，方程组无解
  - 比例的性质
    - 基本性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ，那么ad=bc
    - 合比性质：如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ，那么 $\frac{a \pm b}{b}=\frac{c \pm d}{d}$
    - 等比性质：若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}(b+d+\cdots+n\neq 0)$ ，则 $\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}{b}$
  - 因式分解
    - 杨辉三角
    - $(a+b)^n$
      - $(x+\frac{1}{x})^n$
        $(x+\frac{1}{x})^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$
        $(x+\frac{1}{x})^3=x^3+3x+3\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}$
    - 立方和差公式
      - $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
      - $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
    - $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$
    - 二项式定理
- 一元函数微分学
  - 导数定义： $\frac{函数的增量}{自变量的增量}$ $= {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{ \Delta y}{ \Delta x}} }$ 存在 $\Longrightarrow$ 可导
    $\Longrightarrow$ $记f'(x_0)= {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} } = {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} }$ $= {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} }$ ——（瞬时）变化率
    - 拉格朗日 $f'(x_0),y'|_{x=x_0}$
      莱布尼兹 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$
      - $三个说法：F(x)在x=x_0处可导\Longleftrightarrow F'(x_0)存在 \Longleftrightarrow F'(x)在x=x_0存在$
    - ①换元
      - $x_0+\Delta x=x$
        广义化： $f'(x_0)= {\displaystyle \lim_{狗 \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+狗)-f(x_0)}{狗}} } = {\displaystyle \lim_{狗 \rightarrow x_0}{\frac{f(狗)-f(x_0)}{狗-x_0}} }$
    - ②可导的充要条件：左导数=右导数=存在
      - 左导数 $f'_-(x_0)= {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} }$
        右导数 $f'_+(x_0)= {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0^+}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} }$
        无穷导数视为不存在
    - 高阶导数： $f^{(n)}(x_0)= {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x}} }$
    - 考点
      先看定义法，定义法最多
      再想公式
      - 抽象f(x)在一点的导数
        题目关键词：一点
        泛指x
        特指 $x_0$
      - 分段函数在分段点
        常见绝对值函数
        $f(x)在x=a处可导，$
      - 四则运算不方便的
        太复杂的点
        $f=f_1+f_2$
        
