集合与常用逻辑用语

• ​元素与集合

  • ​元素特征

    • ​确定性、互异性、无序性

  • ​集合与元素的关系​

    • ​属于 ∈ 和不属于 $\notin$  ​ 

  • • ​集合的表示方法

      • ​列举法、描述法、图像法

  • • ​常见数集

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    • • ​解题常用思路

        • ​明确集合中的元素是什么，例如数集、点集等

        • ​求参数时要检验元素的互异性特征

• ​命题

  • ​用语言、符号或式子表达可以判断真假的陈述语句叫做命题。
    判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

• • ​集合的关系

    • ​概念

      • 子集：若对 $\forall$ x $\in$ A，都有x $\in$ B，则A $\subseteq$ B或B $\supseteq$ A

        • 

      • ​真子集：若A $\subseteq$ B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A $⫋$ B或B $⫌$ A.

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      • ​相等集合：若A $\subseteq$ B，且B $\supseteq$ A，则A=B

        • ​

      • ​空集的性质： $Ø$ 是任何集合的子集，任何非空集合的真子集

    • ​子集个数

      • ​集合中有n个元素，子集个数为2 $2^{n}$2个，真子集 $2^{n}$ -1个，非空子集 $2^{n}$ -1个，非空真子集 $2^{n}$ -2个 

    • ​解题常用思路

      • ​集合为不等式画数轴、点集数形结合、抽象集合用韦恩图

      • ​若B $\subseteq$ A $\Leftrightarrow$ B是A的子集 ：
        (1)B=Ø时：(i)等式无意义:分母为0，偶次根式被开方数<0，方程组无解
                           (ii)不等式的左边>（或≥）右边
        (2)B $\neq$ Ø时：(i)不等式的左边>（或≤）右边
                              (ii)比较端点的大小，注意是否取“=”

        $\neq$）

        $\geq$$Ø$ \LeftrightarrowNN

• ​全称量词命题与存在量词命题

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  • ​常用解题思路

    • ​含量词的命题中参数的区执法内，可转为函数的最值解决. $\forall \exists$ 
       $\forall$  $\Leftrightarrow$ 大于最大值，小于最小值 
       $\Leftrightarrow$  大于最小值，小于最大值

• ​集合运算

  • ​概念

    • ​

  • ​解题常用思路

    • ​A $\cap$ B=A $\Leftrightarrow$ B $\subseteq$ A
      A $\cup$ B=A $\Leftrightarrow$ A $\subseteq$ B

• ​充要条件

  • ​概念

    • ​

  • ​常用解题思路

    • ​对于不等式，小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围

    • ​充要条件判断的三种方法：
      (1)定义法：根据推出的方向进行判断
      

      (2)集合法：根据使条件p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断

    • ​先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，要注意区间端点值的检验。