我的数学

• ​向量

  • ​平面向量

    •  $||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||\leq|\overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ 

      • ​a,b同向

        • ​ $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ 

        • ​ $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$ 

      • ​a,b反向

        • ​ $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=||\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}||$ 

        • ​ $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$ 

    • ​减法

      • ​共起点

        • ​尾尾相接

          • ​指向被减

    • 数量积

      • ​ $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|a|\cdot|b|\cos\theta$ 

        • ​ $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$ 

        •  $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{同向}{=}|a||b|,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\stackrel{异向}{=}-|a||b|,$

          • ​ $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|a|^2,|a|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}$ 

        • ​ $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}$ 

        • ​ $|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leqq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ 

      • 几何意义： $|a|与\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}方向上投影|b|\cos\theta的乘积$ 

      • ​结果是个数量，不是向量

    • 坐标运算 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

      • ​ $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\rightarrow\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ 

      • ​ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ 

      •  $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

      • ​ $\lambda\overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda x_2)$ 

      • ​ $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2$ 

        • ​ $|a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ 

          • ​ $\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|a||b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$ 

        • ​ $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$ 

        • ​ $\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Longleftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$ 

          • ​ $(x_1,y_1)=\lambda(x_2,y_2)$ 

          • ​ $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ 

    • ​三角形内

      • ​中线

        • ​ $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$ 

        • 重心： $\overrightarrow{A G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A D}$ 

      • 角分线

        • ​ $\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}= λ \overrightarrow{AX}$ 

• 集合

  • 三个特点：确定性，互异性，无序性
    

  • ​ $a\in A$  $a \notin A$ 

  • ​常用集合

    • ​非负整数集合N {0,1,2,3,4...}

    • ​正整数集合 $N^+$ 或 $N^*$  {1,2,3,4...}

    • ​整数集合Z {0,1,-1,2,-2...}

    • ​有理数集合Q  $\{x|x=\frac{p}{q},p,q\in Z\}$ 

    • ​实数集合R {x|数轴上点的坐标}

    • ​全集U

  • ​子集 $A\subset B$ 

    • ​若  $A \subset B$  且  $B \subset A$ 则A=B

    • ​若 $A \subset b$ $A \subset B$  且  $A \neq B$ ，则A真包含于B， $A \subsetneqq B$ 

  • ​有n个元素的合集 $\{a_1,a_2,a_3...a_n\}$ ,子集的个数为 $2^n$ 个，真子集的个数为 $2^n -1$ 个,非空真子集的个数为 $2^n-2$ 个

  • ​补集 $\complement_U A$ 

    • ​ $\complement_U (A\cap B)=\complement_U A \cup \complement_U B；\complement_U (A\cup B)=\complement_U A \cap \complement_U B$ 

      • ​ $\overline{A\times B}=\overline{A}+\overline{B}；\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ 

    • ​若A=B，则 $\complement_U A = \complement_U B$ ，反之也成立

  • ​Card(S):S的元素个数

    • ​ $Card(A\cup B)=Card A + Card B - Card(A\cap B)$ 

• 排列组合

  • ​排列

    • ​ $A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$ 

  • ​组合

    • ​ $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 

• ​函数

  • ​有界性

    • ​ $f'(x)在(a,b)有界\Longleftrightarrow f(x)在(a,b)有界$ 

  • ​单调性

    •  $x_1>x_2且f(x_1)>f(x_2)\Longrightarrow增； x_1>x_2且f(x_1)<f(x_2)\Longrightarrow减$ 

      • ​ $f(x)增\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$ 
         $f(x)减\Longleftrightarrow (x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))<0$ 
        

    • ​函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性

    • ​k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同  

      k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反

    • ​若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与 $\frac{1}{f(x)}$ 具有相反的单调性

    • ​若f(x),g(x)都是增函数(减)，则f(x)+g(x)是增函数(减)