        $f=f_1f_2\cdots f_n$
        
        不成立的点
  - 可微概念： $\Delta y = A \Delta x+o(\Delta x)，A与\Delta x 无关，o(\Delta x)是\Delta x\rightarrow 0时的高阶无穷小$
    - 微分记为 $dy|_{x=x_0}=df(x)|_{x=x_0}=A\Delta x=Adx$
      - 注意
        $dx^2=(dx)^2=dx\cdot dx$
        $d(x^2)=2x\cdot dx$
        $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}$
    - 判别
      - ① $写增量\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
      - ② $写线性增量A\Delta x =f'(x_0)\Delta x$
      - ③ $作极限 {\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}} } \stackrel{?}{=}0 \Longrightarrow f(x)在x_0处可微$
    - 含义：用简单的 $A\Delta x$ 替代了复杂的 $\Delta y$ ,并且误差还可以忽略不计
    - 几何意义： $若f(x)在点x_0处可微，则在点(x_0,y_0)附近可以用切线段近似替代曲线段$
    - 仅对一元函数： $x_0$ 处可微与可导互为充要条件
  - 运算
    - 四则
      - 和差
        $[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$
        $d[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x)$
      - 积
        $[u(x)v(x)]'=前导后+后导前=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
        $d[u(x)v(x)]=du(x)v(x)+u(x)dv(x)$
        $[u(x)v(x)w(x)]'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)$
        遇到因式超过三个的一般不要直接求导，用其他方法
      - 商
        $[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v^(x)]^2}$ $=\frac{子导母-母导子}{母方}$
      - 逆向应用
        $f'(x)+f(x)　\longleftarrow　g(x)=e^xf(x)　g'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]$
        $f'(x)-f(x)　\longleftarrow　g(x)=e^{-x}f(x)　g'(x)=e^{-x}[f'(x)-f(x)]$
        $xf'(x)+f(x)　\longleftarrow　g(x)=xf(x)　g'(x)=xf'(x)+f(x)$
        $xf'(x)-f(x)　\longleftarrow　g(x)=x^{-1}f(x)　g'(x)=x^{-2}[xf'(x)-f(x)]$
    - 复合
      - $\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$ =内导乘外导
        $微分形式的不变性dy=f'(u)du$
        $d\{f[g(x)]\}=f'[g(x)]g'(x)dx$
        注意看清楚符号的位置
        $\{f[g(x)]\}'=\frac{d{f[g(x)]}}{dx}$
        $f'[g(x)]=\frac{d\{f[g(x)]\}}{dg(x)}$
      - 内可导和外可导只是复合函数可导的充分条件，不是必要条件
    - 反函数
      - 一阶
        $y=f(x)与x= φ (y)互为反函数$
        $y'_x=$ $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
        $=\frac{1}{x'_y}$
      - 二阶
        $y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x'_y}=\frac{-x''_{yy}}{(x'_y)^3}$
    - 参数方程
      - 一阶
        $y=y(x)=\begin{cases} y= α (t)\\ x= β (t) \end{cases}$
        $y'_x=$ $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{ α '(t)}{ β '(t)}$
        $若 α (t),\beta(t)不可导，则用导数定义处理$
      - 二阶
        $y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt}=\frac{ α ''(t) β '(t)- α '(t) β ''(t)}{[ β '(t)]^3}$
    - 隐函数
      - $y=y(x)是由方程F(x,y)=0确定的可导函数$
        $方程F(x,y)=0两边对自变量x求导，注意y=y(x),也就是将y看做中间变量，得到一个关于y'的方程，解出这个y'$
    - 对数
      - 对于多项相乘、相除、开放、乘方的式子，先取对数再求导
        $①y=f(x)\Longrightarrow \ln y=\ln f(x)$
        $② (\ln y)'=(\ln f(x))'\Longrightarrow \frac{1}{y}y'=[\ln f(x)]\Longrightarrow y'=y[\ln f(x)]'$
        注意仍然把y看成中间变量
    - 幂指
      - $对于u(x)^{v(x)}，除了导数法，还可以转换幂指再求导$ $①u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$
        $[u(x)^{v(x)}]'=[e^{v(x)\ln u(x)}]'=u(x)^{v(x)}[v'(x)\cdot\ln u(x)+v(x)\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}]$
    - 高阶
      - 逐次求导，寻找规律
        注意适当化简因式分解
        
