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我的数学
向量
平面向量
a,b同向
a,b反向
减法
共起点
尾尾相接
指向被减
数量积
几何意义:
结果是个数量,不是向量
坐标运算
三角形内
中线
重心:
角分线
集合
三个特点:确定性,互异性,无序性
常用集合
非负整数集合N {0,1,2,3,4...}
正整数集合 或 {1,2,3,4...}
整数集合Z {0,1,-1,2,-2...}
有理数集合Q
实数集合R {x|数轴上点的坐标}
全集U
子集
若 且 则A=B
若 且 ,则A真包含于B,
有n个元素的合集 ,子集的个数为 个,真子集的个数为 个,非空真子集的个数为 个
补集
若A=B,则 ,反之也成立
Card(S):S的元素个数
排列组合
排列
组合
函数
有界性
单调性
函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性
k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同
k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反
若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与 具有相反的单调性
若f(x),g(x)都是增函数(减),则f(x)+g(x)是增函数(减)
若f(x),g(x)都是增函数(减),则 当两者都恒大于零时,是增函数(减);当两者都恒小于零时,是减函数(增)
复合函数y=f(g(x)):同增异减
奇偶性
奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)
奇函数f(x)如果在原点有定义,则f(0)=0;
若一个函数既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0
四则运算
奇 奇=奇,偶 偶=偶
奇x/奇=偶,偶x/偶=偶
奇x/偶=奇
复合
奇【偶】=偶,偶【奇】=偶,偶【偶】=偶,非【偶】=偶
奇【奇】=奇
若f(x)为偶函数,则
多项式 的奇偶性:
只有奇次幂,f(x)为奇函数
只有偶次幂,f(x)为偶函数
有奇有偶次幂,f(x)非奇非偶
二次函数 若为偶函数 b=0
的一般方法:
※
对称性(自变量的和为常数)
对称轴为
对称中心为
周期性(自变量的差为常数)
函数周期性、奇偶性、对称轴的关系
凹凸性(分大下凸)
部分初等函数
指数函数
基本性质
对数函数
基本性质
换底公式:
some special
奇函数!!!
绝对值
幂函数
形如 的图像,第一象限均类似,根据奇偶性判断二三象限的图像
一元二次方程
:正有两个解,负无实数解,=0有一个解
韦达定理
二次函数
对称轴:
最值:
a,b同号,双钩
a,b异号,双撇
三角函数
性质
同角三角函数
三角函数六边形
诱导公式(任意角 锐角,奇变偶不变、符号看原来这个函数的象限)
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
函数 的特征
两角和差的正弦、余弦、正切公式
倍角公式
升降幂公式
半角公式
万能公式
和差化积
积化和差
辅助角公式
,其中 满足
特殊锐角三角函数
分角的一个办法
部分图像
cot(x)
sec(x)
csc(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arccot(x)
符号函数
取整函数—向左取整
n为正整数
T=1
阶乘
双阶乘
几何
直线
直线点斜式
三角形
大边对大角,小边对小角
构成条件
可构成三角形:
直角:
锐角:
钝角:
正余弦定理
正弦定理
(外接圆半径)
余弦定理
面积S
六心
内心
内切圆圆心
角分线交点
到三边等距
外心
外接圆圆心
中垂线交点
到三顶点等距
重心
中线交点
分中线2:1(重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1)
(在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均)
到三个顶点距离平方和最小
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
垂心
三条垂线交点
中心
正三角形四心重合
旁心
角分线,外角分线的交点
到三边等距
多边形
一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线,所有对角线的数量是
n边形内角和等于
多边形的外角和恒等于 ,与边数n无关
正n边形的每个内角等于 ,每个外角等于
梯形面积:(上底+下底)X高/2
圆
扇形
圆心角
扇形弧长公式:
圆锥
体积=同底等高圆柱的
极限
数列极限
定义——
数列 ,子列
子列极限相同:
判断发散的方法
两个子列极限不同
注意这里是任意子列收敛于相同的极限才可以反推回去
极限的存在,不考虑前有限项极限的情况,着重考虑极限时情况是怎么样的
构造
放缩法
寻找一个已知的极限形式
阿格朗日法
中值定理
收敛数列性质
唯一性
存在,则a唯一
有界性
存在 有界
表述方法:
找界:找常数的界,不能带n,数列的首项也可以
保号性
保号性:
(w是个数字)
运算法则
公比小于1的等比数列前n项和的极限,
极限存在准则
注意:
推论:
考法
无穷项相加
注意是i,不是n
老大老小合力才行
有限项相加
老大说了算
有提示
题目中第一问给出提示 ,第二问求极限
不验等号
※单调有界数列必有极限
①
数学归纳法
①代入n=1时证明成立
②设
③证明
④则当n为全体自然数时,结论成立
※不等式
或许有提示
②上下界
考点
①恒等变形求极限
变换后累加累乘用等比数列的公式再求极限
递归
②单调有界准则
先证单调,再找界
题目中有字眼:证明极限存在并求之,呵呵
③定义法
一般目标明确才用,a已知或者很明显
这个题中,能猜出极限pi,但是如何去构造pi,tan x =0
①放缩
注意:题目中定义域a<n<b,也是放缩!!!