    • ​若f(x),g(x)都是增函数(减)，则 $f(x)\cdot g(x)$ 当两者都恒大于零时，是增函数(减)；当两者都恒小于零时，是减函数(增)

    • ​复合函数y=f(g(x))：同增异减

  • ​奇偶性

    • ​奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)

    • ​奇函数f(x)如果在原点有定义，则f(0)=0；

      若一个函数既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0

    • ​四则运算

      • ​奇 $\pm$ 奇=奇，偶 $\pm$ 偶=偶

      • ​奇x/奇=偶，偶x/偶=偶

      • ​奇x/偶=奇

    • ​复合

      • ​奇【偶】=偶，偶【奇】=偶，偶【偶】=偶，非【偶】=偶

      • ​奇【奇】=奇

    • ​若f(x)为偶函数，则 $f(x)=f(|x|)$ 

    • ​多项式 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ 的奇偶性:  

      只有奇次幂，f(x)为奇函数

      只有偶次幂，f(x)为偶函数

      有奇有偶次幂，f(x)非奇非偶

      • ​二次函数 $y=ax^2+bx+c(a \neq 0)$ 若为偶函数  $\Leftrightarrow$  b=0

    • ​ $f(x)=奇函数g(x)+偶函数h(x)$ 的一般方法： $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2},h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ 

    • ​※ $f(x)连续, \forall x和y,f(x+y)=f(x)+f(y)\Longrightarrow f(x)奇$ 

  • ​对称性（自变量的和为常数）

    • ​对称轴为 $a\Longleftrightarrow f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)$  

    • ​对称中心为 $(a,0)\Longleftrightarrow f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)$ 

  • ​周期性（自变量的差为常数）

    •  $f(x\pm T)=f(x)\Longleftrightarrow周期为T$ 

    • ​ $f(x\pm T)=-f(x)\Longleftrightarrow反周期t=T,周期为2T$ 

    •  $f(x+T)=\pm\frac{1}{f(x)} \Longleftrightarrow 倒周期t=T,周期为2T$ 

    • ​ $若x_1-x_2=T，有f(x_1)=f(x_2)\Longleftrightarrow周期为T$ 

    • ​ $若x_1-x_2=t，有f(x_1)=-f(x_2)\Longleftrightarrow反周期为t，周期为2t$

    • ​ $f(x)关于直线x=a和x=b都对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=2|b-a|$ 

    • ​ $f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=2|b-a|$ 

    • ​ $f(x)关于点(a,0)和直线x=b都对称\Longrightarrow f(x)是周期函数，T=4|b-a|$ 

  • ​函数周期性、奇偶性、对称轴的关系

    • ​

  • ​凹凸性（分大下凸）

    • ​ $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\Leftrightarrow向下凸 f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\Leftrightarrow向上凸$ 

    • ​ $f''(x)>0 \Longleftrightarrow 向下凸，f''(x)<0\Longleftrightarrow 向上凸$ 

  • ​ $隐函数f(x,y)=0平移\stackrel{按向量(a,b)平移}{\Longrightarrow}f(x-a,y-b)=0$ 

  • ​部分初等函数

    • ​指数函数

      • ​基本性质

        • ​ $a^ra^s=a^{r+s}$ 

        • ​ $(a^r)^s=a^{rs}$ 

        • ​ $(ab)^r=a^sb^r$ 

    • ​对数函数

      • ​基本性质

        • ​ $\log_a(M\cdot N)=\log_aM+\log_aN$ 

        • ​ $\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$ 

        • ​ $\log_aM^n=n\log_aM$ 

        • ​换底公式： $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}（一个应用：\log_ab\cdot \log_bc\cdot \log_ca=\frac{\ln b}{\ln a}\cdot\frac{\ln c}{\ln b}\cdot\frac{\ln a}{\ln c}=1）$ 