        $(\sin k x)^{(n)}=k^n \sin (kx+n\cdot \frac{ π }{2})$
        $(\cos k x)^{(n)}=k^n \cos (kx+n\cdot \frac{ π }{2})$
        $(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$
        $(e^x)^{(n)}=e^x$
        $(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$
        $[\ln (1+x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$
        $[(x+x_0)^m]^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(x+x_0)^{m-n}$
        $(\frac{1}{x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}$
      - 高阶求导公式
        $[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
        莱布尼兹公式： $(uv)^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}+\cdots+uv^{(n)}$ $(uv)^{(3)}=u^{(3)}v+3u^{(2)}v'+3u'v^{(2)}+uv^{(3)}$
        $(uv)^{(4)}=u^{(4)}v+4u^{(3)}v'+6u''v''+4u'v^{(3)}+uv^{(4)}$ 杨辉三角
      - 与泰勒展开式比较系数
        1-任何一个无穷可导的函数都可以写成 $y=f(x)= {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n} }$
        2-写出f(x)的泰勒展开式
        3-比较相同幂次的系数，根据函数展开式的唯一性，两个系数相同
    - 变限积分
      - $F(x)= \int_ {φ _1(x)}^{φ _2(x)}f(t)dt$
        $F'(x)= \frac{d}{dx}[\int_ {φ _1(x)}^{φ _2(x)}f(t)dt ]=f[φ _2(x)]φ' _2(x)-f[φ _1(x)]φ' _1(x)$
  - 基本初等函数的导数
    - $(x^ α )'= α x^{ α -1}$
    - $(a^x)'=a^x\ln a$
      - $(e^x)'=e^x$
        $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$
        $(\ln x)'=\frac{1}{x}$
        $(\ln |x|)'=\frac{1}{x}$
    - $(\sin x)'=\cos x$
      - $(\cos x)'=-\sin x$
        $(\tan x)'=\sec^2x$
        $(\cot x)'=-\csc^2x$
        $(\sec x)'=\sec x \tan x$
        $(\csc x)'=-\csc x \cot x$
    - $(\ln |\cos x|)'=-tan x$
    - $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
      - $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
        $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
        $(\textrm{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
    - $[\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$
      - $[\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$
        x>a
  - 几何应用
    - 作函数图像
      - ①确定定义域
      - ②奇偶性、对称性
      - ③求 $f'(x)和f''(x)$
        $f(x)$ 的无定义点
        $f'(x)=0$ 的点
        $f'(x)不存在的点$
        $f''(x)=0的点$
        $f''(x)不存在的点$
      - ④把以上点将定义域划分区域段，判断区域段内的单调性和凹凸性
        确定极值点和拐点
      - ⑤确定渐进线
      - ⑥作图
    - 研究对象与内容
      - 研究对象
        祖孙三代
        $函数f(x),函数簇f_n(x),简单函数四则运算f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$
        $f'(x),、\frac{df(x)}{dx^2}=\frac{1}{2x}f'(x)$
        $\int_a^xf(t)dt$
        $\sum_{}^{}{a_nx^n}$
        分段函数（含绝对值函数，符号sgn函数，取整函数）
        参数方程 $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$ ，极坐标系 $r=r( θ ) =\begin{cases} x=r\cos θ=r( θ )\cos θ =x (θ) \\ y=r\sin θ=r( θ ) \sin θ =y( θ ) \end{cases}$
        一阶
        $y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=f(t)$
        二阶
        $y''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(f(t))/dt}{dx/dt}$
        隐函数F(x,y)=0
      - 研究内容
        三点两性一线
        斜率 $y=y(x)\Longrightarrow y'(x_0)=k$
        $切线方程：y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)$
        $法线方程：y-y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)(f'(x_0) \ne 0)$
        单调性和极值点
        单调性
        $f'(x)>0 \Longrightarrow 单增,f'(x)<0 \Longrightarrow 单减$
        极值与最值 $f(x_0)$
        极值点与最值点 $x_0$
        极值
        广义：若存在 $x_0$ 的某个领域，使得在该领域内任意一点x，均有 $f(x)\leqq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的广义极大值点
        真：若存在 $x_0$ 的某个去心领域，使得在该领域内任意异于 $x_0$ 的x，均有 $f(x)\leqq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的真正的极大值点
        最值
        广义： $x_0$ 的定义域内一点，对于定义域内的任意一点x，均有 $f(x)\leqq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的广义最大值点
        真： $x_0$ 的定义域内一点，对于定义域内的任意异于 $x_0$ 的x，均有 $f(x)\leqq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的广义最大值点
        关系
        极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点
        如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有最值点 $x_0$ ，并且此最值点 $x_0$ 不是区间 $I$ 的端点，而是内部的点，那么必是 $f(x)$ 的一个极值点
        定理
        必要条件
        $x_0是极值点\Longrightarrow f'(x_0)=0$
        $x_0称为驻点$
        求出来驻点，只能作为待定，运用充分条件再去判断
        第一充分条件
        $f(x)在x_0处连续，在去心邻域\mathring{U}(x_0, δ )内可导,f'(x)在x_0左右符号不同\Longrightarrow 极值$ ，左<0右>0极小，左>0右<0极大
        第二充分条件
        $f(x)在x_0处二阶可导,f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0$
        $f''(x_0)<0 \Longrightarrow 极大值，f''(x_0)>0 \Longrightarrow 极小值$
        第三充分条件
        $f(x)在x_0处n阶可导，f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq 0(n\geqq2)$
        n为偶数 $\Longrightarrow$
        $f^{(n)}(x_0)<0\Longrightarrow 极大,f^{(n)}(x_0)>0\Longrightarrow 极小$
        导数法求函数最值：①求导数 ②求根（因式分解） ③穿根（奇穿偶不穿） ④作图
        凹凸性与拐点
        充分条件
        $f''(x)>0\Longrightarrow 凹,f''(x)<0\Longrightarrow 凸$
        $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}>f(\frac{x_1+x_2}{2})\Longrightarrow 凹$ ， $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}<f(\frac{x_1+x_2}{2})\Longrightarrow 凸$
        拐点 $(x_0,f(x_0))$
        必要条件
        $x_0为拐点\Longrightarrow f''(x_0)=0$
        第一充分条件
        $f''(x)在x_0左右变号\Longrightarrow x_0拐点$
        并不要求 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数存在
        第二充分条件
        $三阶可导，f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq0\Longrightarrow 拐点$
        第三充分条件
        $f(x)在x_0处n阶可导，f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq 0(n\geqq2)$
        n为奇数 $\Longrightarrow$
        $x_0为拐点$
        不需要 $f'(x_0)=0$ 这个条件
        渐近线
        水平
        $若\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)}=y_0,则y=y_0为一条水平渐近线$
        看 $\pm \infty$
        铅直
        $若\displaystyle{\lim_{x\to x^+_0}f(x)}=\infty (或x \to x_0^-),则x=x_0为一条铅直渐近线$
        找无定义点或者端点
        斜
        若① $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}}=k$ $\neq 0$ ,② $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-kx]}=b$ ，则y=kx+b是曲线fy=f(x)的一条斜渐近线
        注意看x是一次的，所以上面的f(x)也必须是x的同阶的
        值域最值点
        闭区间[a,b]内
        ①驻点和不可导点的函数值
        ②端点的函数值f(a)和f(b)
        ③比较以上各值
        开区间(a,b)内
        ①驻点和不可导点的函数值
        ②求端点的单侧极限 $\displaystyle{\lim_{x\to a^+}f(x)}和\displaystyle{\lim_{x\to b^-}f(x)}$
        ③比较以上各值
        高阶导数
      - 研究对象和研究内容任意组合
        函数簇 $f_n(x)$ +斜率
        
