量子力学的矩阵形式与表象理论

• ​态和力学量的表象

  • 态的表象及矩阵表示

    • ​本征函数在自身动量中的表示

      • ​坐标

        • ​ $x\delta(x-x') = x'\delta(x-x')$ 

      • ​动量 $p\delta(p-p') = p'\delta(p-p')$ 

      • ​矩阵表示

        • ​离散

          • ​ $\{a_n(t),n =1,2,……\}$ 称为Q表象中的波函数 $a_n(t) = \int u_n^*(x)\Psi(x,t)dx$ 
            
            

        • 连续谱

          • ​ $a_q(t) = \int u_q^*(x)\Psi(x,t)dx$ 

        • ​Q表象中的波函数与它的厄米共轭相乘为1（概率相加）

  • ​算符的矩阵表示

    •  $F_{mn} = \int u_m^*(x)\hat F(x,-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})u_n(x)dx \\ B = FA$ 
      

      • ​定理：表示力学量F的矩阵是厄米矩阵

      • ​定理：力学量在自身表象中是对角矩阵，对角元为各本征值

  • ​表象变换

    • ​ $波函数从F到Q表象的变换：幺正矩阵S \\ a_F = Sa_Q \\S = (\Psi_F,\Psi_Q):F表象基矢与Q表象基矢的标积$ 

      • ​ $SS^+ = S^+S = I$ 

    • ​力学量算符的变换：

      • ​ $L' = SLS^+ = SLS^{-1}$ 

    • ​表象变换不改变算符的本征值

• ​量子力学的矩阵形式

  • ​平均值公式

    • ​ $\overline F = \Psi^+F\Psi$ 

  • 离散表象中本征方程的解法

    • ​久期方程： $|F-\lambda I| = 0$ 

      • ​若F为n*n矩阵，则必有n个根，就是本征值，代回方程可以求出本征函数（本征矢量），利用归一化条件定下系数。若有重根，则会出现简并。

  • ​薛定谔方程

    • ​

• ​Dirac符号

  • ​表示态

    • ​左矢和右矢： $\langle\psi| = |\psi \rangle^+$ 

  • 表示内积

    • ​归一化： $\langle\psi| \psi \rangle = 1$ 

    • ​正交： $\langle\phi| \psi \rangle = 1$ 

  • ​表示算符对态的作用

    • ​
      

  • ​力学量的矩阵表示

    • ​坐标表象中

      • 动量p的矩阵表示

        • ​ $(p)_{x'x''} = \langle x'| \hat x| x''\rangle =- i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \delta(x'-x'')$ 

      • ​ $\langle x'| \hat x| x''\rangle = x'\delta(x'-x'')$  

    • 动量表象中

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  • ​薛定谔方程在不同表象中的表示

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