        •  $\log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}\log_ab$ 

        • ​ $\log_ab=\frac{1}{\log_ba}$ 

      • ​some special

        • ​ $y=\ln(\frac{1+x}{1-x})$ 

          • ​

        • ​ $y=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 

          • ​
            奇函数！！！

    • ​绝对值

      • ​ $y=|x-a|$ 

        • ​

      • ​ $y=|x-a|+|x-b|$ 

        • ​

      • ​ $U=\max\{f(x),g(x)\},V=\min\{f(x),g(x)\}$ 

        • ​ $U=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]=\begin{cases} f(x),&f(x)\geqq g(x)\\ g(x),&f(x)\leqq g(x) \end{cases}$  $V=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]=\begin{cases} g(x),&f(x)\geqq g(x)\\ f(x),&f(x)\leqq g(x) \end{cases}$ 
          

          • ​ $U+V=f(x)+g(x),U-V=|f(x)-g(x)|,UV=f(x)g(x)$ 

    • ​幂函数

      • ​ $y=x^{-2}$ 

        • ​形如 $\frac{1}{x}$ 的图像，第一象限均类似，根据奇偶性判断二三象限的图像

          • ​

      • ​ $x^{\frac{2}{3}}$ 

        • 

      • ​ $y=\frac{1}{x^2+1}$ 

        • ​

      • ​ $y=x^{\frac{1}{2}}$ 

        • ​

      • ​ $y=x^2$ 

        • ​一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 

          • ​ $\Delta=b^2-4ac$ ：正有两个解，负无实数解，=0有一个解

          • ​韦达定理

            • ​ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ 

              • ​ $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ 

            • ​ $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$ 

        • ​二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 

          • ​对称轴: $x=-\frac{b}{2a}$ 

          • ​最值: $\frac{4ac-b^2}{4a}$ 

      • ​ $y=x^3$ 

        • 

          • ​ $三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d有极值\Longrightarrow导数函数y=3ax^2+2bx+c判别式\Delta大于0$ 

      • ​ $y= \sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}$ 

        • ​

    • ​ $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 

      • ​ $x\neq -\frac{d}{c},y\neq -\frac{a}{c},过(0,\frac{b}{d})点$ 

        • ​

    • ​ $y=ax+\frac{b}{x}$ 

      • ​a,b同号，双钩

        • ​

      • ​a,b异号，双撇

        • ​

    • ​三角函数

      • 性质

        • ​同角三角函数

          • ​三角函数六边形

            • ​

          • ​ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha =1$ 

            •  $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ 

            • ​ $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ 

            • ​ $(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm2\sin\alpha\cos\alpha$ 

            • ​ $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2+(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=2$ 

          •  $\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ 

            •  $\sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha$ 

            • ​ $\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$ 

        • ​诱导公式（任意角 $\Longrightarrow$ 锐角，奇变偶不变、符号看原来这个函数的象限）

          • ​函数名不变，符号看象限

            • ​ $\sin(k\cdot 2\pi+\alpha)=\sin\alpha,\cos(k\cdot2\pi+\alpha)=\cos\alpha,\tan(k\cdot2\pi+\alpha)=\tan\alpha$ 

            • ​ $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$ 

            • ​ $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$ 

            • ​ $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$ 

          • ​函数名改变，符号看象限

            •  $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha,\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha,\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}$ 

            • ​ $\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha,\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha,\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\frac{1}{\tan\alpha}$ 

        • ​函数 $y=A\sin(\omega x+\phi)$ 的特征 

          • ​ $振幅|A|,周期T=\frac{2\pi}{|\omega|},频率f=\frac{1}{T}=\frac{|\omega|}{2\pi},相位\omega x+\phi,初相\phi,对称轴方程x=\frac{k\pi}{\omega}+\frac{\pi}{2\omega}-\frac{\phi}{\omega},对称轴中心坐标(\frac{k\pi-\phi}{\omega},0)(k\in Z)$ 