        和函数 $\sum_{}^{}{a_nx^n}$ +单调性、极值点
        
        参数方程+凹凸性、拐点
        
        复杂 $f(x)$ +渐近线
        
        隐函数+极值
        
        综合

我的数学

​向量

​平面向量

∣∣a→∣−∣b→∣∣≤∣a→±b→∣≤∣a→∣+∣b→∣||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq|\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|∣∣a∣−∣b∣∣ ≤ ∣a±b∣ ≤ ∣a∣+∣b∣

​a,b同向

​ ∣a→+b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|∣a+b∣=∣a∣+∣b∣

​ ∣a→+b→∣=∣∣a→∣−∣b→∣∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||∣a+b∣=∣∣a∣−∣b∣∣

​a,b反向

​ ∣a→+b→∣=∣∣a→∣−∣b→∣∣|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||∣a+b∣=∣∣a∣−∣b∣∣

​ ∣a→−b→∣=∣a→∣+∣b→∣|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|∣a−b∣=∣a∣+∣b∣

​减法

​共起点

​尾尾相接

​指向被减

数量积

​ a→⋅b→=∣a∣⋅∣b∣cos⁡θ\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|a|\cdot|b|\cos\thetaa⋅b=∣a∣⋅∣b∣cosθ

​ a→⊥b→⟺a→⋅b→=0\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0a⊥b⟺a⋅b=0

a→⋅b→=同向∣a∣∣b∣,a→⋅b→=异向−∣a∣∣b∣,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{同向}{=}|a||b|,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{异向}{=}-|a||b|,a⋅b=同向∣a∣∣b∣,a⋅b=异向−∣a∣∣b∣

​ a→⋅a→=∣a∣2,∣a∣=a→⋅a→\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|a|^2,|a|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}a⋅a=∣a∣2,∣a∣=a⋅a​

​ cos⁡θ=a→⋅b→∣a∣∣b∣\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​

​ ∣a→⋅b→∣≦∣a→∣∣b→∣|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leqq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|∣a⋅b∣≦∣a∣∣b∣

几何意义： ∣a∣与b→在a→方向上投影∣b∣cos⁡θ的乘积|a|与\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}方向上投影|b|\cos\theta的乘积∣a∣与b在a方向上投影∣b∣cosθ的乘积

