极限

• ​数集-确界原理

  • ​邻域： $(a; δ )$ 

  • ​有\无界集

  • 确界（上确界为例，上为sup，下为inf）

    • ​ $对一切x \in S,有x \leq η ；$ 

    •  $对任何a<η,存在 x_{0} \in S,使得 x_{0}>a$ 

  • 确界原理

    • ​任何非空的上（下）界的数集必有上（下）确界

• 函数极限

  • ​定义

    • ​x趋于∞时

      • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow ∞}{f(x)} } =A: \forall ε >0, \exists M>0, \forall |x|>M,有|f(x)-A|< ε$ 

    • ​x趋于某点时

      • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow ∞}{ x_{0} } } =A: \forall ε >0, \exists δ >0, \forall x \in U^{0}( x_{0}; δ ) ,有|f( x_{0} )-A|< ε$ 

  • 重要极限

    •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{sinx}{x} } }=1$ 

    •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow ∞}{ (1+ \frac{1}{x} )^{x} } } =e$ 

      • ​普适：

         ${\displaystyle \lim_{ α \rightarrow 0}{ (1+ α )^{ \frac{1}{ α } } } } =e$ 

    •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{tanx}{x} } } =1$ 

    •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}{ \frac{arctan\ x}{x} } } =1$ 

  • ​验证函数极限的步骤

    • ​ $将x限制在 x_{0} 的一个小邻域 U^{o} ( x_{0}; δ )$ 

    • ​ $在 U^{o}( x_{0} ; δ )中，把|f(x)-A|转化为| φ(x)||x- x_{0}|的形式$ 

    • ​ $在 U^{o}( x_{0}; δ _{1} )中，估计 |φ (x)|的上界，| φ (x)| \leq M,其中M为一个正数。$ 

    •  $对于任意给定的 ε >0，解不等式M||x- x_{0} |< ε 得到|x- x_{0}|< \frac{ ε }{M}$ 

    • ​ $令 δ =min{{ δ _{1}, \frac{ ε }{M} }}即可$

  • 性质

    • 唯一性

    • ​局部有界性

      • ​若极限存在，则f在x的某空心邻域内有界

    • 局部保号性

      • ​ $若 {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0} }{f(x)} } =A>0,则 \forall r \in(0,A)， \exists U^{o} ( x_{0} ), \forall x \in U^{o} ( x_{0} ),有f(x)>r>0$ 

    • 保不等式性

    • 迫敛性

  • 函数极限存在的条件

    • 归结原则

      • 
        ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0} }{f(x)} } 存在的充要条件为：对任何数列\{ x_{n} \}, x_{n} \ne x_{0} ,且 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ x_{0} } } ，极限 {\displaystyle \lim_{n \rightarro ∞}{f( x_{n} } 都存在$ 
        

    • 单调有界定理

    • 函数极限的柯西收敛准则

      • ​ $\forall ε >0, \exists δ >0, \forall x^{'} ,x^{''} \in U^{o} ( x_{0}; δ ),都由|f( x^{'})-f( x^{''} )|< ε$ 

  • ​无穷小量

    • 等价无穷小量

      •  ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0} }{ \frac{f(x)}{g(x)} } } =1$ 

      • 重要的等价无穷小量(x→0)

        • ​sinx~x

        • ​1-cosx~ $\frac{1}{2} x^{2}$ 

        • ​ $ln(1+x)~x$ 

        •  $e^{x}-1x$ 
          

        • 
          

           $arctanx x$ 

        • ​ $(1+x)^{ α } -1 α x$ 

• ​函数概念

  • ​反函数：x=f(y)

    $$$x=f(y)$  $x=f(y)$ x=f(yx=f(y) 

  • ​基本初等函数

    • ​常量函数、幂函数、指数函数、对数函数（log）

    • ​三角函数：sin，cos，tan，cot

    • ​反三角函数：arcsin，arccos

  • ​特殊的三角函数

    • ​ $secx= \frac{1}{cosx}$ 

    •  $cscx= \frac{1}{sinx}$ 

  • 分段函数

    • ​ $符号函数sgn\: x=x = \begin{cases} 1 &\text x>0 \\ 0 &\text x=0 \\ -1&\text x<0 \end{cases}$ 

    • ​ $狄利克雷函数D(X)= \begin{cases} 1 &\text 当x为有理数 \\ 0&\text 当x为无理数 \end{cases}$ 

    • ​黎曼函数

      • ​ $黎曼函数R(X)=\begin{cases} \frac{1}{q} &\text 当x= \frac{p}{q} \\ 0 &\text 当x=0，1和（0，1）内的无理数 \end{cases}$ 

• ​不定式极限（洛必达法则）

  • ​ $\frac{0}{0}型$  $\frac{ \bullet }{∞} 型$ 

    • ​ ${\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0} }{ \frac{f(x)}{g(x)} } }= {\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{ \frac{ f^{'} }{g^{'}} } }$ 

  • ​  $0 \cdot ∞、指数型等类型$ 

    • ​通过 $u(x)= e^{\ln u(x)}$化为上面类型 

• ​数列极限

  •  $ε -N定义$ 

    •  $$ε−N定义：∀ε>0,∃N∈N+,∀n>N,都有∣an−a∣<ε,则lim⁡n→∞an ε -N定义： \forall ε >0, \exists N \in N_{+} , \forall n>N,都有| a_{n}-a|< ε ,则 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ a_{n} } } ε−N定义：∀ε>0,∃N∈N+​,∀n>N,都有∣an​−a∣<ε,则n→∞lim​an​ =a

  • ​常用极限（记住）

    •  ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ \sqrt[n]{a} } } =1,a>0$  

      •  ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ \frac{ a^{n} }{n!} } } =0$ 

    •  ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ (1+ \frac{1}{n} )^{n} } } =e$ 

  • ​验证极限的方法

    • ​扩大原数列，根据ε−N定义求证。

  • ​性质

    • ​唯一性、有界性。

      • 保号性：若 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ a_{n} } } =a>0，则 \exists n>N,都有 a_{n}> \frac{a}{2} >0$ 

    • ​保不等式性：设 $\{a_{n} \}和\{ b_{n} \}都收敛，若 \forall n>N,都有 a_{n} \leq b_{n} ,则 {\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ a_{n} } } \leq {\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ b_{n} } }$ 

    • 迫敛性：若 ${\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ a_{n} } } =a, {\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ b_{n} } }=a, \forall n>N,都有 a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}，则{\displaystyle \lim_{n \rightarrow ∞}{ c_{n} } } =a$ 

  • 数列极限存在的条件

    • ​单调有界定理

    • ​致密性定理

      • ​有界数列必有收敛子列

    • 柯西收敛准则

      •  $\forall ε >0, \forall n,m>N,都有| a_{n}- a_{m} |<ε$