          • ​ $y=\sin x \stackrel{横坐标变为\frac{1}{\omega}倍}{\longrightarrow}y=sin\omega x$ 

          • ​ $y=\sin x \stackrel{纵坐标变为A倍}{\longrightarrow}y=A\sin x$ 

          • ​ $y=|A\sin(\omega x+\phi)|,y=|A\cos(\omega x +\phi)| \longrightarrow T=\frac{\pi}{|\omega|}$ 

        • ​两角和差的正弦、余弦、正切公式

          • ​ $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ 

            • ​ $\sin(\alpha+\beta)\pm\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta或2\cos\alpha\sin\beta$ 

            • ​ $\cos(\alpha+\beta)\pm\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta或-2\sin\alpha\sin\beta$ 

          • ​ $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ 

            • ​ $\cos(\alpha-\beta)\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)\sin\beta=\cos\alpha$ 

          • ​ $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ 

            • ​ $\tan(\alpha+\beta)\cdot(1-\tan\alpha\tan\beta)=\tan\alpha+\tan\beta$ 

            • ​ $\tan\alpha+\tan\beta+\tan(\alpha+\beta)\tan\alpha\tan\beta=\tan(\alpha+\beta)$ 

            • ​ $\tan\alpha\tan\beta=1-\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)}$ 

        • ​倍角公式

          • ​ $\sin2\alpha=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha$ 

            • ​ $1\pm\sin2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\pm2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2$ 

            • ​ $\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}$ 

          • ​ $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$ 

            • ​升降幂公式

              • ​ $1+\cos\alpha=2\cos^2{\frac{1}{2}\alpha},1-\cos\alpha=2\sin^2{\frac{1}{2}\alpha}$ 

              • ​ $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$ 

            • ​半角公式

              • ​ $\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ 

              • ​ $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ 

              • ​ $\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ 

          • ​ $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 

        • ​万能公式

          • ​ $\tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ 

          • ​ $\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ 

          • ​ $\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ 

        • ​和差化积

          • ​ $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ 

          • ​ $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ 

        • ​积化和差

          • ​ $\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ 

            • ​ $\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$ 

          • ​ $\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$ 

            • ​ $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-cos(\alpha-\beta)]$ 

        • ​辅助角公式

          • ​ $a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$  $(ab\neq0)$ ，其中 $\phi$ 满足 $$tan⁡ϕ=ba\tan\phi=\frac{b}{a} 。注意：若将a框定在>0,则可将 $\phi$ 框定在 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 内便于计算

        • ​特殊锐角三角函数

          • ​

        • ​分角的一个办法

          • ​

      • 部分图像

        • ​cot(x)

          • ​

        • ​sec(x)

          • ​

            • ​csc(x)

              • ​

        • ​arcsin(x)

          • ​

            • ​arccos(x)

              • ​

                • ​arctan(x)

                  • ​

                    • ​arccot(x)

                      • ​

                        • ​ $\arctan x+arccot x=\frac{\pi}{2}$ 

        •  $sh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 

          • ​

            • ​ $ch(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 

              • ​

                •  $th(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 

                  • ​

                    • ​ $coth(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$ 

                      • ​

        •  $\sin \frac{1}{x}$ 

          • ​

    • 符号函数

      • ​ $y=sgn x=\begin{cases} 1,&x>0\\ 0,&x=0\\ -1,&x<0 \end{cases}$ 

    • ​取整函数—向左取整

      • ​ $y=[x]$ 

        • ​

          • ​ $x-1<[x]\leq x$ 

          • ​ $[x+n]=[x]+n$  
            $n[x]\leq nx$ 
            n为正整数

          • ​ $[x]+[y]\leq [x+y]$ 

          • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}{[x]} } =0, {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-}{[x]} } =-1$ 

      •  $y=x-[x]$ 

        • ​

          • ​T=1

  • ​阶乘

    • ​双阶乘

      • ​ $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5 \cdots (2n-1)$ 

      • ​ $(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6 \cdots (2n)=2^n\cdot n!$ 