​结果是个数量，不是向量

坐标运算 a→+b→=(x1+x2,y1+y2),a→−b→=(x1−x2,y1−y2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)

​ A(x1,y1),B(x2,y2)→AB→=(x2−x1,y2−y1)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\rightarrow\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)→AB=(x2​−x1​,y2​−y1​)

​ a→+b→=(x1+x2,y1+y2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)a+b=(x1​+x2​,y1​+y2​)

a→−b→=(x1−x2,y1−y2)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)a−b=(x1​−x2​,y1​−y2​)

​ λa→=(λx1,λx2)\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)λa=(λx1​,λx2​)

​ a→⋅b→=x1x2+y1y2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2a⋅b=x1​x2​+y1​y2​

​ ∣a∣=x12+y12|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}∣a∣=x12​+y12​​

​ cos⁡θ=a→⋅b→∣a∣∣b∣=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​=x12​+y12​​⋅x22​+y22​​x1​x2​+y1​y2​​

​ a→⊥b→⟺x1x2+y1y2=0\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0a⊥b⟺x1​x2​+y1​y2​=0

​ a→//b→⟺x1y2−x2y1=0\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0a//b⟺x1​y2​−x2​y1​=0

​ (x1,y1)=λ(x2,y2)(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)(x1​,y1​)=λ(x2​,y2​)

​ x1y1=x2y2\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}y1​x1​​=y2​x2​​

​三角形内

​中线

​ AD→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})AD=21​(AB+AC)

重心： AG→=23AD→\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A D}AG=32​AD

角分线

​ AC→∣AC∣+AB→∣AB∣=λAX→\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}= λ \overrightarrow{AX}∣AC∣AC​+∣AB∣AB​=λAX

集合

三个特点：确定性，互异性，无序性

​ a∈Aa\in Aa∈A a∈/ Aa \notin Aa∈/​A

​常用集合

​非负整数集合N {0,1,2,3,4...}

​正整数集合 N+N^+N+ 或 N∗N^*N∗ {1,2,3,4...}

​整数集合Z {0,1,-1,2,-2...}

​有理数集合Q {x∣x=pq,p,q∈Z}\{x|x=\frac{p}{q},p,q\in Z\}{x∣x=qp​,p,q∈Z}

​实数集合R {x|数轴上点的坐标}

​全集U

​子集 A⊂BA\subset BA⊂B

​若 A⊂BA \subset BA⊂B 且 B⊂AB \subset AB⊂A， 则A=B

​若 A⊂bA \subset b A⊂BA \subset BA⊂B 且 A̸=BA \neq BA̸=B ，则A真包含于B， A⫋BA \subsetneqq BA⫋B

​有n个元素的合集 {a1,a2,a3...an}\{a_1,a_2,a_3...a_n\}{a1​,a2​,a3​...an​} ,子集的个数为 2n2^n2n 个，真子集的个数为 2n−12^n -12n−1 个,非空真子集的个数为 2n−22^n-22n−2 个

​补集 ∁UA\complement_U A∁U​A

​ ∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB；∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB\complement_U (A\cap B)=\complement_U A \cup \complement_U B；\complement_U (A\cup B)=\complement_U A \cap \complement_U B∁U​(A∩B)=∁U​A∪∁U​B；∁U​(A∪B)=∁U​A∩∁U​B

​ A×B‾=A‾+B‾；A+B‾=A‾⋅B‾\overline{A\times B}=\overline{A}+\overline{B}；\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}A×B​=A+B；A+B​=A⋅B

​若A=B，则 ∁UA=∁UB\complement_U A = \complement_U B∁U​A=∁U​B ，反之也成立

​Card(S):S的元素个数

​ Card(A∪B)=CardA+CardB−Card(A∩B)Card(A\cup B)=Card A + Card B - Card(A\cap B)Card(A∪B)=CardA+CardB−Card(A∩B)

排列组合

​排列

​ Anm=n!(n−m)!A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}Anm​=(n−m)!n!​

​组合

​ Cnm=n!m!(n−m)!C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}Cnm​=m!(n−m)!n!​

​函数

​有界性

​ f′(x)在(a,b)有界⟺f(x)在(a,b)有界f'(x)在(a,b)有界\Longleftrightarrow f(x)在(a,b)有界f′(x)在(a,b)有界⟺f(x)在(a,b)有界