②拉格朗日中值定理
④夹逼准则
求xxx,很直接
放缩型①:
动分子不行动分母
⑤定积分定义
变量型:
放缩型②:放缩后再凑
函数极限
领域定义
开区间
一维:
二维:
函数极限定义
性质
唯一性
注意:
局部有界性(仅是充分条件,非必要条件)
有界函数与有界函数的和、差、积也有界
局部保号性
无穷大、小
小
大
关系
,反之亦然
无穷小比阶
高阶
等价
常用等价无穷小
导数:
导数:
导数:
导数:
导数:
并不是任意两个无穷小都可以比阶
,
无穷小运算规则
m,n正整数
有限个无穷小的和是无穷小
有限个无穷小的乘积是无穷小
有界函数与无穷小的乘积是无穷小
加减法——低阶吸收高阶
乘法——阶数累加
非零常数不影响
存在的充要条件
左右极限存在且相等
脱帽法
运算规则
前提是各自都存在!!!
存在准则——夹逼准则
放缩
注意:题目中给的定义域,a<x<b也是放缩!!!
的计算——洛必达法则
不是 不能用
也不一定存在
此时洛必达失效,但是不能证明原式极限不存在
右存在,左存在
左存在,右不一定
一直洛
函数极限与数列极限——海涅定理
存在的充要条件是:取 定义域内的任意数列{ }, ,且 不等于 ,有
x数列化后,f(x)与f(xn)极限相同
数列
some lim
※泰勒展开式
任何可导
主部——第一项
展开原则
展开到几阶?
型
上下同阶
A-B型
幂次最低
将A,B分别展开至系数 不相等的x的最低次幂为止
考点
求极限
七种未定型
设置分母的原则,简单因式才下放:
复杂:
幂指
题型
1.比阶题
2.反问题,反求参数
3.已知某一极限,求另一极限
直接把f(x)求出来
寻找两个极限之间的关系
形式
——差函数
——导函数
——积分
洛必达
方法
恒等变形—化简
++--**//
上下同除x
n=1+1+1+...+1(n个)
换元
公式
裂项向消
对幂的处理
ln
除一下,统一到一个带幂函数
a^n-b^n因式分解
等价无穷小替换(主部)
洛必达
泰勒公式
夹逼准则
当常规的洛必达、泰勒等不行的时候
单调有界准则
综合
不等式
性质
线性规划
直线
>0 右侧
<0 左侧
圆,圆心(a,b)
过(x,y)和(a,b)直线的斜率
一些常用
均值不等式
调和平均数
几何平均数
算术平均数
平方平均数
变形
条件:一正 二定 三相等
①a,b两数都是正数
②ab乘积必须是定值,不能有变量ab
③两数能相等a=b
积定和最小,和定积最大
两正数,和一定,越接近,积越大
两正数,积一定,越接近,和越小
绝对值不等式
连续
定义——极限与值相等
表达方法1:
表达方法2:
※
间断点
第一类
可去
跳跃
第二类
无穷
振荡
例如 在0处振荡
数列
求 通项
已知递推项
①化简(因式分解)
解C
②直接展开
③同形异角(辅助数列)
④转化为同形异角
⑤找规律
求首项( )
求递推
解递推
等差数列
通项公式:
距离首末两项等距的两项和相等,
连续等长片段和仍是等差:
??公差
对称设项方法
n为奇数
设成:a-d,a,a+d
n为偶数
设成:a-2d,a-d,a+d,a+2d
证明方法
公差d常数
通项公式
等差中项:
前n项和:
前n项和
前n个奇数的和是
按项数分类情况
项数为偶2n
项数为奇2n-1
等比数列
通项公式:
,否则不成立
距离首末两项等距的两项积相等,
连续相邻k项
和:等比公比
积:等比公比