• ​几何

  • ​直线

    • ​直线点斜式 $y-b=k(x-a)$ 

  • ​三角形

    • ​

      • ​ $A+B+C=\pi$ 

      • ​大边对大角，小边对小角

      • ​构成条件

        • ​可构成三角形： $a+b >c$ 

        • 直角： $a^2+b^2 = c^2$ 

        • 锐角： $a^2+b^2 > c^2$ 

        • ​钝角： $a^2+b^2 < c^2$ 

      • ​正余弦定理

        • ​正弦定理

          • ​ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ （外接圆半径）

          • ​ $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 

        • ​余弦定理

          • ​ $C=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$ 

          • ​ $\cos C =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 

      • ​面积S

        • ​ $S=\frac{1}{2}底\cdot 高$ 

        • ​ $S=\frac{1}{2}两邻边积 \cdot \sin夹角$ 

        • ​ $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}　(p=\frac{a+b+c}{2})$ 

        • ​ $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)　(r是内切圆半径)$ 

      • ​六心

        • ​内心

          • ​

            • ​内切圆圆心

            • ​角分线交点

            • ​到三边等距

            • ​ $r=\frac{2S}{a+b+c}$ 

        • ​外心

          • ​

            • ​外接圆圆心

            • 中垂线交点

            • ​到三顶点等距

            • ​ $R=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{\sin A}$ 

        • ​重心

          • ​

            • 中线交点

            • ​分中线2：1（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1）

            • ​ $G=\frac{A+B+C}{3}$ （在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均）

            • ​到三个顶点距离平方和最小

            • ​重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等

        • ​垂心

          • ​三条垂线交点

        • ​中心

          • ​正三角形四心重合

        • ​旁心

          • ​角分线，外角分线的交点

          • ​到三边等距

  • ​多边形

    • ​一个n边形从一个顶点出发有(n-3)条对角线，所有对角线的数量是 $\frac{n(n-3)}{2}$ 

    • ​n边形内角和等于 $(n-2)\times180^\circ$ 

    • ​多边形的外角和恒等于 $360^\circ$ ，与边数n无关

    • ​正n边形的每个内角等于 $\frac{n-2}{n}\times180^\circ$ ，每个外角等于 $\frac{360^\circ}{n}$ 

    • ​梯形面积：(上底+下底)X高/2

  • ​圆

    • ​ $y=\sqrt{1-x^2}的几何意义\Rightarrow半圆上半部分$ 

  • ​扇形

    •  $α$ 圆心角 $=\frac{l弧长}{R半径}$ 

    • ​扇形弧长公式： $l=|\alpha|\cdot r$ 

    •  $​面积S=\frac{1}{2}l\cdot R=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi R^2$  $=\frac{1}{2}|\alpha|\cdot r^2$ 

  • ​圆锥

    • ​体积=同底等高圆柱的 $\frac{1}{3}$ 

• ​极限

  • 数列极限

    • 定义—— $$任意小的ε，都有n，使得∣xn−a∣<ε⟺lim⁡n→∞xn=a任意小的 ε ，都有n，使得|x_n-a|< ε \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} }=a  

      
      

      

      • ​数列 ${a_n}$ ,子列 ${a_{n_k}}$  

        • ​子列极限相同： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty }{a_n} } =a \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{n_k}} }=a$ 

          • 判断发散的方法

            •  $\exists$ 发散子列

            • ​两个子列极限不同

          • ​ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} } =a \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{2k}} }=a　且 　{\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{a_{2k-1}} }=a$ 

            注意这里是任意子列收敛于相同的极限才可以反推回去

      • 极限的存在，不考虑前有限项极限的情况，着重考虑极限时情况是怎么样的

      • ​构造 $|x_n-a| \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow}0$ 

        • ​放缩法

          
          

          

          • ​寻找一个已知的极限形式

        • ​阿格朗日法
          中值定理

          
          

          