​单调性

x1>x2且f(x1)>f(x2)⟹增；x1>x2且f(x1)<f(x2)⟹减x_1>x_2且f(x_1)>f(x_2)\Longrightarrow增； x_1>x_2且f(x_1)<f(x_2)\Longrightarrow减x1​>x2​且f(x1​)>f(x2​)⟹增；x1​>x2​且f(x1​)<f(x2​)⟹减

​ f(x)增⟺(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0f(x)增\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0f(x)增⟺(x1​−x2​)(f(x1​)−f(x2​))>0 f(x)减⟺(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0f(x)减\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0f(x)减⟺(x1​−x2​)(f(x1​)−f(x2​))<0

​函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性

​k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同 k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反

​若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与 1f(x)\frac{1}{f(x)}f(x)1​ 具有相反的单调性

​若f(x),g(x)都是增函数(减)，则f(x)+g(x)是增函数(减)

​若f(x),g(x)都是增函数(减)，则 f(x)⋅g(x)f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x) 当两者都恒大于零时，是增函数(减)；当两者都恒小于零时，是减函数(增)

​复合函数y=f(g(x))：同增异减

​奇偶性

​奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)

向量

平面向量

$||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq|\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

a,b同向

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$

a,b反向

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$

减法

共起点

尾尾相接

指向被减

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|a|\cdot|b|\cos\theta$

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{同向}{=}|a||b|,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{异向}{=}-|a||b|,$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|a|^2,|a|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$

$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}$

$|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leqq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$

几何意义： $|a|与\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}方向上投影|b|\cos\theta的乘积$

结果是个数量，不是向量

坐标运算 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\rightarrow\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$

$|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$

$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$

$(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)$

$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$

三角形内

中线

$\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$

重心： $\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A D}$

$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}= λ \overrightarrow{AX}$

$a\in A$ $a \notin A$

常用集合

非负整数集合N {0,1,2,3,4...}

正整数集合 $N^+$ 或 $N^*$ {1,2,3,4...}

整数集合Z {0,1,-1,2,-2...}

有理数集合Q $\{x|x=\frac{p}{q},p,q\in Z\}$

实数集合R {x|数轴上点的坐标}

全集U

子集 $A\subset B$

若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$ 则A=B

若 $A \subset b$ $A \subset B$ 且 $A \neq B$ ，则A真包含于B， $A \subsetneqq B$

有n个元素的合集 $\{a_1,a_2,a_3...a_n\}$ ,子集的个数为 $2^n$ 个，真子集的个数为 $2^n -1$ 个,非空真子集的个数为 $2^n-2$ 个

补集 $\complement_U A$

$\complement_U (A\cap B)=\complement_U A \cup \complement_U B；\complement_U (A\cup B)=\complement_U A \cap \complement_U B$

$\overline{A\times B}=\overline{A}+\overline{B}；\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$

若A=B，则 $\complement_U A = \complement_U B$ ，反之也成立

Card(S):S的元素个数

$Card(A\cup B)=Card A + Card B - Card(A\cap B)$

排列

$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

组合

$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

函数

有界性

$f'(x)在(a,b)有界\Longleftrightarrow f(x)在(a,b)有界$

单调性

$x_1>x_2且f(x_1)>f(x_2)\Longrightarrow增； x_1>x_2且f(x_1)<f(x_2)\Longrightarrow减$

$f(x)增\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$
$f(x)减\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0$

函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性

k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同
k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反

若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与 $\frac{1}{f(x)}$ 具有相反的单调性

若f(x),g(x)都是增函数(减)，则f(x)+g(x)是增函数(减)

若f(x),g(x)都是增函数(减)，则 $f(x)\cdot g(x)$ 当两者都恒大于零时，是增函数(减)；当两者都恒小于零时，是减函数(增)

复合函数y=f(g(x))：同增异减

奇偶性

奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)

奇函数f(x)如果在原点有定义，则f(0)=0；
若一个函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0

四则运算

奇 $\pm$ 奇=奇，偶 $\pm$ 偶=偶

奇x/奇=偶，偶x/偶=偶

奇x/偶=奇

复合