对称设项方法
如果为奇数个项数,则可以设
但是如果是四个,不要设 ,因为此时公比 恒正,漏解
证明方法
公比q常数
前n项和:
按项数分类情况
项数为偶2n
项数为奇2n+1
差比互换
中项
若m+n=i+j
错位相减-差比数列
裂项相消
一些数列
平方、立方数列
微积分
sinx一个拱的面积是2
f(x)微分和积分奇偶性互换,微积分后周期性不变
注意积分是0下限的
some tips
二元一次方程组 解的情况
当 时,方程组有唯一一组解
当 时,方程组有无数组解
当 时,方程组无解
比例的性质
基本性质:如果 ,那么ad=bc
合比性质:如果 ,那么
等比性质:若 ,则
因式分解
杨辉三角
立方和差公式
二项式定理
一元函数微分学
导数定义: 存在 可导
——(瞬时)变化率
拉格朗日
莱布尼兹
①换元
广义化:
②可导的充要条件:左导数=右导数=存在
左导数
右导数
无穷导数视为不存在
高阶导数:
考点
先看定义法,定义法最多
再想公式
抽象f(x)在一点的导数
题目关键词:一点
泛指x
特指
分段函数在分段点
常见绝对值函数
四则运算不方便的
太复杂的点
不成立的点
可微概念:
微分记为
注意
判别
①
②
③
含义:用简单的
几何意义:
仅对一元函数:
运算
四则
和差
积
遇到因式超过三个的一般不要直接求导,用其他方法
商
逆向应用
复合
注意看清楚符号的位置
内可导和外可导只是复合函数可导的充分条件,不是必要条件
反函数
一阶
二阶
参数方程
一阶
二阶
隐函数
对数
对于多项相乘、相除、开放、乘方的式子,先取对数再求导
注意仍然把y看成中间变量
幂指
高阶
逐次求导,寻找规律
注意适当化简因式分解
高阶求导公式
莱布尼兹公式:
与泰勒展开式比较系数
1-任何一个无穷可导的函数都可以写成
2-写出f(x)的泰勒展开式
3-比较相同幂次的系数,根据函数展开式的唯一性,两个系数相同
变限积分
基本初等函数的导数
x>a
几何应用
作函数图像
①确定定义域
②奇偶性、对称性
③求
④把以上点将定义域划分区域段,判断区域段内的单调性和凹凸性
确定极值点和拐点
⑤确定渐进线
⑥作图
研究对象与内容
研究对象
祖孙三代
分段函数(含绝对值函数,符号sgn函数,取整函数)
参数方程
一阶
二阶
隐函数F(x,y)=0
研究内容
三点两性一线
斜率
单调性和极值点
单调性
极值与最值
极值点与最值点
极值
广义:若存在
真:若存在
最值
广义:
真:
关系
极值点不一定是最值点,最值点也不一定是极值点
如果
定理
必要条件
求出来驻点,只能作为待定,运用充分条件再去判断
第一充分条件
第二充分条件
第三充分条件
n为偶数
导数法求函数最值:①求导数 ②求根(因式分解) ③穿根(奇穿偶不穿) ④作图
凹凸性与拐点
充分条件
拐点
必要条件
第一充分条件
并不要求
第二充分条件
第三充分条件
n为奇数
不需要
渐近线
水平
看
铅直
找无定义点或者端点
斜
若①
注意看x是一次的,所以上面的f(x)也必须是x的同阶的
值域最值点
闭区间[a,b]内
①驻点和不可导点的函数值
②端点的函数值f(a)和f(b)
③比较以上各值
开区间(a,b)内
①驻点和不可导点的函数值
②求端点的单侧极限
③比较以上各值
高阶导数
研究对象和研究内容任意组合
函数簇
和函数
参数方程+凹凸性、拐点
复杂
隐函数+极值
综合