          •  $见到f和f'$ 

            •  $f(b)-f(a)=f'( ξ )(b-a)$ ​
               $f(x)-f(x_0)=f'( ξ )(x-x_0)$ 
              

    • ​收敛数列性质

      • ​唯一性

        •  ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} } =a$ 存在，则a唯一

      • ​有界性

        • ​ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} }$ 存在 $\Longleftrightarrow$  ${a_n}$ 有界

          • ​表述方法： $$有界⟹A≦an≦B(在n≧N之后)有界\Longrightarrow A \leqq a_n \leqq B(在n\geqq N之后) 

            • ​找界：找常数的界，不能带n，数列的首项也可以

      • ​保号性

        • ​保号性： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} }=a>0 \Longrightarrow \exists N,n>N时,a_n>0$ 

        • ​ $若\{a_n\}从某项起有a_n \geqq 0，且 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} }=a \Longrightarrow a \geqq 0$ (w是个数字)

    • 运算法则 

      • ​ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n \pm y_n)} } = {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } \pm {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }$ 

        • 公比小于1的等比数列前n项和的极限, $|q|<1, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{S_n} }= {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{a(1-q^n)}{1-q}} } =\frac{a}{1-q}$ 

      • ​ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(x_n \cdot y_n)} } = {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } \cdot {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }$ 

      • 
        

        ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{x_n}{y_n}} } = \frac{ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} } }{ {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} } }$ 

    • ​极限存在准则

      • ​ $夹逼：y_n \leqq x_n \leqq z_n, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }=a, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }=a　\Longrightarrow　{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n} }=a$ 

        • ​注意： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(y_n-z_n)} } =0　\bigotimes　 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} }和 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }存在$ 

          • ​推论： $y_n \leqq a \leqq z_n, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{(z_n-y_n)} }=0　\Longrightarrow　 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{y_n} } ={\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{z_n} }=a$ 

        • 考法

          • 无穷项相加

            • ​ $$∑i=1nui=u1+u2+...+un,n为∞ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} }=u_1+u_2+...+u_n,n为\infty  
               $n\cdot u_{min}\leqq {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} } \leqq n\cdot u_{max}$ 
              

              
              

              

              • 注意是i，不是n

              • ​老大老小合力才行

          • ​有限项相加

            • ​ $$∑i=1nui=u1+u2+...+un,n为∞ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} }=u_1+u_2+...+u_n,n为\infty  
               $u_{max}\leqq {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{u_i} } \leqq n\cdot u_{max}$ 
              

              • ​老大说了算

              • ​ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{f_1^n+f_2^n+f_3^n}}=老大f_i(分段看f_1,f_2,f_3图像谁大)$ 

                
                

                

          • ​有提示

            
            

            

            • ​题目中第一问给出提示 $B\leqq A\leqq C$ ,第二问求极限

        • ​不验等号

      • ​※单调有界数列必有极限
        

        • ​ $\{x_n\}单增且有上界，\{x_n\}单减且有下界\Longrightarrow {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{x_n存在} }$ 

          • ​① $单调：做差x_{n+1}-x_n,做商\frac{x_{n+1}}{x_n}$ 

            
            

            

            • ​数学归纳法

              
              

              

              • ​①代入n=1时证明成立

              • ​②设 $x_k>x_{k-1}$ 

              • ​③证明 $x_{k+1}是否>x_k$ 

              • ​④则当n为全体自然数时，结论成立

            • ​※不等式

              
              

              

              • ​或许有提示

          • ②上下界

    • ​考点

      • ​①恒等变形求极限

        • ​变换后累加累乘用等比数列的公式再求极限

          • ​递归

            
            

            

      • ​②单调有界准则

        • ​先证单调，再找界

          • ​题目中有字眼：证明极限存在并求之，呵呵

      • ③定义法

        • ​​一般目标明确才用，a已知或者很明显

          这个题中，能猜出极限pi，但是如何去构造pi，tan x =0

          

          • ​①放缩

            • ​注意：题目中定义域a<n<b，也是放缩！！！

          • ​②拉格朗日中值定理

            •  $见到f和f'$ 

      • ​④夹逼准则

        • ​求xxx，很直接
          放缩型①： $$n和i不同幂，不能凑出inn和i不同幂，不能凑出\frac{i}{n} 

          • 动分子不行动分母

            
            

            

      • ⑤定积分定义

        
        

        

        •  $n和i幂次相同，能凑出\frac{i}{n}$
          

          • ​ $能凑出\frac{i}{n}$ 
             $基本型：n+i,an+bi,n^2+i^2,\frac{i}{n}$ 
            

            • ​ ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}} } } } = \int_0^{1}f(x)dx 　（令\frac{i}{n}=x,\frac{1}{n}=dx）$ 

              
              

              

              

              

            • 变量型： ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{ {\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{f(\frac{x}{n}i)\cdot \frac{x}{n}} } } } =\int^x_0f(t)dt　（令a=0,b=x,\frac{x}{n}i=t,\frac{x}{n}=dt）$ 

              
              

              

        • ​ $n和i不同幂，不能凑出\frac{i}{n}$ 

          • 放缩型②：放缩后再凑 $\frac{i}{n}$ 

            
            

            

  • ​函数极限

    • ​领域定义 $U(P_0, δ )$  $U(x_0, δ ) = \{x|x_0-δ<x<x_0+δ\}=|{x||x-x_0|<δ|}$
      

      • 开区间

      • ​一维： $U(x_0, δ ) = \{x|x_0-δ<x<x_0+δ\}=|{x||x-x_0|<δ|}$ 

      • 二维： $U(P_0, δ )=\{P||PP_0|<δ\}=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<δ\}$ 

    • 函数极限定义

      • ​ $\forall ε >0,\exists δ >0,当0<|x-x_0|< δ,有|f(x)-A|< ϵ \Longleftrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)}=A } 　(f(x) \rightarrow A(x \rightarrow x_0))$ 

    • 性质

      • ​唯一性

        • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} }=a \Rightarrow a唯一$ 

          • 注意： $x\rightarrow \infty，意味着x\rightarrow +\infty,x\rightarrow -\infty$ 
                         $x\rightarrow x_0,意味着x\rightarrow x_0^+且x\rightarrow x_0^-$ 
            

            
            

            

            
            

            

      • ​局部有界性（仅是充分条件，非必要条件）

        • ​ $如果 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0}{f(x)} } =A,则存在正常数M和 δ ，使得当0<|x-x_0|< δ ,有|f(x)|\leqq M$ 

          • ​ $f'(x)在(a,b)内有界\Longrightarrow f(x)在(a,b)内有界$ 

          • ​有界函数与有界函数的和、差、积也有界

          • ​ $f(x)在[a,b]上连续\Longrightarrow 有界$ 

          • ​ $f(x)在开(a,b)内连续， {\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}{f(x)} }与{\displaystyle \lim_{x \rightarrow b^-}{f(x)} }存在\Longrightarrow 有界$ 

            
            

            

      • ​局部保号性

        • ​ $如果f(x)\rightarrow A (x \rightarrow x_0),且A>0(或<0)，那么存在常数 δ >0，使得当0<|x-x_0|< δ 时，有f(x)>0(或<0)$ 

    • ​无穷大、小

      • ​小

        • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =0$ 

      • ​大

        • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =\infty$ 

      • ​关系

        • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{f(x)} } =0 \Longrightarrow {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0或\infty}{\frac{1}{f(x)}} } =\infty$ ,反之亦然

      • 无穷小比阶

        
        

        

        • ​高阶 $α (x)=o( β (x))$ 

          • ​ ${\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =0$ 

        • 等价 $α (x) \sim β (x)$ 

          • ​ ${\displaystyle \lim_{}{\frac{ α (x)}{ β (x)}} } =1$ 

            • 常用等价无穷小

              • ​ $\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x　\sim　x$